刚体转动动力学基础.ppt

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1、2023/9/5,1,第一章,刚体定点转动的力学基础,2023/9/5,2,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,刚体 如果有某些不为零的力或力系作用在一个系统的某些质点或所有质点上，并且对于任意时刻，系统两点之间的距离始终保持，则该系统称为刚体。,刚体坐标系 固结在刚体上的坐标系。刚体系相对参考坐标系的位置和运动，可以描述刚体相对参考坐标系的位置和运动。,2023/9/5,3,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,自由刚体的运动自由度 三个平动自由度和三个转动自由度（即六自由度）。,2023/9/5,4,自由刚体位置和运动的描述：用刚体上三个非共线的点的位置和运动来描述。定轴转动刚体：刚体上

2、的两点相对于参考坐标系固定，失去平动的自由，只能绕该轴转动。定点转动刚体：刚体上的一点相对于参考坐标系固定，失去平动的自由，只能绕该点转动。,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,2023/9/5,5,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,2023/9/5,6,一 质点的位置向量及其表示方法,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,广义坐标,列向量表示,方向余弦,一个空间自由质点相对参考系的位置，可以用三个独立参数来表示，也可以用多于三个的不完全独立的参数来表示，后者必须满足约束条件。,2023/9/5,7,二 定点转动刚体角位置的广义坐标表示,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,三个非共线向

3、量的广义坐标,自由刚体六个参数独立,定点刚体三个参数独立,2023/9/5,8,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,三 定点转动刚体角位置的方向余弦描述,采用三个正交向量作为刚体坐标系，其方向余弦表示为：,确定刚体坐标系三根轴的九个方向余弦（一个33的矩阵），可以确定刚体的角位置。,2023/9/5,9,三 定点转动刚体角位置的方向余弦描述,对于刚体的一个角位置，有唯一的一个方向余弦矩阵，反之亦然。,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,2023/9/5,10,方向余弦矩阵的应用：坐标变换及基本公式,讨论：,2023/9/5,11,讨论：,方向余弦矩阵的性质,（1）两个方向余弦矩阵互为转置矩

4、阵,（2）两个方向余弦矩阵互为逆矩阵,（3）方向余弦矩阵是正交矩阵,约束方程,2023/9/5,12,方向余弦矩阵的约束方程,讨论：,2023/9/5,13,四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,选用三个独立的角度来表示定点转动刚体的方位。,依次三次转动，第三次转动的转动轴选取不同，产生两类欧拉角。,2023/9/5,14,第类欧拉角(转动顺序为：Z-X-Z),四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述,2023/9/5,15,第类欧拉角的线性化,四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述,对于无限小角度转动，第类欧拉角的三个参数不再独立。,2023/9/5,16,第类欧拉

5、角（转动顺序为：X-Y-Z）,四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述,2023/9/5,17,第类欧拉角的线性化,四 定点转动刚体角位置的欧拉角描述,两类欧拉角的差别在于：在第三次转动时，是用第一次转动用过的轴还是用前两次都未用过的轴。,对于无限小角度转动，第类欧拉角的三个参数独立。,2023/9/5,18,五 定点转动刚体角速度的欧拉角描述,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,2023/9/5,19,为了表示旋转质量陀螺仪动力学方程的方便，求出刚体转动角速度在中间坐标系中的投影：,2023/9/5,20,1.1 刚体的角位置与角速度描述方法,五 定点转动刚体角速度的欧拉角描述,2023/9/5

6、,21,1.2 常用参考坐标系,一 惯性坐标系,1.日心惯性坐标系,2.地心惯性坐标系,日心坐标系的原点取在太阳的中心，三根轴指向确定的恒星。,地心坐标系的原点设在地球中心处，x和y轴位于地球赤道平面并分别指向确定的恒星，z轴与地球自转轴（地球极轴）重合，并指向北极星。,2023/9/5,22,1.2 常用参考坐标系,二 地球坐标系及其旋转角速度,坐标系原点设在地球中心,三根轴与地球相固结。,2023/9/5,23,1.2 常用参考坐标系,三 地理坐标系,1.地固地理坐标系,原点选在地球上任一点，三根轴与地球固结，东北天指向。,2023/9/5,24,1.2 常用参考坐标系,2.当地地理坐标系

7、,原点设在沿地球表面运动的物体上，轴与地固地理坐标系的指向相同，不与地球固结。除随地球自转以外，还随物体相对地球运动，但不参与物体俯仰、倾斜等运动。,2023/9/5,25,1.2 常用参考坐标系,2.当地地理坐标系,2023/9/5,26,1.2 常用参考坐标系,四 地平坐标系,原点设在运载体质心，y轴水平并沿载体运动方向,z轴铅直向上。,2023/9/5,27,1.2 常用参考坐标系,五 载体坐标系,坐标原点设在载体质心，三个坐标轴与载体相固结。,2023/9/5,28,1.2 常用参考坐标系,六 陀螺坐标系,2023/9/5,29,哥氏定理描述的是一般的空间自由质点相对于不同参考系的速度

8、和加速度。,1.3 刚体定点转动的一般原理,一 哥氏定理与哥氏加速度,两个参考系之间存在相对转动时，质点的速度和加速度与两坐标系相对静止时有所差别。,2023/9/5,30,两个参考系之间相对静止时，质点的速度和加速度没有差别。,n系,b系,一 哥氏定理与哥氏加速度,2023/9/5,31,两个参考系之间相对转动时,大小变化,b系的方位变化,一 哥氏定理与哥氏加速度,2023/9/5,32,两个参考系之间相对转动时,一 哥氏定理与哥氏加速度,2023/9/5,33,哥氏定理的向量表示,同一个向量相对两个不同参考坐标系对时间取导数之间的关系。只有在两个参考系之间无相对转动时，二者才相等。有时称左

9、边为绝对导数，右边第一项为相对导数。,一 哥氏定理与哥氏加速度,2023/9/5,34,由哥氏定理可得到速度合成公式,质点相对于参考系的速度。,坐标系相对于参考系的速度,质点相对于坐标系的速度,附加速度,牵连速度,一 哥氏定理与哥氏加速度,2023/9/5,35,对速度合成公式再取一次时间导数，可得到加速度之间的向量合成关系：,一 哥氏定理与哥氏加速度,2023/9/5,36,一 哥氏定理与哥氏加速度,动点在参考坐标系中的视加速度,动点的爱因斯坦加速度，是动系线性加速运动产生的。,动点在动坐标系中的相对加速度,2023/9/5,37,一 哥氏定理与哥氏加速度,动点的哥氏加速度,动点的欧拉加速度

10、,动点的向心加速度,牵连加速度,2023/9/5,38,讨论：用哥氏定理研究近地表面物体,b=e 系：地球坐标系,i 系 地心惯性系,速度,加速度,2023/9/5,39,讨论：用哥氏定理研究近地表面运动物体,e 系：地球坐标系,i 系 地心惯性系,2023/9/5,40,二 非惯性系中的牛顿定律,惯性系中的牛顿第二定律：,根据哥氏定理：,：牵连惯性力,：哥氏惯性力,2023/9/5,41,二 非惯性系中的牛顿定律,达朗贝尔原理的一般形式,2023/9/5,42,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,刚体对任意轴转动惯量的表达式,2023/9/5,43,刚体对任意轴转动惯量的表达式,三 转动惯量、

11、惯量椭球与惯性主轴,定义：,刚体对x轴的转动惯量；,刚体对y轴的转动惯量；,刚体对z轴的转动惯量；,刚体对y轴和z轴的惯量积；,刚体对z轴和x轴的惯量积；,刚体对x轴和y轴的惯量积；,2023/9/5,44,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,刚体对任意轴转动惯量的表达式,刚体对任意转动轴的转动惯量可以用刚体对坐标轴的转动惯量、惯量积以及转动轴的方向余弦来表示。,2023/9/5,45,讨论：转动惯量的求解,求下图装置对不同坐标系的转动惯量,2023/9/5,46,求圆环与匀质圆盘的转动惯量,圆环,匀质圆盘,2023/9/5,47,转动惯量矩阵,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,2023/9/5

12、,48,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,惯量椭球,P（x,y,z）,l,x,y,z,o,d,2023/9/5,49,惯量椭球,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,过坐标原点到椭球面上的任意点的距离，反映了刚体对该任意轴的转动惯量。该椭球可用来描述刚体对所有过原点的轴的转动惯量的情况。称之为刚体的惯量椭球或惯性椭球。,2023/9/5,50,惯性主轴,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴,如果刚体对某根轴的惯量积为零，则称该轴为刚体的惯性主轴，对于惯量椭球的三根对称轴，刚体的惯量积是为零，所以这三根对称轴是刚体的惯性主轴。,2023/9/5,51,陀螺转子的转动惯量,三 转动惯量、惯量椭球与惯性主轴

13、,转子形状对自转轴对称，自转轴是转子的惯性主轴；包含自转轴的任何平面都是转子的对称平面，可判断出垂直于自转轴的任意轴均是转子的惯性主轴。在转子赤道平面内的任意赤道轴都是垂直于自转轴的，故任意赤道轴也均是转子的惯性主轴。,对于旋转质量陀螺仪，转子的转动惯量是一个重要的参数，陀螺电机采用“内定子、外转子”结构，使质量分布远离自转轴。而且，转子采用金属材料，使其具有较大的转动惯量。,2023/9/5,52,四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程,质点的角动量及角动量定理,2023/9/5,53,定点转动刚体的角动量,四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程,2023/9/5,54,四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程,定点转动刚体的角动量,惯性主轴,2023/9/5,55,刚体的角动量定理与欧拉动力学方程,四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程,哥氏定理,角动量定理,2023/9/5,56,刚体的角动量定理与欧拉动力学方程,四 角动量、角动量定理与欧拉动力学方程,刚体系取惯性主轴,2023/9/5,57,第一章小结,刚体的角位置与角速度描述 方向余弦矩阵的定义、性质及求取；欧拉角的定义、坐标变换；瞬时角速度的欧拉角表示。常用坐标系 惯性坐标系、地球坐标系、地理坐标系；常用坐标系的角速度及不同坐标系间的转换。基本定理与基本方法 哥氏定理、转动惯量、角动量定理、欧拉方程。,