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1、圆锥曲线与方程,2.1圆锥曲线,用一个平面去截一个圆锥面,当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;,当平面与圆锥面的轴垂直时,截线(平面与圆锥面的交线)是一个圆,当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时,观察截线的变化情况,并思考:用平面截圆锥面还能得到哪些曲线?这些曲线具有哪些几何特征?,椭圆,双曲线,抛物线,古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球,使它们都与截面相切(切点分别为F1,F2),又分别与圆锥面的侧面相切(两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2)过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1,圆O2与P,Q两点,因为过球外一点作球的切线长相等,所以MF1=MP,MF2=
2、MQ,,MF1+MF2 MP+MQ PQ定值,椭圆的定义:,可以用数学表达式来体现:,设平面内的动点为M,有(2a 的常数),平面内到两定点,的距离和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆,,两个定点,叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。,椭圆形成演示椭圆定义.gsp,思考:在椭圆的定义中,如果这个常数小于或等于,动点M的轨迹又如何呢?,思考:是否平面内到两定点之间的距离和为定长的点的轨迹就是椭圆?,结论:(若 PF1PF2为定长)当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1PF2 F1F2时,P点的轨迹是椭圆。)当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1PF2 F1F2时
3、,P点的轨迹是一条线段F1F2。为什么.gsp)当动点到定点F1、F2距离PF1、PF2满足PF1PF2 F1F2时,点没有轨迹。,双曲线的定义:,两个定点,叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。,平面内到两定点,的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线,,可以用数学表达式来体现:,设平面内的动点为M,有(02a 的常数),双曲线形成演示双曲线的定义性质.gsp,拉链画双曲线.gsp,思考:平面内到两个定点,的距离的差的等于常数(小于F1F2)的点的轨迹是什么?,是双曲线的一支。,问题:怎样确定是哪一支?,看和谁大,偏向小的一边。,抛物线的定义:,平面内到一个定点F和
4、一条定直线L(F不在L上)的距离相等的点轨迹叫做抛物线,,定点F叫做抛物线的焦点,定直线L叫做抛物线的准线,设平面内的动点为M,有,可以用数学表达式来体现:,MF=d(d为动点M到直线L的距离),抛物线形成演示2.1圆锥曲线.doc,说明:,1、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线,2、我们可利用上面的三条关系式来判断动点M的轨迹是什么!,例1已知条件p:平面上的动点M到两定点F1,F2的距离之和为常数2a|F1F2|;条件Q:动点M的轨迹以F1,F2为焦点的椭圆,则P是Q的()条件A.充分不必要 B。必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要,例2如图:一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M
5、是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于P,则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆为什么.gsp,C,A,例3一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆的圆心轨迹为(),变式:过点A(3,0)且与y轴相切的动圆圆心的轨迹为()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆,双曲线右支,C,例4(1)已知F1,F2为定点,F1F24,动点M满足MF1+MF2=4,则动点的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段(2)到两定点A(4,0),B(-4,0)的距离之差的绝对值是8的轨迹是,D,两条射线,1、已知ABC中,B(-3,0),C(3,0),且AB,BC,AC成等差数列。(1)求证:点A在一个椭圆上运动;(2)写出这个椭圆的焦点坐标。,解:(1)根据条件有AB+AC=2BC,即AB+AC=12,即动点A到定点B,C的距离之和为定值12,且126BC,,所以点A在以B,C为焦点的一个椭圆上运动.,(2)这个椭圆的焦点坐标分别为(-3,0),(3,0),练习,练习2、已知ABC中,BC长为6,周长为16,那么顶点A在怎样的曲线上运动?,小结:,1.三种圆锥曲线的形成过程,2.椭圆的定义,3.双曲线的定义,4.抛物线的定义,
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