大学普通物理课件第4章-功和能.ppt

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1、第四章 功 和 能,Work and Energy,本章主要内容,4-1 功 4-2 动能定理 4-3 势能 4-4 引力势能 4-5 由势能求保守力 4-6 机械能守恒定律 4-7 守恒定律的意义 4-8 碰撞*4-9 两体问题*4-10 流体的稳定流动*4-11 伯努力方程,第四章 功和能,质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会改变；如果质点有空间位置的变化，则力对位移的累积（功）会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究，是经典力学中重要的组成部分。,与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律），是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。,4-1 功,Work,功力在位

2、移方向上的分量与位移大小的乘积。,1.功的定义,设质点受力为，它的空间位置发生一无限小的位移位移元，则该力做功 表示为,质点沿曲线 从 到，整个路径上的功为元功之和：,结论：合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。,如果质点同时受到多个力的作用，计算它们等效合力的功：,3.合力的功,2.特例：,质点沿直线运动，受到的恒力F与速度方向成 角，力F做的功：,功的单位：J(Nm),4.保守力与非保守力,（1）重力做功,一滑雪运动员质量为m，沿滑雪道从A点滑到B点的过程中，重力对他做了多少功？,结论：重力的功与质点运动的路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置（以高度表示）。,（2）弹簧的弹性力做

3、功,考虑一劲度系数为k 的弹簧系着一质点 m，弹簧一端固定于O点，弹性力 的功：,为弹簧的伸长量,结论：弹性力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置（决定了弹簧伸长量）。,（3）摩擦力的功,设在水平面上质点分别沿两条不同的路径半圆 和直径 由 a 运动到 b，则滑动摩擦力做了多少功？,路径：,路径为半圆：,结论：摩擦力对质点做的功不仅与质点的始末位置有关，而且与路径有关。,（4）保守力和非保守力,与之等价的另一种定义：,当物体沿闭合路径运动一周时，作用在它上面的力做功为零，则该力就是保守力。,4-2 动能定理,Theorem of Kinetic Energy,力对空间的

4、积累（即做功）会给质点带来怎样的结果？,引入动能 Ek：,考虑合外力的功：,即,过程量,状态量 在B点的取值,状态量 在A点的取值,动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。,功是能量传递或转化的量度。,1.质点的动能定理,考虑两个质点构成的质点系：,即,2.质点系的动能定理,相加，得,定理：质点系外力功和内力功的总和等于总动能的增量。,注意：内力能改变系统的总动能，但不能改变系统的总动量。,质点系的动量定理：（积分形式）,例1 一个质量为 m 珠子系在线的一端，线的另一端绑在墙上的钉子上，线长为 l。先拉动珠子使线保持水平静止，然后松手使珠子下落。求线摆致 角时这个珠子的速率。（利用

5、动能定理求解）,解：根据动能定理：,1.功力在位移方向上的分量与位移大小的乘积。,回顾,2.保守力做功与质点运动的相对路径无关，只决定于质点初、终态的相对位置，具有这种性质的力称为保守力。,3.动能定理,动能：,对于一个质点：,对于一个质点系：,4-3 势能,Potential Energy,1.势能,说明：保守力做正功，质点系势能减小；反之亦然。,上一关系式只定义了势能差，要具体确定质点系的势能，必须选定某一状态为势能零点。,若选状态B为零势能点，则状态A的势能为：,即质点系在状态A势能的量值，等于系统由状态A变为状态B(势能零点)的过程中，保守内力做的功。,势能是相对的，势能差是绝对的。,

6、即：,*1)一般选零势能点为弹簧处于原长(即伸长量为0)的状态，则伸长量为 sA 的 弹簧的弹性势能为：,不同的保守力引入的势能也不同。,重力势能：,势能属于有保守力相互作用的质点系。,说明：,弹性势能：,*对于重力势能，一般选地面为零势能点，h为距离零势能点的高度。,*2)如果以伸长量为 sB 为弹性势能零点，则任伸长量为 sA的弹簧的弹性势能为：,例1 设平衡时弹簧以有一伸长量。若以物体的平衡位置为x轴的原点，且平衡点处为弹性势能和重力势能的零点。讨论物体位置为x时，弹性势能和重力势能之和是多少？,解：在平衡点位置有：,当物体再下降一端距离x时，以o点为弹性势能零点，则此时的弹性势能为,同

7、样以o点为重力势能零点，则此时的重力势能为：,此时的势能为弹性势能和重力势能之和：,例2 一劲度系数为k的轻弹簧竖直静止在桌面上。今在其上端轻轻地放置一质量为m的砝码后松手。（1）求此后砝码下降的最大距离ymax。（2）求砝码下降ymax/2 时的速度v。,解(1)下降过程中重力做的功为,对砝码用动能定理，有,又,所以,，解得，,(2)课后练习,以地面为势能零点,4-4 引力势能,Gravitational Potential Energy,考虑有两个质点m1和m2的质点系。以m1所在处为原点，当m2由A点移动到B点时，万有引力做的功为：,结论：万有引力的功与质点运动的相对路径无关，只决定于质

8、点初、终态的相对位置。万有引力为保守力。,1.万有引力是保守力,势能零点具有相对意义。,对于万有引力定义引力势能为：,2.引力势能,势能曲线：当 时，。即，当两质点相 距无穷远时，势能为零。,一般引力势能的零点取质点相距无穷远，,重力势能是在地球表面小区域内的引力势能：,RE h,3.重力势能和引力势能的关系,注意：重力势能和引力势能的势能零点在选取上是不同的。,例 一颗质量为m的陨石从天外（可认为距离地球无限远）落到地球上，它和地球间的引力做功为多少？,解,结论：运用势能公式求保守力的功，可以不用沿路径积分，简化了计算。,例2：已知地球的半径为R，质量为M。现有一个质量为m的物体，在离地面高

9、度为2R处。以地球和物体为系统，若取地面为零势能点，则系统的引力势能为（）；若取无穷远处为势能零点，则系统的引力势能为（）。,4-5 由势能求保守力,How to Find a Conservative Force from Potential Energy,保守力及其势能都是空间分布的函数（力场，势函数）,A,B,式中 为力 F 在 l 方向的分量。,即：,保守力沿某一给定的 方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿 方向的空间变化率的负值。,保守力等于相联系的势能的梯度的负值，即,梯度算符“grad”：,一般，Ep 是位置坐标(x,y,z)函数。上式中的 方向可以取 x,y 和 z 轴的方

10、向，从而得到保守力的分量为：,例：万有引力势能函数为：,则万有引力为：,4-6 机械能守恒定律,Law of Conservation of Mechanical Energy,引入机械能：,考虑质点系的动能定理：,质点系所受外力的功与非保守性内力的功的总和等于机械能的增量。,说明：机械能守恒定律是由牛顿定律导出的，它在惯性系中适用。,如果，则 常量。,机械能守恒定律：在只有保守性内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。,能量守恒定律：在封闭系统中，无论其内部经历怎样的变化，该系统的所有能量的总和保持不变。,机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动中的特例。,例 求第一宇宙速度、第二宇宙

11、速度和第三宇宙速度。,第一宇宙速度物体能够绕地球运行的最小发射速度；第二宇宙速度物体脱离地球引力的最小发射速度；第三宇宙速度物体脱离太阳系的最小发射速度。,解：（1）第一宇宙速度设物体绕地球以半径 r 做圆周运动。,时，有最小值,（3）第三宇宙速度 使物体脱离太阳系所需的最小发射速率。,（2）第二宇宙速度地球和物体构成一个保守系统。物体离开地球飞去时，无外力做功。系统的机械能守恒。,V2 要为最小值，则,例2：用一个轻弹簧把一个金属盘悬挂起来，这时弹簧伸长了。一个质量和盘相同的泥球，从高于盘h30cm处由静止下落到盘上，求此盘向下运动的最大距离,解：1）球自由下落过程，落到盘上的速度 为：,2

12、）球和盘发生碰撞。此过程动量守恒（因为内力 远远大于它们受到的重力和拉力）,3）球和盘共同以速度V下降。此过程机械能守恒（以弹簧，小球，盘和地球为一封闭的保守系统）,最初有：,（取正解）,1）劲度系数为k的轻弹簧在质量为m的木块和外力作用下，处于被压缩状态，其压缩量为x，当撤去外力后弹簧被释放，木块沿光滑斜面弹出，最后落到地面上,A)在此过程中，木块的动能和弹性势能之和守恒,D)木块落地点的水平距离随 的不同而 异，越大，,落地点越远。,C)木块落地时的速度v满足,B)木块到达最高点时，满足,补充题：,4-7 守恒定律与对称性,Laws of Conservationand Symmetries,其他守恒量与对称性：,动量,角动量,能量,守恒量,对称性,时空性质,宇称守恒 空间反演对称性,4-8 碰 撞,Collisions,碰撞的特点,物体由接近、产生强烈的相互作用，到分离的过程。,碰撞中总动量和总机械能,特点：持续时间短、作用力大 物体运动状态变化明显（有动量、能量传递）,动量 不变，动量守恒。,碰撞问题的求解,例：完全非弹性碰撞（三维）：,讨论：设,例：完全弹性碰撞（一维）：,本章结束,The End of This Chapter,