信号与噪声傅立叶变换.ppt

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1、1,信号的频谱分析,第二章 信号与噪声,2,1.信号分解2.周期信号的傅立叶级数展开,3,信号分解,信号,直流分量+交流分量,偶分量+奇分量,实部分量+虚部分量,脉冲分量,正交分量,分解结果是唯一的,4,信号分解为冲激信号序列 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。,5,连续信号分解为冲激函数的线性组合,6,从上图可见，将任意信号f(t)分解成许多小矩形，间隔为，各矩形的高度就是信号f(t)在该点的函数值。根据函数积分原

2、理，当很小时，可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号f(t)；而当0时，可以用这些小矩形来精确表达信号f(t)。即,7,(,8,上式只是近似表示信号f(t),且越小，其误差越小。当0时，可以用上式精确地表示信号f(t)。由于当0时，k，d，且,故式在0时，有,9,物理意义：,不同的信号都可以分解为冲激序列，信号不同只是它们的系数不同。,实际应用：,当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时不变系统的特性，进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。,信号分解(t)为物理意义与实际应用,10,周期信号的频域分析非周期信号的频谱常见信号的频谱F

3、ourier变换的性质,信号正交分量分解,11,周期信号的频谱分析-傅立叶级数,周期信号的傅立叶级数展开周期信号的频谱及其特点周期信号的功率谱,12,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合,(1)从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。,(2)从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。,一、周期信号的傅立叶级数分析,意义：,13,三角函数集,三角函数集是最重要的基本正交函数集，1,Sin n 1t,Cos n 1t,n=1,2,+，

4、它具有以下优点：,（1）三角函数是基本函数；（2）用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系；（3）基频三角函数是简谐信号，它容易产生、传输、处理；（4）三角函数信号通过LTI系统后，仍为同频三角函数信号，仅幅度和相位有变化，计算方便。,14,三角形式傅立叶级数,若f(t)=f(t+nT)，则f(t)为周期信号，T为最小正周期，f1=1/T是信号的基波频率。若f(t)满足Dirichlet条件，则f(t)可以展开为三角形式的傅立叶级数,基波角频率,15,三角形式傅立叶级数(续),根据三角函数集的正交性，可确定a0、an、bn,16,纯余弦形式傅立叶级数,c0称为信号的直流分量

5、,称为信号的n次谐波分量,C0=a0,其中,同频率合并,17,根据这些计算公式可知，系数an、bn、cn及相位 n与n 1是对应的。从图中我们可以清楚地看出各频率分量的相对大小，这种图称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条线表示某一频率分量的幅度称为谱线。画出各分量的相位与n 1的关系，这种图称为相位频谱，简称相位谱。,18,以上分析说明，任何满足Dirichlet条件的周期信号，都可以分解为直流及许多余弦分量之和，这些分量的频率是 1=2/T 基波频率的整数倍，2 1为二次谐波频率，3 1为三次谐波频率,n 1为n次谐波频率；相应地，C0为直流分量的幅度，C1为基波振幅，C2为二次谐波振幅

6、，C3为三次谐波振幅,Cn为n次谐波振幅。1为基波初相位，2为二次谐波相位，3为三次谐波相位,n为n次谐波相位。,周期信号分解为直流分量、基波分量以及各次谐波分量。各频率分量的振幅大小、相位的变化取决于信号的波形。,19,2 复指数形式傅立叶级数,推导过程：利用欧拉公式,将三角形式的Fourier级数，表示为复指数形式的Fourier级数。,复指数形式的Fourier级数:,20,复指数形式傅立叶级数（续）,由于,21,复指数形式傅立叶级数（续）,22,指数形式傅立叶级数(续),物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。,23,周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和

7、,Fn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数,也称FS频谱。,不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Fn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。,频谱的概念,24,频谱的表示,直接画出信号各次谐波对应的频谱Fn、Fn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。,幅频特性,相频特性,简称FS的幅度谱,简称FS的相位谱,25,两项的基波频率为 1，两项合起来称为信号的基波分量,的基波频率为2 1，两项合起来称为信号的2次谐波分量,的基波频率为N 1，两项合起来称为信号的N次谐波分量,三角形式的傅立叶级数中Cn是第n次谐波分量的振幅，但在指数式傅立叶级

8、数中，Fn要与自相对应的F-n合并，构成第n次谐波分量的振幅和相位。,另外要注意的是，在指数式傅立叶级数中引入了负频率。实际负频率是不存在的。这只不过是将第n次谐波分量的三角形式写成两个复指数形式后出现的一种数学表示。,26,例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展开式，并画出频谱图。,解:该周期信号f(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，必然存在傅立叶级数展开式。,27,因为信号显然是实偶函数，因此其三角形式的FS展开将只有直流分量和余弦分量。即展开形式为,因此，周期方波信号的指数形式傅立叶级数展开式为,可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为,28,29,例1周期矩形脉冲信号的频

9、谱图,n,F,n,T,A,/,t,T,/,2,p,w,=,t,p,2,t,p,2,-,30,频谱的特性,(1)离散频谱特性,周期信号的频谱是由 间隔为的离散谱线组成,信号周期T越大，就越小，则谱线越密。反之，T越小，越大，谱线则越疏。,(2)幅度衰减特性,当周期信号的幅度频谱 随着谐波n增大 时，幅度频谱|Fn|不断衰减，并最终趋于零。,31,信号的有效带宽,02/这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即,信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。即 越大，其B越小；反之，越小，其B越大。,物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。,说明：当信号通过系统时，

10、信号与系统的有效带宽必须“匹配”。,32,周期信号的功率谱,物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。,周期信号的功率频谱：|Fn|2 随nw0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。,帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理,33,例题4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。,34,解 周期矩形脉冲的傅立叶复系数为,将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式,包含在有效带宽(02p/t)内的各谐波平均功率为,信号的总平均功率为,35,周期信号的功率谱,36,周期信号的频域分析小结,分析问题使用的数学工具为傅里叶级数最重要概念：频谱函数要点1.频谱的定义、物理意义2.频谱的特点3.有效带宽的概念及在工程中的应用,37,傅立叶级数的系数,T信号的周期,脉宽,基波频率0,傅立叶级数小结,