复变函数第三版课件第一章.ppt
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1、第一章复数与复变函数(Complex number and function of the complex variable),1.1复数 1.2复数的表示 1.3平面点集的一般概念 1.4无穷大与复球面 1.5复变函数,1.1 复数 1.2 复数的表示,一、复数的概念,1.1复数(Complex number),二、复数的四则运算,三、复平面,注意:任意两个复数不能比较大小。,一.复数的概念,对任意两实数x、y,称 z=x+iy为复数。,复数z 的实部 Re(z)=x;虚部 Im(z)=y.,设复数,(表示的唯一性),设z1=x1+iy1与z2=x2+iy2,则(1)z1z2=(x1x2)+
2、i(y1y2)(2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2),二、复数的四则运算,复数的运算满足如下交换律、结合律、分配律。,全体复数并引进上述运算后称为复数域,用 C 表示。,共轭复数,设,称 为z 的共轭复数.,0,x,y,z=x+iy,z=x-iy,-,共轭复数的性质,三、复平面,则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。x轴上的点表示实数,称为实轴,y轴上的点表示纯虚数,数称为虚轴;整个坐标平面我们称为复平面或z平面,复平面,实轴,虚轴,例如 上半平面 下半平面 它们都以实轴 为边界,左半平面 右半平面 它们都以虚轴 为边界。带形域,o
3、,x,y,方形域 z:0Rez1,0 Imz 1,1.2复数的三角表示(The representation of complex number),一、复数的模和辐角,二、复数的三角不等式,三、复数的三角表示方法,四、用复数的三角表示作乘除法,五、复数的乘方与开方,一、复数的模和辐角,x,y,向量的长度称为复数的模,记作:,向量与正实轴之间的夹角称为复数 的辐角,记作:由于任意非零复数有无限多个辐角,用 表示符合条件 的一个角,称为复数主辐角。即 的主值,于是,注意:(1)当 时,其模为零,幅角无意义(2)规定逆时针方向旋转的角度为正.(3)对 任意的z0,有无穷多个辐角,彼此相差2的整数倍.
4、所以z1=z2 r1=r2,1=2+2k,k(整数集),例如:,二、复数的三角不等式,关于两个复数,的和与差的模,有下列不等式:,平面上一矢量 oz与一复数z构成一一对应,复数的加减与矢量的加减一致。,x,y,O,事实上,有,1.点的表示法2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法,三、复数的表示方法,注:复数的代数表示为 z=x+iy,1.点的表示法,2.向量表示法,x,y,3、三角表示法,上式右端称为复数 的三角表示式,设 的复数,复数 的模为,复数的辐角,则,解:因为,4、指数表示法,的指数表示,注意,四、用复数的三角表示作乘除法,后一个式子应理解为集合相等。,设、是两个非零复数,则有,
5、几何意义:将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2,再将其伸缩到|z2|倍。,o,1,2,z1z2,z1,z2,2,同理,对除法有,即,后一个式子也应理解为集合相等。,五、复数的乘方与开方,1、复数的乘方2、复数的开方,1.复数的乘方,设 则,特别:当r=1时,则有此实称为棣莫佛(De Moivre)公式。,例如:,(指数形式),2、复数的开方,开方是乘方的逆运算,设,则称复数,为复数,容易得,其中r=|z|,=argz.,解:由于,几何上,的n个值是以原点为中心,为半径的圆周上n个等分点,即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。,1.3平面上点集的一般概念1.4复球面与无穷大,1.5复
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- 函数 第三 课件 第一章
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