多元函数的极限与连续.ppt

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1、大课课时安排,推广,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,多元函数微分法,及其应用,第八章,第一节,一、平面点集 n维空间,二、n元函数,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的极限与连续,第八章,一、平面点集 n维空间,1.平面点集,点集,称为点 P0 的邻域.,坐标平面上具有某种性质P 的点的集合，,说明：若不需要强调邻域半径,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,在平面上,称为平面点集，记作,(1)邻域,设有点集 E 及一点 P:,若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若点 P 的任一邻域 U(P)中既有属于 E的点，也有

2、,则称 P 为 E 的内点,例如；,则称 P 为 E 的外点，例如;,则称 P 为 E 的边界点，例如.,不属于E的点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的,边界点可能属于 E,也可能不属于 E.,(2)内点、外点、边界点,1,2,(3)聚点,若对任意给定的正数,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E,也可以不属于 E.,聚点可以为,E 的内点 或E的边界点,注,1 内点一定是聚点；,2 边界点可能是聚点,也可能不是聚点；,但 的点属于 E,的点不属于 E.,则点集,中的点都是E的内点；,点集,中的点都是E的聚点，,E,例如:设

3、点集,(4)开区域及闭区域,若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；,若点集 E E,则称 E 为闭集；,若点集E中任意两点,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,E的折线相连,连通的开集称为开区域,简称区域;,E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;,如，,是闭集、连通集、闭区域.,都可用一完全属于,则称 E 是连通集;,是开集、连通集、是区域；,例如，在平面上,开区域,闭区域,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域；,但非区域.,对点集E,若存在正数 K,使对一切点 P E,P与原点 O的距离 OP K,则称 E 为有界点集；,否则，称为无界点集.,2.n 维空间,n

4、 元有序数组,的全体所构成的,中的每一个元素,称为该点或该n维,集合,记作,即,一个点或一个n维向量,当所有坐标,称该点为,中的坐标原点,记作0.,或n维零向量,向量的第 k 个坐标.,称为 中的,以及实数，,规定,称引入了上述线性运算的集合,的距离记作,规定为,与零元 0 的距离为,并称,为向量x的模.,显然,中点 a 的 邻域为,二、n元函数,1.n元函数,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,定义8.1 设非空点集,映射,称为定义在 D 上的 n 元函数,记作,点集 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,特别地,当 n=2 时,有二元函数,当 n=3

5、时,有三元函数,二元函数的定义域,一般地,二元函数,的图形为空间曲面.,z=f(x,y),(x,y)D,是平面点集.,例如,二元函数,定义域为,圆域,图形为中心在原点的上半球面.,又如,三元函数 的定义域是三维空间的点集.,的定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,如,三元函数,质量为m0,对位于内质量为m的质点M的引力为,引例,的质点,设非空点集,映射,称为定义,在 D 上的 一个n 元向量值函数,记作,当m=1 时,就是定义8.1中的n 元函数,当n=1 时,就是,第七章讲的一元向量值函数.,定义8.2,向量值函数的几何或物理意义举例,平面曲线的方程或平面质点随时间运动的轨迹.,空间

6、曲线的方程或空间质点随时间运动的轨迹.,平面向量场或平面到平面的坐标变换.,曲面的方程或一族空间曲线(当固定x或y).,三、多元函数的极限,1.定义8.3 设 二 元函数,则称 A 为函数,P0(x0,y0)是 D 的聚点,若存在常数 A,对于一切,记作,总有,使得 0,0,注,3 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到n元 函数 u=f(P),PD Rn上去;,1 在二元函数极限定义中，P P0 是指在 平面上位于D内以任意方式趋于P0；,2 二元函数的极限又称为二重极限;,对比：一元函数极限,4 二元函数的极限运算法则与一元函数类似,2.求二重极限的常用方法,(1)利用定义,求证:,证,例

7、1,当 时，,原结论成立,?,例2,用变量代换 化二重极限为一元函数的极限.,解,x,y,O,求极限,解,其中,例3,(3)利用夹逼准则，重要极限,利用极坐标变换，将二重极限化成 时的极限,解,例4,与 k 有关，则可断言:二重极限,3.确定极限不存在的方法：,例5,证明下列极限不存在：,(1),证,(1),x,y,O,y=x,x,y,o,y=x,(2),分析,x,y,O,证,其值随 k 的不同而变化，,分析,证,取,其值随k的不同而变化，,故该极限不存在,例6,分析,证,取,问：,下列推导是否正确？,答：不正确.,错误原因：,事实上，,此值与有关，原极限不存在.,四、多元函数的连续性,定义8

8、.4,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,如果,则称,的间断点.,则称函数,连续.,连续.,记作,定义8.5,定义在 D 上,如果,为函数,函数,不连续.,设二 元函数,则称此函数在 D 上,设函数,例如,函数,在(0,0)点极限不存在(例5(2),又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:一切多元初等函数在其定义区域内连续.,例7 证明,在全平面连续.,证,为初等函数,故连续.,又,故函数在全平面连续.,由夹逼准则得,性质1(有界性与最大最小值定理),且能取得它在 D 上的最大值 M 及最小值 m;,闭区域上的多元连续函数有与一元函数类似的性质:,在有界闭区域

9、 D 上连续的多元函数必定在D上有界,性质2(介值定理),在有界闭区域 D 上连续的多元函数必取得介于它在,D 上的最大值 和最小值之间的一切值.,求函数,的连续域.,解,例8,初等函数的连续域就是其定义域.,例9,解,内容小结,1.平面点集,邻域:,区域,连通的开集,2.多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3.多元函数的极限,(1)定义.,(2)求二重极限的常用方法,1)利用定义,2)用变量代换化二重极限为一元函数的极限.,3)利用夹逼准则，重要极限,4)利用极坐标变换，将二重极限化成 时的极限,(3)确定极限不存在的两种常用方法.,4.多元函数的

10、连续性,1)函数,2)闭区域上的多元连续函数的性质:,有界性定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在其定义区域内连续,思考题,解,的函数 f(x,y)，,n次齐次函数),称为,(1)定义域,(2)定义域,解,解,定义域,4.,设,求,解(方法1)令,设,求,(方法1)令,即,备用题,解,例2-1,例2-2,解,而,则,故,此函数定义域不包括 x,y 轴,化为一元函数极限,例3-1,解,例3-2,证,解 当 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于(0,0)点,在点(0,0)处的极限.,则有,此结果随k 值不同而不同!,在(0,0)点极限不存在.,例5-1 讨论函数,例5-2,解,例5-3,是否存在？,解,所以极限不存在.,