土力学-土的抗剪强度与地基承载力.ppt

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1、第4章 土的抗剪强度与,土力学,教学课件,地基承载力,土的抗剪强度是土的重要力学性质之一，也是土力学的基本问题之一，本章讨论土的抗剪强度定律（库仑定律）、土的强度理论、抗剪强度指标的测定方法、试验成果的整理以及地基的临塑荷载和地基极限承载力的确定方法。,各类建筑工程设计中，为了建筑物的安全可靠，要求建筑地基必须同时满足下列两个技术条件：地基变形条件包括地基的沉降量、沉降差、倾斜与局部倾斜，都不超过国家规范规定的地基变形允许值；地基强度条件在建筑物的上部荷载作用下，确保地基的稳定性，不发生地基剪切或滑动破坏。这两个技术条件中，第一个地基变形条件已在第3章中阐述，本章着重研究地基强度问题。,1、地

2、基承载力与地基稳定性地基承载力与地基稳定性，是每一项建筑工程都遇到的问题，具有普遍意义。当上部荷载N较小，地基处于压密阶段或地基中塑性变形区很小时，地基是稳定的。若上部荷载N很大，地基中的塑性变形区越来越大，最后边成一片，则地基发生整体滑动，即强度破坏，这种情况下地基是不稳定的。,2、土坡稳定性土坡稳定性也是工程中经常遇到的问题。土坡包括两类：天然土坡天然土坡为自然界天然形成的土坡，如山坡、河岸、海滨等。人工土坡人工土坡为人类活动造成的土坡，如基坑开挖、修筑堤防、土坝、路基等等。,3、挡土墙及地下结构上的土压力当地基受外荷作用后，土中各点产生法向应力和剪应力。若某点的剪应力达到该点的抗剪强度，

3、则土沿着剪应力作用方向产生相对滑动。此时称该点强度破坏。如果达到强度破坏的点随着外荷的增大而愈来愈多，最后将形成一个连续的滑动面，整个地基失去稳定而发生破坏。由此可见，土的强度问题，实质上就是土的抗剪强度问题。为了对地基的稳定性进行力学分析和计算，必须了解土的抗剪强度的来源、影响因素和测试方法，研究土的极限平衡理论、地基受力状况与承载力。,土的抗剪强度问题涉及面很广，现将基本内容和常见的问题阐述如下：,1、最大主应力与最小主应力假定土体是均匀的、连续的半空间材料，研究水平地面下任一深度Z处M点的应力状态。如图4.4（a）所示。由M点取一微元体dxdydz，并使微元体的上、下面平行于地面。因这微

4、元体很小，可忽略微元体本身的质量。现分析此微元体的受力情况，将微元体放大，如图4.4(b)所示。,土的强度破坏通常是指剪切破坏。1、极限平衡状态当土体的剪应力等于土的抗剪强度f时的临界状态称为“极限平衡状态”。2、极限平衡条件土体处于极限平衡状态时土的应力状态和土的抗剪强度指标之间的关系式，即1、3与内摩擦角、粘聚力c之间的数学表达式。,1、最大主应力与最小主应力,微元体顶面和底面作用力，均为 1Z（4.1）式中 1-作用在微元体上的竖向法向应力，即土的自重应力，kpa。,1Z（4.1）,微元体侧面作用力为：23Z（4.2）式中 2、3-作用在微元体侧面的水平向法向应力，kpa；-土的静止侧压

5、力系数，小于1，可查表3.1。,23Z（4.2）,因为土体并无外荷作用，只有土的自重作用，故在微元体各个面上没有剪应变，也就没有剪应力，凡是没有剪应力的面称为主应面。作用在主应面上的力称为主应力，因此图4.4中的1为最大主应力，3为最小主应力。同时23。,2、任意斜面上的应力,在微元体上取任一截面mn，与大主应力面即水平面成角，斜面mn上作用法向应力和剪应力，如图4.4(c)所示。现在求、与1、3之间的关系。取dy=1，按平面问题计算。设直角坐标：以m点为坐标原点O，ox向右为正，oz向下为正。根据静力平衡条件与竖向合力为零。,水平方向,垂直方向,解联立方程(a)、(b)可求得任意截面mn上的

6、法向应力与剪应力：,2、任意斜面上的应力,式中 与大主应面成角的截面mn上的法向应力，kPa；同一截面上的剪应力，kPa。,(4.3),(4.4),3、用摩尔应力圆表示斜面上的应力,将(4.3)、(4.4)两边分别平方并相加，整理得：,(4.4),显见，在坐标系中，上式表示圆心为(1+2)/2,0，半径为(1-3)/2的圆的方程。,从圆心逆时针转2角与圆周交于a点，a点的坐标，即为M点处与最大主应力面成角的斜面mn上的法向应力和剪应力值。证明如下：,关于土的强度理论有多种，通常认为摩尔-库仑理论最适合土体的情况。摩尔最初提出的强度理论，认为材料破坏是剪切破坏，在破坏面上f=f()，由此函数关系

7、所定的曲线，称为摩尔破坏包线，如图4.7所示。,1776年，库仑总结出土的抗剪强度规律：,砂 土:ftg(4.5),粘性土:ftgc(4.6),ftg(4.5),ftgc(4.6),式中,公式(4.5)与(4.6)为著名的库仑定律，如图4.8所示。库仑定律是摩尔强度理论的特例。此时摩尔破坏包线ftgc为一直线。,以库仑定律表示摩尔破坏包线的理论称摩尔库仑破坏理论。,1、地基中任意平面mn上的应力状态,现将作用在平面mn上的剪应力与地基土的抗剪强度f进行比较：当f，平面mn为稳定状态；当f，平面mn发生剪切破坏；当f，平面mn极限平衡状态。,2、无粘性土的极限平衡条件,由图4.9可见，任意平面m

8、n作用的总应力0与法向应力之间的夹角称为倾斜角。根据力三角形中，tg/,可得：tg（a）由库仑定律公式（4.5）ftg（b）,tg（a）,ftg（b）,当=f时，即式（a）=式（b），可得，此时，平面mn处于极限平衡状态。,土中某点的应力是否达到破坏，通常用摩尔圆与库仑抗剪强度曲线的关系来说明。从图可直接看出土中某点各方向代表的平面是否达到极限平衡状态。,2、无粘性土的极限平衡条件,圆在抗剪强度曲线的下方，两者分离。过O点作圆的切线，max，表明内摩擦角为的土中某点，1、3。则过该点任何方向的平面，都不发生剪切破坏，该点处于弹性平衡状态。,若保持1不变，减小3。作新的应力圆。,切点为A点，A点

9、代表的平面已达极限平衡，max=，此摩尔应力圆称摩尔破裂圆，max称破裂角。,同理，若保持1不变，增大3。作新的应力圆。,A点代表的剪切面与大主应面的夹角0的数值：,2、无粘性土的极限平衡条件,oAo3=90，2090故 0=45+/2式中 0剪切面与大主应面之夹角。(破裂面发生在与1作用面成45+/2的斜面上，或与3作用面成45-/2的斜面上。),据图4.11进行三角函数换算，可求得无粘性土的极限平衡条件：13tg2(45/2)(4.8)31tg2(45/2)(4.9),oAo3为直角。,0=45+/2(4.7),13tg2(45/2)(4.8),31tg2(45/2)(4.9),由图4.1

10、1 oAo3可得,2、无粘性土的极限平衡条件,(4.9),公式的证明：(略),13tg2(45/2)(4.8),31tg2(45/2)(4.9),3、粘性土的极限平衡条件,新坐标系中，1、3都应加上c,即：,由粘性土的抗剪强度公式(4.6)f=tg+c,坐标原点平移的数值为：,由图4.12中oAo1,可得：,(4.10),3、粘性土的极限平衡条件,公式(4.10)与无粘性土相应的公式相比，只差别在分母多一项2c，采用三角函数换算，可得粘性土的极限平衡条件为：,(4.10),(4.11),(4.12),土的摩尔-库仑强度理论可归纳为如下几点：土的抗剪强度随该面上的正应力的大小而变ftg(4.5)

11、ftgc(4.6)；土的强度破坏是由于土中某点的剪应力达到土的抗剪强度所致(=f)；破裂面不发生在最大剪应力作用面（45，该面上的抗剪强度更大）上，而是在应力圆与强度包线相切点所代表的截面上，即与大主应力面成45+/2交角(与大主应力的夹角为45-/2)的斜面上。如果同一种土有几个试样在不同的大、小主应力组合下受剪破坏，则在图上可得几个摩尔极限应力圆，这些应力圆的公切线就是其强度包线。前已指出，库仑强度包线可视为一直线。根据摩尔-库仑强度理论可建立土体极限平衡条件，即式(4.5)(4.12)所表达的1、3与、C关系的表达式。,例某砂土地基的=30,c=0,若在均布条形荷载p作用下，计算得到土中

12、某点1=100kPa，3=30kPa,问该点是否破坏？,解用四种方法计算。把3、C代入(4.11)，得：1p=3tg2(45+/2)=30tg260=90kPa这表明：在3=30kPa的条件下，该点如处于极限平衡，则最大主应力为90kPa。据算出的1p及3作摩尔应力圆，则此圆必与强度包线相切。现将计算值1p与实际值比较：若11p，则据1与3作的应力圆必与强度包线相割，该点已破坏；若11p该点稳定。现1=100kPa1p=90kPa,故可判断该点已破坏。,把1、C代入(4.12)，得：3p=1tg2(45-/2)=100tg230=33.33kPa这表明：在1=1000kPa的条件下，该点如处于

13、极限平衡，则3=33.33kPa。1不变时，3p愈小愈易破坏，因(1-3)增加。若实际值33p,该点稳定。现3=30kPa3p=33.33kPa,故可判断该点已破坏。,把1、3、C代入(4.10)，得：p=arcsin(1-3)/(1+3)=3241此计算值为极限平衡时所需的内摩擦角值。它大于实际=30，也可判断该点已破坏。若 p，则该点稳定。,由(4.3)、(4.4)可计算出破坏面上的正应力和剪应力：=(1+3)/2+(1-3)/2cos2=(100+30)/2+(100-30)/2cos2(45+30/2)=47.5kPa=(1-3)/2sin2=(100-30)/2sin2(45+30/

14、2)=30.31kPa破坏面上土的抗剪强度为：f=c+tg=47.5tg30=27.42kPa故也可判断该点已破坏。,挡土墙上土压力、土坡稳定性、地基承载力，常据土体极限平衡原理来进行分析和求解，据强度理论，按c、采用极限平衡原理进行分析。抗剪强度指标c、的准确测定，对建筑物的工程造价和安全使用有很大意义。目前已有多种用来测定土的抗剪强度的仪器和方法，每一种仪器都有一定的适用性，而试验方法及成果整理亦有所不同。按常用的试验仪器分，有直接剪切试验、三轴剪切试验、无侧限压缩试验、十字板剪切试验等种。其中除十字板剪切试验可在现场原位进行外，其它三种试验需从现场取出试样，并通常在室内进行。此外，现场也

15、可通过触探间接确定砂土的内摩擦角。按试验成果分析方法（土的强度的两种表示方法）来分，有总应力法和有效应力法。,1、试验装置,测定土的抗剪强度的最简单方法是直接剪切试验。这种试验使用的仪器称为直接剪切仪（简称直剪仪），仪器的主要部件见图413。应力控制式与应变控制式两种。,应变控制直剪仪,1、试验装置,环刀位移量测设备百分表或传感器,2、试验方法与步骤,3、试验成果,剪切位移l剪切位移按下式计算：lln-R(4.13)式中 l-剪切位移，0.01mm;l-手轮转一圈的位移量，0.01mm；n-手轮转动的圈数；R-测力计读数，0.01mm。,剪应力剪应力按下式计算：（CR/A0）10(4.14)式

16、中-试样的剪应力，kpa；C-测力计率定系数，N/0.01mm；A0-试样初始断面积，cm2；10-单位换算系数。,3、试验成果,剪应力与剪切位移关系曲线,垂直压应力与抗剪强度关系曲线,4、评价,优点直剪试验具有设备简单，土样制备及试验操作方便，易于掌握等。因而至今仍为一般工程所广泛使用。,缺点人为地限制剪切面在上下盒之间，而不是沿土样最薄弱的面剪坏。剪切时上下盒错开，受剪面积逐渐减小，而在计算抗剪强度时仍按土样原截面积计算。剪切过程中试样内剪应力分布不均匀，且竖直荷载会发生偏转（上、下盒的中轴线不重合），主应力大小及方向都是变化的，应力条件复杂。试验时不能严格控制排水条件和测量孔隙水压力值，

17、因而对试验成果有影响。,1、应用范围重大工程与科学研究；一级建筑物,2、试验仪器和试验方法,3、试验方法与步骤,4、由试验成果确定抗剪强度指标,5、三种试验方法据三轴压缩试验过程中试样的固结条件与孔隙水压力是否消散的情况，可分为三种试验方法。同一种试样，采用三种不同的试验方法，试验结果所得到的抗剪强度指标C与值，三者都不相同：,不固结不排水试验-又称快剪试验,5、三种试验方法,固结不排水试验-又称固结快剪施加3后，测定孔隙水压力u，打开排水阀至孔隙水压力消散95%以上，施加轴向压力，对试样进行剪切；有效主应力计算,(4.16),(4.17),5、三种试验方法,固结不排水试验-又称固结快剪,有效

18、破损应力圆包线,有效粘聚力、有效内摩擦角,5、三种试验方法,固结排水试验-又称慢剪试验无论在施加3或1时，均应充分排水，使孔隙水压力完全消散。试验结果，可得粘聚力cd和内摩擦角d。,5、三种试验方法,三种试验方法，所得指标的相对大小固结排水固结不排水不固结不排水cd、dccu、cuc、,6、三轴剪切试验的优缺点优点在主应力1及3作用下，试样沿最薄弱的面产生剪切破坏或试样产生塑性流动，试样受力情况明确。可根据工程实际需要，严格控制试样中孔隙水的排出，并能准确地测定土样在剪切过程中的孔隙水压力的变化。除抗剪强度指标外，还可测定孔隙水压力随3和13的变化及其相应的系数，或测定静止侧压力系数以及进行其

19、它项目的试验。缺点：仪器设备与试验操作较复杂等方面。,1、适用土质饱和粘性土,轴向应力，应按下式计算：,2、试验原理相当三轴压缩试验中，3=0时的不排水剪。,3、试验装置,4、试验成果与计算轴向应变1，应按下式计算：1h/h0(4.18)(h=nl-R),1h/h0(4.18),(4.19),无侧限抗压强度qu取曲线上峰值max为无侧限抗压强度qu:qu=max,4、试验成果与计算,土的粘聚力cu饱和粘性土不排水剪，内摩擦角u=0,无侧限抗压强度的摩尔破损应力圆，30，1qu，u=0切线与纵坐标的截距，即为土的粘聚力cu:cu=qu/2(4.20),cu=qu/2(4.20),土的灵敏度St,

20、(2.16),1、适用土质条件软弱粘性土、取原状土困难的条件,2、试验设备,3、试验方法,十字板剪切破坏扭力矩，由两部分组成：,4、成果计算,十字板旋转破坏土柱周围强度由土柱圆周D乘以土柱高H为土柱周围面积，再乘以半径D/2，即扭力臂，再乘以土柱侧面的抗剪强度v，可得土柱周围强度，如公式(4.22)等号右侧第一项所示。土柱上、下面强度土柱圆面积D2/4乘以扭矩力臂D/3，再乘以土柱水平抗剪强度H，再乘以2，可得土柱上、下面强度，如公式（4.22）等号右侧第二项所示。,十字板剪切破坏扭力矩M为：,(4.22),4、成果计算,为简化计算，可令vH，代入公式（4.22）可得：,(4.22),(4.2

21、3),十字板现场剪切试验为不排水剪切试验。因此，其结果与无侧限抗压强度试验结果接近，饱和软土u=0,则:,(4.24),5、优点,不需取样，对土的结构扰动较小；仪器构造简单、操作方便；所得的软粘土不排水抗剪强度常比无侧限抗压强度试验的结果大，但较反映实际条件；可测定软粘土的灵敏度。此外，也应看到，上述假定圆柱侧面和上下端面的抗剪强度相等是不够合理的。因为土的各向异性与固结程度的不同，都会使土的水平向和竖直向的抗剪强度不一致。,1、试样条件应与工程实际条件一致当建筑地基为薄层粘性土、粉土或粘性土与砂土相层，施工速度慢，应采用三轴固结排水试验或直接剪切慢剪试验。若建筑地基为饱和状态厚层粘土，快速施

22、工，则可进行三轴不固结排水试验，或直接剪切快剪试验。地基已充分固结或竣工较久，荷载突增及一般地基的稳定验算采用固结不排水（固结快剪）试验。,2、同一类土的试样数量在基础底面以下一倍基础宽度的深度土层内，同一类土至少取6组试样，使试样具有代表性并减少试验的偶然误差。,3、抗剪强度指标基本值4、抗剪强度指标的标准值,1、无粘性土无粘性土抗剪强度指标的来源，传统的观念为内摩擦力。作者认为，除内摩擦力外还存在一种新的力-咬合力。内摩擦力内摩擦力是指土粒表面之间的摩擦力。内摩擦力由作用于剪切面的法向压力与土的内摩擦系数tg组成，内摩擦力的数值为这两项的乘积tg咬合力天然休止角密实卵石的稳定坡角,2、粘性

23、土粘性土的抗剪强度包括内磨擦力与粘聚力两部分。内摩擦力粘聚力电分子吸引力 土中天然胶结物质,土的抗剪强度非标准定值，受很多因素的影响，不同地区、不同成因、不同类型土的抗剪强度往往有很大的差别，即使同一种土，在不同的密度、含水量、剪切速率、仪器型式等不同的条件下，其抗剪强度的数值也不相等。根据库仑定律中公式（4.6）可知：土的抗剪强度与法向压力、土的内摩擦角和土的粘聚力c三者有关。因此，影响抗剪强度的因素可归纳为两类：,1、土的物理化学性质的影响土粒的矿物成分砂土中石英矿物含量多，大；云母矿物含量多，则小。粘性土的矿物成分不同，土粒表面结合水和电分子力不同，其粘聚力c也不同。土中含有各种胶结物质

24、，可使c增大。土的颗粒形状与级配土的颗粒越粗，表面越粗糙，大。土的级配良好，大；土粒均匀，小。,1、土的物理化学性质的影响土的原始密度土的原始密度越大，土粒之间接触点多且紧密，则土粒之间的表面摩擦力和粗粒土之咬合力越大，即和越大。同时，土的原始密度大，土的孔隙小，接触紧密，粘聚力c也必然大。土的含水量当土的含水量增加时，水分在土粒表面形成润滑剂，使内摩擦角减小。对粘性土来说，含水量增加，将使薄膜水变厚，甚至增加自由水，则填料之间的电分子力减弱，使粘聚力降低。联系实际，凡是山坡滑动，通常都在雨后，雨水入渗使山坡土中含水量增加，降低土的抗剪强度，导致山坡失稳滑动。土的结构粘性土具有结构强度，如粘性

25、土的结构受扰动，则其粘聚力c降低。,2、孔隙水压力的影响固结排水剪（慢剪）测得的抗剪强度cd、d值最大。不固结不排水剪（快剪）测得的抗剪强度c、值最小。固结不排水剪（固结快剪）测得的抗剪强度ccu、cu值居中。由此可见，试样中是否存在孔隙水压力，对抗剪强度有重要影响。如前所述，这三种不同的试验方法，各适用于不同的土层分布、土质、排水条件和施工的速度。,地基的承载力地基土单位面积上承受荷载(压力)的能力，地基极限承载力地基土体完全剪切破坏时所承受的荷载。本节和下一节将介绍据极限平衡原理，按土的抗剪强度确定浅基础地基承载力的方法。本节通过控制地基塑性变形区的发展范围来确定承载力，下一节讨论确定地基

26、极限承载力的方法。下面要介绍的方法，其思路是：先建立基底附加压力(p0)与地基中塑性变形区(或称极限平衡区)开展深度(Zmax)之间的关系。然后通过控制塑性区的允许发展深度(根据实践经验)来确定地基承载力。,1、地基变形的三个阶段线性变形(压密)阶段塑性变形(局部剪切)阶段完全(滑动)破坏阶段,2、地基破坏的三种型式整体剪切破坏ps曲线可明显分出上述三个变形阶段。当地基上的压力达到极限后，地基内塑性变形区发展接合而出现连续的滑动面，地基土发生整体剪切破坏。只要荷载稍有增加，基础就会急剧下沉、倾斜、地面严重隆起，并往往使建筑物发生破坏。对于压缩性较小的土，如密实砂土和坚硬粘土，当压力p足够大时，

27、一般都发生这种型式的破坏。也可能在承载力低、相对埋深小的基础下出现。,2、地基破坏的三种型式,刺入剪切破坏地基不出现明显的连续滑动面，基础四周的地面也不隆起，基础没有很大倾斜，其ps曲线无明显的转折点。地基的破坏是由基础下面软弱土变形并沿基础周边产生竖向剪切，导致基础连续下沉，就象基础“切入”土中。此种型式多出现于基础相对埋深较大和压缩性较大的松砂和软土中。,2、地基破坏的三种型式,局部剪切破坏界于整体剪切破坏与剌入剪切破坏之间。破坏时地基的塑性变形区局限于基础下方，滑动面也不延伸到地面。可能有轻微隆起，但基础不会明显倾斜或倒塌，ps曲线转折点也不明显。,2、地基破坏的三种型式,1、定义在外荷

28、作用下，地基中刚开始产生塑性变形（即局部剪切破坏）时基础底面单位面积上所承受的荷载。,a点对应的荷载pcr称为临塑荷载，也就是随着荷载的增大，地基土由弹性变形开始产生塑性变形的界限荷载。,2、临塑荷载计算公式地基的临塑荷载pcr，按下式计算：,(4.26),Nd、Nc-承载力系数，可据值按公式(4.27)、(4.28)计算或查表(4.4)确定。,(4.27),(4.28),公式(4.26)推导如下：在条形基础均布荷载作用下，地基中任一点M的应力来源于下列几方面，如图4.29所示：,基底的附加应力p0=p-d；基底以下深度Z处，土的自重压力Z；由基础埋深d构成的旁载d。,严格地说，M点土的自重应

29、力在各向是不等的，因此，p0与Z、d在M点产生的应力在数值上不能叠加，但为简化起见，在推导临塑荷载公式时，假定土的自重应力在各向相等（即假定土的侧压力系数=1.0(实际上=0.250.72)。因而地基中任意一点M的最大主应力和最小主应力为：(由地基在条形均布p作用下，地基中任一点M处产生的大小主应力以极坐标表示),(4.30),(4.29),式中 p-基底接触压力，kpa；2-M点至基础边缘两连线的夹角，度。,当M点的应力达到极限平衡时，由“4.2 土的极限平衡”中公式(4.10)可知：,将公式(4.29)与公式(4.30)代入上式，整理后得：,(4.31),(4.31)式即为塑性变形区（极限

30、平衡区的边界方程。当已知p、d、c和时塑性边界线上任一点坐标Z仅与视角2有关。假定不同的2值，代入式（4.31）可求出相应的ZI，将一系列的ZI点连接起来就得到塑性变形区的边界，也即绘出得土中塑性区的发展范围（图中阴影区）。,(4.31),在塑性区边界线上(以内)剪应力=f，已达极限平衡状态；在塑性区外(边界线以外)剪应力f，未达极限平衡状态。在实际应用时，我们并不一定需要知整个塑性区的边界，而只需了解在一定压力p作用下，塑性区开展的最大深度Zmax,根据临塑荷载的定义，可用塑性区的最大深度Zmax=0来表达。为了求得塑性区开展的最大深度Zmax，将(4.31)式对求导数，并令其等于零(按微分

31、学求极值的方法)。,将此2=/2值代入公式(4.31)可得：,(4.32),由上式可见，Zmax随着荷载p的增大而增大。按照定义，在临塑荷载作用下，可认为Zmax=0,此时的基底压力即为临塑荷载（临塑压力）。,(4.32),当Zmax=0，即得临塑荷载pcr的计算公式：,(4.26),式中：Nd、Nc可据值按(4.27)、(4.28)计算或查表(4.4)确定。,3、工程应用公式（4.26）计算临塑荷载pcr,即可用作地基承载力，本身包含安全系数，不需另加安全系数。,1、意义工程中允许塑性区发展范围的大小，与建筑物的规模、重要性、荷载大小与荷载性质以及地基土的物理力学性质等因素有关。,2、定义当

32、地基中的塑性变形区最大深度为：中心荷载基础 Zmax=b/4偏心荷载基础 Zmax=b/3与此相对应的基础底面压力，分别以p1/4或p1/3表示，统称为临界荷载(或界限压力)。,3、临界荷载的计算公式中心荷载将Zmax=b/4代入公式（4.32），整理可得中心荷载作用下地基的临界荷载计算公式：,(4.33),式中 b-基础宽度，m；矩形基础短边，圆形基础采用b=，A为圆形基础的面积 N1/4-承载力系数，据基础底面下值，按公式(4.35)计算，或查表4.4确定。,3、临界荷载的计算公式偏心荷载将Zmax=b/3代入公式（4.32），整理可得偏心荷载作用下地基的临界荷载计算公式：,(4.34),

33、式中 N1/3-承载力系数，据基础底面下值，按公式(4.36)计算，或查表4.4确定。,承载力系数,(4.35),(4.36),对公式的评价：pcr、p1/4和p1/3的计算公式(4.26)、(4.33)、(4.34)都是按条形基础受均布荷载的情况推导而得的，如用于矩形及圆形基础时有一定的误差，但结果偏于安全。计算土中的自重应力时，假定1，这与土的一般情况不符，但这样可使计算公式简化。在计算临界荷载p1/3、p1/4时，土中已出现塑性区，但仍按弹性力学计算土中应力，这在理论上是相互矛盾的，但塑性区不大时，由此引起的误差在工程上还是允许的。pcr与基础宽度B无关，而p1/3、p1/4与B有关，P

34、cr、P1/3、P1/4都随埋深D的增加而加大。对饱和软土，在不排水条件下，0，查表7.26得Mb=0,Md=1.00,Mc=3.14,即N1/4=0,Nd=1.00,Nc=3.14,代入式(4.33)后，可得到饱和软粘土短期（不排水条件下）的承载力设计值如下：f=3.15Cu+0D(式中Cu-土的不排水抗剪强度，kpa),目前极限承载力的计算理论仅限于整体剪切破坏型式，这是因为，这种破坏型式比较明确，有完整连续的滑动面，且已被试验和工程实践所证实。对于局部剪切破坏及刺入剪切破坏，尚无可靠的计算方法，通常是先按整体剪切破坏型式进行计算，再作某种修正。极限承载力（Pu）的求解有两类途径：一类是根

35、据土体的极限平衡原理，利用已知的边界条件求解，由于数学上的困难，只有少数情况可得解析解。另一类是根据模型试验，先假定在极限荷载（Pu）作用时土中滑动面的形状，然后根据滑动土体的静力平衡条件，求解极限荷载。这类方法又由于假设的滑动面形状不同，导出了多种形式的计算公式。,1、定义地基在外荷作用下产生的应力达到极限平衡时的荷载。在PS曲线b点所对应的荷载Pu，称为地基的极限荷载。设计建筑物基础时，当然不能使基础荷载达到极限荷载，必须有一定的安全系数。,2、极限荷载计算公式世界各国计算极限荷载的公式很多，仅介绍几种最常用的。太沙基公式适用于条形基础、方形基础和圆形基础。斯凯普顿公式适用于饱和软土地基，

36、内摩擦角0的浅基础。汉森公式适用于倾斜荷载的情况。(普朗德尔公式、魏斯克公式、梅耶霍夫公式),2、极限荷载计算公式,现以最简单的情况推导地基极限荷载的一般计算公式。Pu=bN+cNc+qNq(4.37)式中 Pu-地基极限荷载，kpa;-基底以下地基土的天然重度，kn/m3;c-基底以下地基土的粘聚力，kpa;q-基础的旁侧荷载，其值为基础埋深范围土的自重压力d,kpa；N、Nc、Nq-地基承载力系数，均为tg=tg(45/2)的函数，亦即的函数。可直接计算或查有关图表确定。,Pu=bN+cNc+qNq(4.37),公式（4.37）的推导如下：按条形基础承受均匀荷载情况，基础宽度为b，基础埋深

37、d,地基土的天然重度，内摩擦角，粘聚力c。以基础底面为计算地面，并假定：,2、极限荷载计算公式,地基滑裂面形状为折线ACCE，如图4.30所示。滑裂面AC与大主应面即基础底面之夹角45/2；基础埋深范围土的自重压力q=d，视为基础两边的旁侧荷载；滑裂体本身的土重Zbtg，简化为平分作用于滑裂体上、下两面，各为1/2btg。,2、极限荷载计算公式,当地基受极限荷载pu而发生剪切破坏时，土体的受力情况可视为类似于三轴压缩试验中的受力情况。将地基滑裂体范围的土体，分为区和区两个矩形分别进行分析：,在pu作用下区首先滑动，然后推动右侧的区滑动。在区：1为竖向应力，3为水平应力。在区：1为水平应力，3为

38、竖向应力。,2、极限荷载计算公式,区的极限平衡条件：由图4.30c，应用公式(4.11)：,(4.11),式中 1最大主应力，即1，未知；3最小主应力，即3，3=q+(btg)/2；滑裂面AC与基础底面的夹角，45+/2。将上列数据代入(4.11)可得：,(4.38),3,2、极限荷载计算公式,I区的极限平衡条件：由图4.30b，应用公式(4.11)：,(4.11),式中 1最大主应力，即1，其值为pu+btg/2；3最小主应力，即3，3=1，其值 为(4.38)；将上列数据代入(4.11)可得：,1,3=1,2、极限荷载计算公式,故,即,(4.37),式中 N承载力系数，N=tg5-tg；N

39、c承载力系数，Nc=2(tg3+tg)；Nq承载力系数，Nq=tg4.,3、极限荷载工程应用,在进行基础设计时，不能采用极限荷载作为地基承载力，必须有一定的安全系数K。K值的大小，应根据建筑物工程的等级、规模与重要性及各种极限荷载公式的理论、假定条件与适用情况而确定。通常取K=1.53.0。,1、适用范围均质地基，基底粗糙的条基；并推广应用于方形基础与圆形基础。,2、理论假定条形基础，均布荷载作用。地基发生滑动时，滑动面的形状，两端为直线，中间为曲线，左右对称，如图4.31所示。滑动土体分为三个区：,弹性压密区,滑动面为曲面，呈对数螺旋线。,滑动面为斜向平面，剖面上呈等腰三角形。,3、条形基础

40、(较密实地基)作用于区土楔上诸力在Pu作用下，地基处于极限平衡状态下，土楔aba顶面的Pu();土楔aba的自重()；土楔斜面ab上作用的粘聚力c的竖向分力()；、区土体滑动时，对斜面ab的被动土压力(EP)的竖向分力()。,Pu(),被动土压力Ep(),3、条形基础(较密实地基)作用于区土楔上诸力在Pu作用下，地基处于极限平衡状态下，土楔aba顶面的Pu();土楔aba的自重()；土楔斜面ab上作用的粘聚力c的竖向分力()；、区土体滑动时，对斜面ab的被动土压力(EP)的竖向分力()。,太沙基公式根据作用于土楔上的诸力和在竖直方向的静力平衡条件，可得：,如Ep已知，则可解得pu，太按挡土墙土

41、压力理论，将ab面作为挡土墙面，求得Ep，得出著名的太沙基公式：,(4.39),3、条形基础(较密实地基),(4.39),公式（4.39）与公式(4.37)形式完全相同，但这公式的承载力系数各异。太沙基公式的承载力系数N、Nc与Nq均可根据地基土的内摩擦角值，查专用的承载力系数图4.32中的曲线（实线）确定。,3、条形基础(较密实地基),适用条件地基土较密实；地基完全剪切整体滑动破坏，即载荷试验结果ps曲线上有明显的b点的情况；,4、条形基础(松软地基)松软地基，ps曲线没有明显拐点的情况，如曲线。建议采用降低土的抗剪强度指标、c的方法对公式进行修正(tg=2/3 tg，c=2/3c)。此时极

42、限荷载按下式计算：,(4.40),式中 N、Nc、Nq-局部剪损时的承载力系数，根据内摩擦角查图4.32中的虚线。,5、方形基础整体剪切破坏,局部剪切破坏,Pu=0.4b0N+1.2cNc+dNq(4.41),Pu=0.4b0N+0.8cNc+dNq)(4.41),式中 b0-方形基础的边长。,Pu=0.3b0N+1.2cNc+dNq(4.42),Pu=0.3b0N+0.8cNc+dNq(4.42),局部剪切破坏,6、圆形基础整体剪切破坏,式中 b0-圆形基础的直径。,7、矩形基础对于矩形基础（宽为b,长为l）,可近似按b/l值，在条形基础（b/l=0）与方形基础（b/l=1）的承载力之间用插

43、入法求得。,8、地基承载力应用太沙基极限荷载公式进行基础设计时，地基承载力为：f=Pu/K(4.43)式中 K-地基承载力安全系数，K3.0.,f=Pu/K(4.43),例题47、48、49,1、适用条件饱和软土地基，内摩擦角0当地基的内摩擦角0时，太沙基公式难以应用，这是因为太沙基公式中的承载力系数N、Nc、Nq都是的函数。斯凯普顿专门研究了0的饱和软土地基的极限荷载计算。浅基础斯凯普顿公式适用于浅基础，基础的埋深d2.5b,即d/b2.5。此条件通常都能满足。矩形基础斯凯普顿还考虑了基础宽度与长度的比值b/l的影响。（考虑了埋深D的效应和基础形状的影响）,2、极限荷载公式斯凯普顿在上述条件

44、下，提出极限荷载的半经验公式如下：,(4.44),式中 c-地基土的粘聚力，取基础底面以下0.7b深度范围内的平均值；,3、地基承载力F=Pu/K式中 K-斯凯普顿公式安全系数，可取：K1.11.5。,4、评论斯凯普顿公式，只限于地基内摩擦角0的饱和软土地基和浅基础并考虑了基础的宽度与长度比值等多方面因素，理论符合实际。工程实践表明，按斯凯普顿公式计算的地基极限荷载与实际接近。,例411、412,汉森公式除考虑基础埋深（D）和土的性质（、C）外，还包括荷载作用方向，与基础形状对地基极限荷载的影响。1、适用条件倾斜荷载作用汉森公式最主要的特点是适用于倾斜荷载作用，这是太沙基公式和斯凯普顿公式都无

45、法解决的问题。基础形状基础宽与长的比值、矩形基础和条形基础的影响都已计入。基础埋深汉森公式适用基础埋深db基础底宽的情况，并考虑了基础埋深与基础宽度之比值的影响。,2、极限荷载公式,式中 Puv-地基极限荷载的竖向分力，kpa；1-基础底面以下持力层土的重度，地下水位以下用有效重度，kN/m3;q-基底平面处的有效旁侧荷载，kpa；Nr、Nc、Nq-承载力系数，根据地基土的内摩擦角值查表4.5确定；Sr、Sc、Sq-基础形状系数，由(4.46)、(4.47)计算；dc、dq-基础埋深系数，由公式(4.48)计算；ir、ic、iq-倾斜系数，与作用荷载倾斜角0有关，根据0与查表4.6。当基础中心

46、受压时，iriciq1。(荷载竖直00),(4.45),基础形状系数，按下列近似公式计算：S10.4b/l(4.46)Sc=Sq=1+0.2b/l(4.47)对条形基础：SrScSq1基础深度系数，下列近似公式计算：dc=dq=1+0.35d/b(4.48)式中 d-基础埋深，如在埋深范围内存在强度小于持力层的弱土层时，应将此弱土层的厚度扣除。,S10.4b/l(4.46),Sc=Sq=1+0.2b/l(4.47),SrScSq1,dc=dq=1+0.35d/b(4.48),2、极限荷载公式,3、滑动面的最大深度汉森公式地基滑动面的最大深度Zmax，可按下式估算：Zmax=b(4.49)式中-

47、系数，与荷载倾斜角0有关，可查表4.7。,Zmax=b(4.49),4、地基为多层土时的计算若地基土在滑动面范围内由n个土层组成，各土层的抗剪强度相差不太悬殊，则可按(4.50)、(4.51)、(4.52)公式计算加权平均重度与加权平均抗剪强度指标值，然后应用汉森公式（4.45）计算地基极限荷载。,5、工程应用安全系数应用汉森公式设计基础时，地基强度安全系数K2.0。应用效果在西欧应用很广。我国上海、天津等地区用汉森公式进行工程校核，其结果较满意，与建筑地基基础设计规范基本符合。例413,1、地基的破坏形式,在极限荷载作用下，地基发生破坏的形式有多种，通常地基发生整体滑动破坏时，极限荷载大；地

48、基发生冲剪破坏时，极限荷载小。地基整体滑动破坏当地基土良好或中等，上部荷载超过地基极限荷载Pu时，地基中的塑性变形区扩展连成整体，导致地基发生整体滑动破坏。滑动面的形状：若地基中有较弱的夹层，则必然沿着弱夹层滑动；若为均匀地基，则滑动面为曲面；地基局部剪切破坏当基础埋深大、加荷率快时，因基础旁侧荷载q=d大，阻止地基整体滑动破坏，使地基发生基础底部局部剪切破坏。地基冲切破坏若地基为松砂或软土，在外荷作用下使地基产生大量沉降，基础竖向切入土中，发生冲切剪切破坏。,2、地基土的指标地基土的，c，越大，则极限荷载p相应也越大。土的内摩擦角土的内摩擦角值的大小，对地基极限影响最大。如越大，即tg(45

49、/2)越大，则承载力系数N、Nc、Nq 都大，对极限荷载Pu计算公式中的三项都起作用，故极限荷载值就越大。土的粘聚力如地基土的粘聚力c增加，则极限荷载一般公式中的第二项增大，即Pu增大。土的重度若地基土的重度增大时，极限荷载公式中的第一、第二两项增大，即Pu增大。如松砂地基采用强历法压密，使增大（同时也增大）则极限荷载增大，即地基承载力增大。这是地基处理方法之一。,3、基础设计的尺寸地基的极限荷载大小不仅与地基土的性质优劣密切相关，而且与基础尺寸大小有关。在建筑工程中，遇到地基承载力不够用，相差不多时，可在基础设计中加大基底宽度和基础埋深来解决，不必加固地基。基础宽度若基础设计宽度b加大时，地

50、基极限荷载公式第一项增大，即Pu增大。但在饱和土地基中，b增大后对Pu几乎没有影响，这是因为饱和软土地基内摩擦角0，则承载力系数N0，无论b增大多少，Pu的第一项均为零。基础埋深当基础埋深d加大时，则基础旁侧荷载q=d增加，即极限荷载公式第三项增加，因而Pu也增大。,4、荷载作用方向荷载为倾斜方向若荷载为倾斜方向，倾斜角0越大，则相应的倾斜系数ir、ic、iq就越小，因而极限荷载Pu也越小，反之则大。倾斜荷载为不利因素。荷载为竖直方向如荷载为竖直方向，即倾斜角00，倾斜系数iriciq1，则极限荷载大。,5、荷载作用时间荷载作用时间短暂若荷载作用时间很短，如地震荷载，则极限荷载可以提高。荷载长