哈工大大学物理课件(马文蔚教材)-第4章力学.ppt

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1、第四章 刚体的转动,4-1 刚体的定轴转动,1.平动:,在运动过程中刚体上的任意一条直线在各个时刻的位置都相互平行,A,B,A,B,B”,A”,刚体的平动,任意质元运动都代表整体运动,2.定轴转动,刚体所有质元都绕一固定直线（定轴）做圆周运动,刚体的平动和定轴转动,用质心运动代表刚体的平动,（质心运动定理）,用角量描述转动,1)角位移:在 t 时间内刚体转动角度,2)角速度:,3)角加速度:,z,刚体定轴转动,角速度,的方向按右手螺旋法则确定,3,切向分量,法向分量,z,O,4.线量与角量关系,匀变速直线运动,匀变速定轴转动,4-2 质点的角动量 角动量守恒定律,1.定义:,称为一个质点对参考

2、点O的质点角动量或质点动量矩,一 质点的角动量,例：自由下落质点的角动量,任意时刻 t，有,（1）对 A 点的角动量,（2）对 O 点的角动量,2.质点的角动量定理,角动量的时间变化率,力矩,定义：对o点力矩,质点的角动量定理,大小,质点对某固定点所受的合外力矩等于它对该点角动量的时间变化率,二 质点角动量守恒定律,则,或,若对某一固定点，质点所受合外力矩为零，,则质点对该固定点的角动量矢量保持不变。,若,质点的角动量定理,质点做匀速直线运动中，对0点角动量是否守恒？,例：,例 试利用角动量守恒定律:1)证明关于行星运动的开普勒定律:任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠

3、面速度不变.(2)说明天体系统的旋转盘状结构.,(1)行星对太阳O的角动量的大小为,其中,是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.,表示,时间内行星所走过的弧长,则有,若用,表示从O到速度矢量 v 的垂直距离,则有,用,证明,时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积,如图中所示.,其中,是,其中 d/dt 称为掠面速度.,由于万有引力是有心力,它对力心O的力矩总是等于零,所以角动量守恒,L=常量,行星作平面运动,而且,这就证明了掠面速度不变,也就是开普勒第二定律.,(2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构,天体系统的旋转盘状结构,*三 质点系的角动量定理,质点系角动量,第i个质点角

4、动量的时间变化率,质点系的角动量定理,时,质点系的角动量守恒,1.质点系角动量,由,得,以上两式先后代入前式,因为这里,*四 质心参考系中的角动量,（质心相对质心的位矢为0）,质点系角动量可以表示为,其中,也叫固有角动量,2.质心参考系的角动量定理,对定点O：,由,由质心运动定理,即,质心参考系的角动量定理,（对质心的合外力矩等于对质心的角动量的时间变化率）,质心可以是动点，上式对非惯性系也成立！,前面的角动量定理只对固定点和惯性系才成立,注意：,注意:,1)若质点所受外力是 有心力,即,沿着或背着,这时质点系的角动量守恒,2)若质点系所受外力是重力,即,则在质心参考系中,角动量总是守恒的,3

5、)角动量定理、角动量守恒式都是矢量式，它们对每个分量都成立,的方向,4-3 刚体定轴转动定律,质点系的角动量定理,Z轴分量,质元,对O点的力矩,（垂直z轴）,（垂直z轴）,刚体到转轴的转动惯量,对固定轴,刚体定轴转动定律,与牛顿第二定律对比,刚体到转轴的转动惯量,转动惯量的物理意义:,1.刚体转动惯性大小的量度,2.转动惯量与刚体的质量有关,3.J 在质量一定的情况下与质量的分布有关,4.J与转轴的位置有关,对比刚体的角动量和质点的动量,转动惯量的计算,称为刚体对转轴的转动惯量,对质量连续分布刚体,线分布,面分布,体分布,是质量的线密度,是质量的面密度,是质量的体密度,例:一均匀细棒长 l 质

6、量为 m,1)轴 z1 过棒的中心且垂直于棒,2)轴 z2 过棒一端且垂直于棒,求:上述两种情况下的转动惯量,o,Z 1,解:棒质量的线密度,所以只有指出刚体对某轴的转动惯量才有意义,有关转动惯量计算的几个定理,1）平行轴定理,z,h,式中:,关于通过质心轴的转动惯量,m 是刚体质量,h 是 c 到 z 的距离,是关于平行于通过质心轴的一个轴的转动惯量,2）垂直轴定理,0,对于薄板刚体,C,薄板刚体对 z 轴的转动惯量,等于对 x 轴的转动惯量,与对 y 轴的转动惯量,之和,3）转动惯量叠加,如图,式中:,是A球对z轴的转动惯量,是B棒对z轴的转动惯量,是C球对z轴的转动惯量,4）回转半径,任

7、意刚体的回转半径,式中:J 是刚体关于某一轴的转动惯量,m 是刚体的质量,例:,G 不是质心,C,G,转动惯量的计算,例:,均匀圆盘绕垂直于盘面通过中心轴的转动惯量 如下图:,解:,设圆盘半径为 R,R,r,ds,Z,则质量面密度,总质量为 m,刚体定轴转动定律的应用,已知：,滑轮M（看成匀质圆盘）半径R,物体 m1 m2,求：,a=?,a,m1g,m2g,T,解：,对否？,T1,T2,T,否则滑轮匀速转动，而物体加速运动,T1,T2,转动定律,线量与角量关系,M,1.,已知：,2.,匀质杆m,长,下落到时,求：,解：,C,质心运动定理,转动定律,质心运动定理,4-4 力矩作功 刚体绕定轴转动

8、的动能定理,刚体的转动动能,定轴转动动能定理,力矩作功,力矩的功率,4-5 对定轴的角动量守恒,角动量定理,1 质点,由,微分式,积分式,2 质点系,由,微分式,积分式,3 定轴转动刚体,积分,这里,定轴转动刚体角动量守恒,已知：,匀质杆M,长,子弹m,水平速度,求：,射入不复出,解：,对M m系统,系统角动量守恒,进动,据刚体的角动量定理有:,同方向,重力矩,式中:,是陀螺质心的位置矢量,与自转轴同向,故与,平行,时间内,的变化为:,角动量,顶端绕一水平圆周运动,把自转轴绕一竖直轴的这种转动,称为旋进或进动.,r sin,rc,(a),(b),(c),与,陀螺仪,若转子稍不对称,就会对各个支撑轴产生巨大的作用力使其损坏,所以设计转子精度要高.,应用:航海、航空、导弹和火箭等系统的定向、导航和自动驾驶等.它们的转子速度达万转每分;,