复数域数学模型-传递函数.ppt
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1、第二节 复数域数学模型传递函数,第二章 控制系统的数学模型,建立系统微分方程的目的是什么?如何求解得到的微分方程式?对于高阶线性微分方程如何求解?使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些优势?,思考?,在求解方法上:计算简单(把微积分运算变换成代数运算或查表),容易求出系统对输入的响应。引入传递函数的概念(复数域数学模型),把系统的动态性能和传函的零极点联系起来,使在复数域内(根轨迹法)和频域内(频率法)分析和设计系统成为可能。,优势:,项 目,教 学 目 的,2-2 复数域数学模型传递函数,本节课的学习思路:从多个方位来观察我们将要研究的对象传递函数,为下一步深入细致的讨论(第四章和第五章)做
2、准备。,本节内容,拉式变换,传递函数的概念和表达形式,系统传递函数的建立,典型环节的传递函数,拉式反变换,1.定义:设函数 f(t)当 时有定义,设 且积分存在,则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。简称拉氏变换。,f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为:,原函数,象函数,2-2 传递函数,一 拉氏变换,(2)例2 求阶跃函数 的拉氏变换。,(1)例1 求单位脉冲函数 的拉氏变换。,单位阶跃函数 的拉氏变换为。,2.常用函数的拉氏变换,3.几个重要的拉氏变换(掌握),(1)线性性质,(2)积分性质,(3)微分性质,4.拉氏变换的基本性质,(4)终值定理,(5)初值定理,(6)时间比例尺(相似
3、)定理,a.实域中的位移定理,若原函数在时间上延迟,则其象函数应乘以。,b.复域中的位移定理,象函数的自变量延迟a,原函数应乘以。即,(7)位移定理,1.定义:从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出 式中C是实常数,而且大于F(s)所有极点的实部。,直接按上式求原函数太复杂,一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换,但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。,二 拉氏反变换,若F(s)不能在表中直接找到原函数,则需要将F(s)展开成若干部分分式之和,而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。,展开的常用方法有:配方法比较系数法留数法,例1:求 的拉
4、氏反变换。,例2:求 的拉氏反变换。,配方法,解:,解:,比较系数法,留数法,F(s)总能展开成如下简单的部分分式之和:,(1)D(s)=0没有重根,其中:,所以:,所以:,(2)D(s)=0包含r重根,其中:,由于:,所以:,例5 求 的拉氏反变换。,其中:,所以:,所以:,解:设,用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤,对微分方程进行拉氏变换,得到以s为变量的代数方程,方程中的初始值应取系统在t=0时刻的对应值;,求出系统输出变量的表达式;,将输出变量的表达式展开成部分分式;,对部分分式进行反变换,即得微分方程的解。,例6.已知系统的微分方程式为:,并且设:,试求微分方程的解。,解:方程两边
5、进行拉氏变换,代入初始值变换形式可得,设,其中:,所以:,两端进行拉氏反变换,得,如果使用比较系数法:,通分后令,比较系数得,同样求出,两端进行拉氏反变换,得,线性定常系统微分方程的一般形式为:,1.定义:零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。,三 传递函数的概念和表达形式,c(t)为系统的输出,r(t)为系统输入,则在零初始条件下,对上式两边取拉氏变换,由微分性质得到系统传递函数为:,标准形式、有理分式形式或多项式形式,在零初始条件下求系统或环节的传递函数,只需要将微分方程中变量的各阶导数用s的相应幂次代替就行了,因此从微分方程式求传递函数非常容易。经过
6、变换后,我们把一个复杂的微分方程式变换成了一个简单的代数方程。,为系统增益(放大系数),返回,尾1形式,因式分解,时间常数形式,典型环节形式,各项提取an,各项提取bm,传递函数的第二种表达形式,为根轨迹增益,首1形式,零极点增益形式,根轨迹形式,传递函数的第三种表达形式,稳态增益K和根轨迹增益K*的定义及关系:,这两个参数是重要的调试参数。,称为系统的特征多项式,S的最高阶次n即为系统的阶次。D(s)=0称为系统的特征方程。,分母,传递函数的三大表达形式:,传递函数的零极点分布图,传函,的零极点分布图,2.传递函数的性质(1)对应性:传递函数与微分方程一一对应。如果将 置换,传递函数 微分方
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- 复数 数学模型 传递函数
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