大学物理 第四章动量和角动量.ppt

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1、第四章动量,物体状态的改变不仅与速度有关，还与物体的质量有关（例：木、铁锤敲钉子）,物体状态的改变不仅与所受到的力有关，还与力作用的延续时间有关（例：推车）,上一章我们讨论了力对空间的积累效应，本章讨论力对时间的积累效应，冲量与质点运动状态的变化(即质点动量增量）之间的关系。,动量（冲量）力对时间的积累,冲量,动量,动量冲量动量定理,一、动量,1定义：,物体的质量和它的运动速度的乘积，称为动量。,与物体的速度方向相同,单位：,直角分量式：,二、冲量,1定义：,力的作用与作用时间的乘积，称为冲量。,的方向决定于冲力的方向。,若为恒力,在t1到t2时间间隔内，力对物体的冲量,2矢量：,方向：,单位

2、：,描述作用在物体上的力 对时间的累积效应,直角坐标系的分量式为,三、质点的动量定理,牛顿第二定律的动量形式,动量定理,物理意义：物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。,质点的动量定理,直角坐标分量式为,注意：,为矢量式，使用中常伴以矢图，再用解析式计算。,常用图解法求,平均力,例：一质量m=2.3kg的球以从水平方向飞来，以棒击球，击球后，球飞到竖直上方10m处下落，求棒给予球的冲量的大小和方向，如棒和球接触时间为0.02s，求垒球受到的平均冲力。,解：状态分析,球与棒脱离到飞至最高点过程机械能守恒,v1=20 m/s,据动量原理作矢量图：,解析式:,？,其分量式为,例一摆长为L的单摆，一

3、端固定于悬点O，另一端系有一质量为的小球，当其从摆线与竖直方向成最大摆角静止释放至竖直位置的过程中，重力的冲量如何？合外力的冲量如何？,动量定理中，是指合外力的冲量，本题中重力只是外力中的一个，故解重力的冲量时，不能用，,解：重力冲量,只能用定义式：,合外力冲量,设锤与工件 碰撞前的速度为，撞击后速 度。由机械能守恒定律有,例2.一重锤从高度h=1.5m处自静止下落，锤与被加工的工件碰撞后末速为。若打击时间 为 和，试计算这几种情形下平均冲击力与重力的比值.,h,y,由动量定理：,选取 y 坐标如图。,解：,计算结果：,在许多打击或碰撞问题中，只要持续时间足够短，略去诸如重力这类有限大小的力是

4、合理的。,结论：,例3.一质点的运动轨迹如图所示。已知质点的质量为20g,在A、B二位置处的速率为20m/s，与 x 轴成45角，垂直于 y 轴，求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量。,解：,由动量定理有,总冲量：,大小,方向,（与x轴正向夹角）,A,B,例4.有一质量为m=5kg的物体，在0至10秒内，受到如图所示的变力 F 的作用，由静止开始沿 x 轴正向运动，而力的方向始终为 x 轴的正方向，则10秒内变力 F 所做的功为。,解：,I=Ft 曲线下的面积,动量守恒定理,一、系统的动量定理,单个质点的动量定理：,质点系：m1+m2,m1+m2：,等于,得：,系统所受合外力

5、的冲量，等于系统总动量的增量。,说明：内力的作用不会改变系统的动量，只有外力的作用才会改变系统的动量。,说明：由于内力做功不一定为，故其可改变系统的动能。,系统的动量定理,二、动量守恒定律,动量守恒定律：（由牛顿第二定律出发推出）,如果系统所受的合外力为，即,（注意：并不意味着）,物理意义：若系统不受外力或所受的合外力为零时，系统内各物体的动量的矢量和保持不变，即系统总动量守恒。,动量守恒定律,2.动量守恒定律的使用说明,进行条件分析,动量守恒定律的形式为一矢式，使用中应取坐标，利用分量式求解。,在平面问题中：,只要某一个方向上满足守恒条件，则在该方向上的分动量守恒，即可在该方向上应用动量守恒

6、定律。,应用动量守恒定律时，注意守恒式中各速度均应对同 一惯性系而言。,例3.(书p.88例4-2)如图,总质量为M的载物小船以速度v 在静水中航行.然后 分别同时在船头和船尾以相对于船的速度u 向前和向后抛出质量为m和2m的两物体.设u、v在同一直线上,问抛出两物体后,小船的速度变为多少?设水平方向船受的阻力可以忽略.,解:一个整体分为三个运动物体,三物体速度重新分配.以船+两物为系统,水平方向阻力略去,因而水平方向动量守恒.选两物抛出前为初态,两物抛出后为末态.,以岸为惯性系,取向右为正.,末态:船的质量 M-2m-m 此时船对岸速度设为,重点是确定始末态船、物对惯性系的速度。,初态:系统

7、质量M 系统对岸速度,且,解：,m+M,条件分析：,抛球前后,状态分析：,抛球前,M+m,例5.一运动员质量为M，手中拿着质量为m的篮球自地面以仰角、初速度 斜向前跳起，跳至最高点时，以相对于人的速率u将球水平向后抛出，问运动员向前的距离与不抛球时相比，增加多少？,抛球后,Mm,mV球地,=m(V-u),系统：,动量守恒式：,复 习,冲量,动量,动量定理,(单质点）,(质点组),动量守恒定律,例6.炮车以 的仰角发射一颗炮弹，已知炮车重5000kg,炮弹重100kg,炮弹对炮车的出口速度为 300m/s。求炮车的反冲速度,忽略炮车与缓冲垫间的摩擦。设炮车倒退时与垫子的相互作用时间为 2s,求垫

8、子受的平均冲力.,解:,系统：,质量为 M 的炮车+质量为 m的炮弹,总动量的水平分量守恒,水平方向不受外力作用,（P105 4-10）,状态分析：,发射炮弹前,发射炮弹后的瞬间,m,M,解得：,守恒式：,炮车的反冲速度大小为 5.09 m/s，方向与炮弹发射的水平方向相反。,M=5000kg，m=100 kg，v=300 m/s,由牛顿第三定律，垫子受的平均冲力为12725N。,由动量定理知，垫子给炮车的平均冲力为,用动量守恒定律求解问题的步骤：,确定系统；进行受力分析和守恒条件分析；选取坐标系，确定相互作用前、后两时刻各物体 的动量；列方程求解(有时还要联系与系统能量相关的方程).,c,a

9、,b,B,例7.质量分别为 的3个重物a、b、c连接如图所示。当a下降时，b在楔子ABCD的水平面BC上向右滑动，c则沿斜面AB上升。楔子质量M=100kg，如略去一切摩擦和绳子与滑轮的质量，求当重物a下降1m时，楔子相对于地面的位移？,A,C,D,M,o,x,解：系统：,M+a+b+c,受力分析：,状态分析：,取坐标ox 如图所示，设a、b、c对M的速率为 为M对地的速度。,a下降1m后,0，,a下降前,V,V,动量守恒式,解得：,一、碰撞,4-3 碰 撞,碰撞的物体可能相互接触,也可能不直接接触,两个或两个以上的物体相遇，相遇时物体间的相互作用仅持续极短的时间，这种相遇称为碰撞。,（如打击

10、球间的碰撞、子弹射入墙内等）,粒子散射实验,碰撞系统大都满足外力远小于内力，即，故碰撞物体组成的系统动量守恒。,二.碰撞的共同规律,完全弹性碰撞,非弹性碰撞,完全非弹性碰撞,碰撞过程中机械能守恒,宏观物体间一般为非弹性碰撞,碰撞过程中机械能（动能）不守恒,两物体碰后结合在一起，并以同一速度运动,三.分类,由于碰撞时物体间的相互作用力很大，其它的作用力可以略去，因此把相互作用的物体取为系统时，系统的动量（或其动量在某一坐标方向的分量）守恒。,机械能不一定守恒。,完全弹性碰撞,非弹性碰撞,完全非弹性碰撞（粘在一块以同一速度运动）,四.遵循的规律,例4 P106 4-19 M=1000m,L=1米,

11、求？,解：以子弹和砂袋组成的系统为研究对象，它们发生的是完全非弹性碰撞。,水平方向动量守恒,状态分析：碰前碰后,子弹砂袋,据动量守恒，有,虽然碰撞时，机械能不守恒，但从子弹射入砂袋到一起升高到最高点的过程中，只有保守力（重力）做功，故机械能守恒。,解之，得：,M=1000m l=1m,例5 P106 4-14,分析：以人球为研究系统抛球前后水平方向不受外力，故动量守恒。,解:条件分析：,状态分析：抛前抛后,人球,据动量守恒，有,解之，得：,因平抛与自由落体均对应于同一时间，从最高点到地面与从地面到最高点时间相同。则求到最高点所用时间,？,则有,A,B,解：两个过程：,子弹射入滑块,弹簧被压缩,

12、第一过程,系统：,子弹,例9.在如图所示的光滑桌面上，一根轻弹簧（弹性系数k）两端各连质量为m的滑块A和B。如果滑块被水平飞来的质量为m/4、速度为 的子弹射中，并停留在其中,试求运动过程中弹簧的最大压缩量。,第二过程,子弹A弹簧B,系统：,由于系统在水平方向不受外力作用，故系统在水平方向上动量守恒。,由机械能守恒有,联立以上三个方程求解，得：,质点相对于O 点的角动量或动量矩定义为,4-4 质点的角动量和角动量守恒定律,角动量的大小为,L=prsin=mvrsin,若质点绕O 点作圆周运动，有,单位：,例如天文上行星围绕太阳转，单位时间内扫过的面积是一个与 有关的问题。这个量称为角动量。,角

13、动量的提出，是与转动相联系的,作用于质点的力 位于质点运动所在的平面上，它对定点O 的力矩定义为,力矩大小为,力臂,则,单位：牛顿米,牛顿第二定律,对 两边求时间的导数,因此，得,用 从左侧叉乘等式两边,质点的角动量定理 作用于质点的合力对点O 的力矩等于质点对点O 的角动量对时间的导数,如果合力 对点O 的力矩，则有,特例：如果力的方向永远指向空间一定点，这种力就称为有心力，该定点则称为力心。因为有心力对其力心的力矩为零，故质点在有心力的作用下运动时，对其力心的角动量是守恒的。,若质点绕O 点作圆周运动，有,常量,解 小球所受重力和桌面支承力互相抵消绳的拉力始终经过O点，对O点的力矩为零质点

14、的角动量守恒,得,例题4-6 在光滑桌面上开一个小孔，把系在轻绳一端的小球放在桌面上，绳的另一端穿过小孔而执于手中，设开始时小球以速率 作半径为 r1 的圆周运动，然后向下拉绳使小球的转动半径减为 r2，求这时小球的速率。,O,例4-7用角动量守恒定律导出开普勒第二定律-行星单位时间内扫过的面积相等。,因t很小,t时间内扫过的面积,O,a,b,c,t时间内扫过的面积,（证毕）,所以,例题4-8 哈雷慧星围绕太阳作轨道为椭圆的运动，慧星轨道上的近日距离为 Rp=0.885 1011 m,R=52.5 1011 m。已知在近日点，慧星的速率为 vp=5.4 104 m/s,计算慧星在其远日点处的速

15、率。,解：太阳对哈雷慧星的引力为有心力。引力对力心的力矩为零:慧星对太阳中心的角动量守恒，,设慧星质量为 m，它在近日点和远日点的角动量分别为 和：,从而慧星在远日点处的速率为,或,复 习,碰撞,完全弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞,质点的角动量,质点的角动量守恒定律,质点的角动量定理,力矩,一、质心,4-5 质心质心运动定理,消防水龙头喷出的水，各水滴的运动情况并不一样，但我们看到，就其整体而言，大致是按一条抛物线轨道运动。投出的手榴弹出一样，尽管因有转动，各质点的运动情况很复杂，但我们可近似按斜抛运动来讨论其射程。消防水和手榴弹都是质点系。用什么来反映质点系整体运动的规律呢？,对于由许

16、多质点组成的系统或者连续分布的质点系统，存在一个空间的特殊位置，称为系统的质心。系统整体行为与位于质心处的一个质点的行为相同，此质点的质量等于整个系统的总质量。,对于由质量相同的质点组成的质点系，其质心位置坐标为：,质心运动轨迹抛物线,质心,跳水运动员的运动可以看成是其质心沿抛物线运动与运动员绕质心的转动的合成,若组成系统的各质点质量不相同，质心位置坐标为何？,寻找质心坐标,质点系中N个质点的质量分别为m1，m2，m3，,各质点的质量总和为,分量式，即质心的位置坐标为,质量连续分布的物体的质心计算：,取质量元dm，物体的质量为m，质心的位置坐标为,密度均匀、具几何对称分布物体的质心在几何中心,

17、质心不一定在系统中某一个质点的位置上,质心不一定位于物体内部,上述为质量分离的质点的质心，质量连续分布的物体的质心？,两质点质量均为m，以任意点O为原点，,质心在两质点连线上接近质量较大的质点一端,系统质心的位置与坐标原点的选取无关,O,质心连线的中点,先将质量分别集中在各自的几何中心处构成两个质点,质心的位置坐标为,例题 4-9 求半径为R的匀质半圆环的质心。,设半圆环的质量线密度为l，取弧长为dl的线元，,半圆环以 y 轴为对称,xc=0,x=Rcosq，y=Rsinq,在 y 轴上的坐标为,其坐标为,解取坐标如右图所示，,质量为dm=ldl=lRdq，,二、质心运动定理,质心位矢表达式可

18、写为,对时间 t 求导数得,令质心速度,则,如何描述质点系的运动？,因,系统所受的合外力为,质心运动定理,，令质心加速度,形式上它与牛顿第二定律完全相同,可见，如果将质点系的全部质量和所有外力都集中到质心上，质心就与一个在力F外作用下质量为m的质点的运动情况相同。,动力学上质心也是整个质点系的代表点,它的运动精确地反映了整个系统的平均运动状况。,合外力为零 质心作匀速直线运动,扳手沿光滑水平面滑移,质心运动轨迹抛物线,例题 4-10 火箭向正东方向发射，达轨道最高点时炸裂成三段，质量为m 的两段分别向正南和正北方平抛，三段同时落地问在何处能找到第三段。,解将整个火箭视为一个质点系，根据质心运动

19、定理，爆炸前后火箭的质心运动轨迹不变，质心沿爆炸前的抛物线轨道运动。以发射点作为坐标原点，自西向东为X轴，从南向北为Y轴，则质心到达地面位于正东1.10103 m处，即坐标为,xc=1.10103 m，yc=0,落向正南65m处,落向正北120m处,质心轨迹,按定义质心坐标为,因 x1=x2=550m；y1=-65.0m，y2=120m,可解得,代入数值得,即在正东方向1.65103m，再偏南27.5m处,例题 4-11 质量为m、长度为l的匀质软绳竖直悬垂，下端刚好与地面接触，从静止状态下落。下落到所剩长度为y 时，求地面对软绳的作用力。,解：单位长度软绳的质量为=m/l,dy长的线元dm质

20、量为（m/l）dy，以软绳与地面接触点为原点，竖直向上为 y 轴正向，所剩长度为y 时，质心坐标为,分析：将软绳视为一个质点系，在其下落过程中其受到重力与地面的作用力，力的不平衡使其产生加速度，即为质心的加速度，所以通过计算质心加速度就可以间接求出地面对软绳的作用力。,对时间t 求导数得,软绳上端的下落速度,对于一个完全柔软的绳子，其中各点的速度和加速度与一个自由下落质点的相同，即,则质心加速度为,应用质心运动定理，得,即,本章小结,主要公式：,1.冲量,3.动量定理,4.动量守恒定律,2.动量,5.质点的角动量,7.质点的角动量守恒定律,6.质点的角动量定理,基本要求：,掌握质点的动量定理、动量守恒定律和角动量守恒定律。,五.一维碰撞（对心碰撞）,由动量守恒有：,（其中各速率均为代数值）,一维弹性碰撞：,弹性碰撞的机械能守恒，则有方程,联立解方程得：,（正碰）,一维完全非弹性碰撞：,设两球碰撞后结合在一起，以速度 沿原方向运动，由动量守恒定律,解得：,六.二维完全弹性碰撞,如果两球碰撞后不沿一条直线运动则称为二维碰撞。,由动量守恒有:,x方向：,y方向：,机械能守恒：,