多元函数微分学的几何应用.ppt

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1、,空间曲线的方程：,设上式中的三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,问题：研究 M 点的切线？,割线MM 极限位置切线,上式分母同除以,割线 的方程为,MM 的方向向量是什么？,(1),曲线在M处的切线方程：,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,(1)式分母是什么？,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊情况分析：,切线方程为,切向量是什么？,切向量为,所求切线方程为,法平面方程为,小结,求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量,设曲面方程为,曲线在M处的切向量,假设：在曲面上任取一条通过点 M 的曲线,二、曲面的切平面

2、与法线,令,则,切平面方程为,讨论：为什么？,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊情况：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,讨论：法向量是什么？,其中,单位法向量,如果法向量向下呢？,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,法向量是什么？,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),讨论：为什么？,小结,求曲面的切平面与法线关键是求曲面的法向量,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,三、全微分的几何意义,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,求空间曲线的切线与法平面关键是求切向量当空间曲线方程为一般式时，求切向量常常采用推导法,求法向量的方向余弦时注意符号,三、小结,求曲面的切平面与法线关键是求曲面的法向量,全微分的几何意义,思考题,思考题解答,设切点,依题意知切向量为,切点满足曲面和平面方程,练 习 题,练习题答案,