保险的数理基础.ppt

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1、第十二章 保险精算保险的数理基础,本章教学目的,了解保险精算的产生与发展、基本任务和基本原理，掌握非寿险精算中保险费率的厘定方法、“大数”的测定、财务稳定性分析，以及自留额与分保额的决策；掌握寿险精算中生命表，趸缴纯保险费、年金保险纯保险费、年度纯保费和毛保险费的计算，以及理论责任准备金和实际责任准备金的计算。,第一节 保险精算概述,一、保险精算的产生与发展 精算就是运用数学、统计学、金融学及人口学等学科的知识和原理，去解决工作中的实际问题，进而为决策提供科学依据。保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保险事

2、故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题的计算。,寿险精算是从寿险经营中应运而生的。在早期，寿险的保费未与年龄大小、死亡率高低等联系，计算单一、粗糙，考虑的因素少，因而使寿险经营缺乏严密的科学基础。17世纪后半叶，两位保险精算创始人研究人寿保险计算原理取得突破性进展，一位是荷兰的政治家维德(Jeande Witt)，他倡导了一种终身年金现值的计算方法，；另一位是英国天文学家赫利（Edmund Halley），他在研究人的死亡率的基础上发明了生命表，从而使年金价值的计算更精确。18世纪40年代至50年代，辛浦森（Thomas

3、Simpson）根据赫利的生命表，制作出依照死亡率增加而递增的费率表，陶德森(James Dodson)依据年龄之差等因素而找出计算保险费的方法。,与寿险精算相比，非寿险精算相对落后。但由于所定的保险费率较高，保费收入不仅超过收支相抵的适当水平，还包括充足的准备金以应付各种意外损失，因而使保险业仍有利可图。进入20世纪以来，情况发生根本的变化。首先，出现了前所未有的巨大风险；其次，在日益完善的保险市场上，保险人之间的竞争愈演愈烈；再者，还存在着保险费率的剧烈下降，奉行客户至上主义，甚至政府对某些险种的费率实行管制等多种因素。保险人不再可能收取显著高于适当水平的保费并在业务中保持。随着统计理论及

4、其不断成熟，保险人在确定保险费率、应付意外损失的准备金、自留限额、未到期责任准备金和未决赔款准备金等方面，都力求采用更精确的方式取代以前的经验判断。,顾名思义，精算师是在保险公司专司精算职责的人。通常，精算师在保险公司的传统职能是计算保险费率和评估公司每年度的责任准备金。随着国际保险市场的开放和保险精算的发展，有些国家已经开始授予一定的法定职能于精算师。发生这种转变的主要原因有：确保保险市场的整体稳定、定价合理、保险公司的财务稳定和能够为投保人提供保障。寿险品种和保险市场的发展日趋复杂；部分国家和地区的精算师学会对其会员制定专业指引和守则，以确保其会员可以正确履行精算师的职能；精算师熟悉保险公

5、司的整体运作。为了增强保险公司的竞争能力，有关保险条例必须根据每家公司的不同情况灵活处理，同时必须顾及保险公司财政状况的稳定。,二、保险精算的基本任务 最初的定义是“通过对火灾、盗窃以及人的死亡等损失事故发生的概率进行估算以确定保险公司应该收取多少保费。”在寿险精算中，利率和死亡率的测算是厘定寿险成本的两个基本问题。由于利率一般是由国家控制的，因此，死亡率的测算即生命表的建立成为寿险精算的核心工作。非寿险精算始终把损失发生的频率、损失发生的规模以及对损失的控制作为它的研究重心。现在，非寿险精算已经发展了两个重要分支：一是损失分布理论；二是风险理论。伴随着利率市场化，保险基金的风险也变为精算研究

6、的核心问题。在这方面要研究的问题包括投资收益的敏感性分析和投资组合分析、资产和负债的匹配等。,三、保险精算的基本原理 保险精算最基本的原理可简单归纳为收支相等原则和大数法则。所谓收支相等原则就是使保险期内纯保费收入的现金价值与支出保险金的现金价值相等。由于寿险的长期性，在计算时要考虑利率因素，可分别采取三种不同的方式：期末保费收入本利和（终值）及支付保险金的本利和（终值）保持平衡；合同成立时的保费收入的现值和支付保险金的现值相等；某一时点的保费收入和支付保险金的“本利和”或“现值”相等。所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列定理的统称。,补充内容,

7、风险事故是否发生具有不确定性，风险事故引发的损失即损失的程度也具有不确定性，正是由于这种不确定性，导致了危险的产生，从而产生了对保险的需求。可以讲，没有风险就没有保险。现代保险学是建立在概率论和大数定律基础上的，概率论和大数定律为保险经营的稳定性、费率厘定的科学以及保险风险的集合与分散的可行性提供了科学依据。,概率统计的相关概念,一、随机现象、随机试验和随机事件随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性而在大量重复试验中，其结果又具有统计规律性的现象称为随机现象。随机现象是通过随机试验来研究的。当试验具备以下三个特征时，可以称该试验为随机试验：（1）可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的结

8、果不止一个，而且所有可能的结果是事先知道的；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。随机试验所有可能结果的集合称为样本空间。样本空间的子集称为随机试验的随机事件。在一个随机试验中，它的每一个可能出现的结果都是一个随机事件，它们是试验中最简单的随机事件，称为基本随件事件。,二、概率与频率概率：衡量随机事件发生可能性大小的尺度，概率大表示随机事件出现的可能性就大，反之，概率小表示随机事件出现的可能性就小。在实际应用中，一种广为接受的确定随机事件概率的方法是概率的频率解释。当试验次数很大时，随着的增大，频率也将越趋近于某一数值，这时可以用表示事件发生的概率。对于概率的频率解释，在大数定律中将

9、给出严格的理论证明。,保险实务中，常常用频率来表示风险事件的损失概率。例如，可以用一定时期内汽车发生交通事故的比例或特定年龄人口在一定时期内的死亡比例来估计死亡概率。在人寿保险中，确定每个年龄段的死亡率的依据是生命表。生命表是以人口普查资料为依据，根据一定时期某一国家或地区的特定人群有有关生存、死亡的统计资料，加以分析整理而成的一种表格。它是人寿保险测定危险的工具，是寿险精算的数理基础。下面列出了中国人寿保险业经验生命表（19901993年）男性部份年龄段的生命表：,三、概率分布与数字特征 为了全面地研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律，可以引入随机变量的概念将随机试验的结果数量化。,大

10、数定律及其在保险中的应用,保险人分散风险、分摊损失的功能是通过集合大量的具有相同性质的经济单位或个人来实现的。一个深层次的问题是，为什么保险人通过这种风险汇聚的方式能够实现分摊损失、降低风险的目的，其理论依据是什么？大数定律将对这个问题作出科学地回答和解释。大数定律是用来说明大量重复的随机现象往往呈现必然规律的一系列定理的统称，它是保险经营的重要数理基础。,伯努利大数定律、泊松大数定律、契比雪夫大数定律这三个大数定律应用于保险得出的最有意义的结论是：保险人承保的同质危险单位越多，则通过以往统计数据估算出来的损失频率与实际概率的偏差就越小；保险机制分摊损失和分散风险的效率就越高；保险费率的厘定就

11、越科学；保险人的财务稳定性也越强。,大数定律在保险中应用的双重性：要准确估计事件发生的概率，保险公司必须掌握大量的经验数据；概率估计值必须运用到大量的危险单位中才能对未来损失有较准确的估计；假设前提：1.过去事件发生的概率和未来事件发生的概率相同；2.对过去事件发生概率的估计是准确的。,第二节 非寿险精算,一、保险费率的构成保险费：投保人为了获得经济保障而向保险人缴纳的费用。保险费又称为毛保费、营业保费，由纯保险费和附加保费构成。纯保费：根据风险概率计算而得，是发生保险事故时进行保险金赔付的资金来源。附加保费：经营保险业务所必需的的各项营业支出和预期利润，包括营业税、代理手续费、企业管理费、工

12、资及工资附加费、固定资产折旧费、税金以及企业盈利等。,二、保险费率保险费率是保险费与保险金额的比例，又称为保险价格。其含义为单位保险金额的保费，通常以每百元或每千元的保险金额应缴的保险费来表示。保险费率一般也由纯费率与附加费率两部分组成，即：毛费率=纯费率+附加费率。纯费率又称净费率，它是用来支付赔款或保险金的费率，其计算依据因险种的不同而不同。财产保险纯费率的计算依据是损失率，人寿保险纯费率计算的依据是利率和生命表。附加费率是附加保费与保险金额的比率。,三、保险费率的特点保险费率的厘订在实际成本发生之前，是对将来保险损失的一种数理预测。保险费率实际上保险人根据过去的赔付统计资料对未来损失的一

13、种预测。就单个保险合同而言，保险费率与将来保险金的赔付并没有对等关系。就同一类保险业务来说，保险费率与保险标的的风险程度相适应，风险高则费率高，风险低则费率低，收取的总纯保险费理论上应等于总的保险金支出。因此，保险人只能对不同类型的保险业务推断出一个保险金额损失率的期望值作为保险费率。保险费率受政府的管制较严。由于保险技术的复杂性，以及保险业在保障整个社会安全运行中的重要地位，保险监管部门具有规定保险费率的计算方法，审核保险费率的合理性，必要时可以要求保险人修正保险费率。,四、保险费率厘定的基本原则 公平合理原则 保证偿付原则（充分原则）相对稳定原则 促进防灾防损原则,五、保险费率厘定的方法

14、保险费率的厘订，从理论上讲是在依据损失概率测定纯费率的基础上，再加上附加费率得到的市场保险费率或毛保费率。在实际业务过程中，因为保险费率的测定还需要必要的技术支持，所以存在不同的费率厘订方法。一般来说，保险费率的厘定方法大致有以下三种。,2.分类法分类法是基于风险分类来计算保险费率的方法。具体做法是，依据明显的风险标志，将保险标的分成若干类别。同类标的被认为具有大体相同的风险，归入相应的风险群体，再对每个群体分别确定费率。在具体承保时，先找出保险标的所在的风险类别，再据以确定其适用的费率水平。,1.观察法（个案法）,分类法是基于这样一种假设：被保险人将来的损失很大程度上由一系列相同的风险因素决

15、定。这一方法有时也被叫做手册法，因为各种分类费率平常印在手册之上，保险人只需查阅手册，便可决定费率。这是一种最常用也是最主要的保险费率厘订方法，广泛运用于财产保险、健康保险和大部分人身意外伤害保险。对于财产保险，一般根据标的物的使用性质分为不同的类别，每一类又可以分为若干等级。对于人身保险，一般按照性别、年龄、健康状况、职业等分类。,分类法的思想符合保险运行所遵循的大数定律。大数定律要求保险标的损失概率相同。只有标的物面临同质风险，才能较好地符合这个条件。因此，必须在对风险进行分类的基础上确定不同类别的保险费率。在进行分类时，为了保持其精确度，一方面要求其分类适当，另一方面要求各类保险标的都有

16、足够的数量。决定每类费率时，主要考虑相同的标的类型，相同的风险，相同的保险期限等因素。分类法的优点在于便于运用，适用费率可迅速查到，缺点是不尽公平。,分类费率可通过两种方法来计算：纯保险费率法和损失比率法。两种方法的不同之处在于：纯保险费率法以损失经验为计算基础，而损失比率法则以整个行业的实际损失为计算基础；1、纯保险费率法。其主要做法是：将同一类同质风险单位进行集合，根据统计资料计算其总体的风险事故发生频率，作为风险事故概率的近似，进而确定纯费率，再加上一定的附加费率，就得到保险费率。纯保险费率法要求有足够的统计资料为基础，计算的费率一般较为精确。但纯费率厘订后经过一定的时间要根据实际情况加

17、以合理调整。2、损失比率法。在有些情况下，纯保险费率法会不适用。例如分类过多，每一类包含的标的物过少，从统计学的角度出发，不符合大数定律的前提条件，无法运用纯保险费率法。这时需要结合其他近似风险群体的损失资料，对保险费率进行调整。,3、增减法增减法又称为修正法，是指在同一类保险标的中，在分类法确定基本费率的基础上，再依据个别保险标的的实际风险状况进行适当修正，得出最终适用的费率。与分类费率相比，在增减法下厘订出来的费率，有可能高于或低于分类法所确定的费率。通常要先用分类法确定基本费率，再依照实际经验和标的的实际情况进一步细分，据以提高或者降低费率。增减法能结合标的的实际风险程度的差异，有利于实

18、现费率的公平合理，还有促进防灾防损的作用。增减法主要分为三种做法：表定法、经验法、追溯法。,表定法，它是以每一危险单位为计算依据，在基本费率的基础上，参考标的物的显著危险因素来确定费率。使用表定法，首先要在分类中就各项特殊危险因素，设立客观标准，例如，关于建筑物的火灾保险，先以砖结构、具有一般消防设施的建筑物为基点，确定基本费率；然后再确定一些显著危险因素，如用途、构造、位置和防护设施，再由费率的厘订者根据建筑物的这四项显著危险因素在基本费率上进行调整，得出最后适用的费率。表定法的优点在于：能够促进防灾防损。若被保险人的防灾防损意识不强，可能会面临较高的保险费率。适用性较强。表定法可适用于任何

19、大小的危险单位。其缺点主要是使用该法成本太高，保险人为了详细了解被保险人的情况，经常要支付大量营业费用。,经验法，它是以分类法计算的费率为基础，根据特定被保险人过去的损失记录，对基本费率进行修正，然后将其用于下一保险期间的费率。在这种方法中，当年的保费额并不受当年经验的影响，而是以过去数年的平均损失，来修订未来年份的保险费率。其理论基础是：凡能影响将来的危险因素，必已影响过去的投保人的经验。计算公式如下：M(A-E)/EC，此式中，M为经验调整数；A为经验时期被保险人的实际损失；E为被保险人适用某费率的预期损失；C为可靠度。举例说明：某投保人在过去3年经验期间预期损失5万元，实际损失4万元，可

20、靠度为80，则其经验调整数可依据上式求得：M(4-5)/58016，即该投保人下年所缴的保费将减少16。经验法的优点是：在决定被保险人的费率时，已考虑到若干具体影响因素，反映的是各种风险因素综合作用的结果，而表定法只给出了物质方面因素，没有包括非物质因素。与表定法相比，经验法更能全面地顾及到影响危险的各项因素。经验法主要应用一些被保险人的主观因素对事故的发生有一定的影响的保险种类，例如汽车保险、公共责任保险、盗窃保险等。,追溯法，它是依据保险期间被保险人的实际损失为基础来计算被保险人当期应缴的保费，即实际保险费率是在保险期间终了时，根据被保险人在保险期间的实际损失来调整的。投保人起初以其他方法

21、(如表定法或经验法)确定的费率购买保单，而在保险期满后，再依照本法最后确定保费。如果实际损失大，缴付的保费就多；实际损失小，缴付的保费就少。追溯法在实务中的具体做法是：被保险人在投保时先预缴保险费，并规定保险期间的最高保费和最低保费。在期满时如果实际损失小，就采用较低值作为实际保险费，如果实际损失大，则采用较高值作为实际保险费。这一方法能促进被保险人加强防灾防损，但运用时要比经验法更为复杂，适用范围不广，这一方法通常只适用于大型企业。,六、财产保险费率计算过程 财产保险费率的厘订是以损失概率为基础的，实务中，通常是选择一组适当的历年保额损失率，计算其算术平均值作为平均保额损失率，用于近似替代损

22、失概率，加上均方差，求出纯费率，然后再计算附加费率，最后将纯费率和附加费率相加得到财产保险毛费率。,（1）计算纯费率,稳定系数是衡量期望值与实际结果的密切程度，即平均保额损失率对各实际损失率的代表程度。稳定系数越低，则保险经营稳定性越高。一般取1020%较为合适。稳定系数的决定因素有：1、承保风险单位的独立性 2、承保风险的同质性 3、承保风险单位的大量性,与损失率相关的基本指标有6个:A:保险标的件数 B:总保险金额 C:保险事故次数 D:受损标的件数 E:受损标的总保额 F:总赔款金额分别组成了4个影响因素 1、保险事故发生的频率：C/A 2、保险事故的毁损率：D/C 3、保险标的损毁程度

23、：F/E 4、受损保险标的平均保额与总平均保额的比率：（E/D）/（B/A）四个因素的乘积为保额损失率：F/B,例：已知：保险标的的件数为16,000件，全部保险标的的保险金额为100,000,000元，发生保险事故的次数为32次，受灾保险标的的件数为40件，受灾保险标的的保险金额为320,000元，保险人支付的保险赔偿金额为120,000元。试计算保额损失率。,假设某保险公司过去5年保额损失率统计资料如下：,纯费率=保额损失率（1+稳定系数）纯费率=平均保额损失率（1+稳定系数）纯费率=平均保额损失率+均方差 实务中，对于损失率较稳定的，一般附加1个，适合比较稳定的险种，如火灾保险；对损失率

24、不够稳定的险种，如机动车辆保险、飞机保险等，附加2个；对于损失率很不稳定的高风险险种，如卫星发射保险，可附加3个。本案例中，由于稳定系数小于20%，是低风险险种。纯费率=2.76%+0.5%=3.26%,（2）计算附加费率 附加费率=附加费/保险金额 附加费率=纯费率附加费与纯保费比例（3）计算毛费率 毛费率=纯费率+附加费率 毛费率=保额损失率（1+稳定系数）+附加费率 毛费率=（保额损失率+均方差）+附加费率 毛费率=纯费率（1+附加比例）本案例中，若附加费与纯保费的比例为20%，则：附加费率=3.26%20%=0.652%毛保费率=3.26%+0.652%=3.912%,第三节 寿险精算

25、：保险费率的厘定一、概述人寿保险费=纯保费+附加保费纯保险费包括：危险保险费（风险保费）：用于当年保险费的支付 储蓄保险费：累计用于弥补未来的赤字纯保费计算必须以死亡率和预定利率为基础；附加保费则用于保险公司经营费用，包括：新契约费用（原始费用）、维持费用、收费费用，以预定费用率为基础,注：现金价值被保险人年轻时，死亡概率低，投保人交纳的保费比实际需要的多，多交的保费将由保险公司逐年积累；被保险人年老时，死亡概率高，投保人当期交纳的保费不足以支付当期赔款，不足的部分将正好由被保险人年轻时多交的保费予以弥补。这部分多交的保费连同其产生的利息，每年累积起来，就是保单的现金价值。二、补充：利息 单利

26、，复利，终值，现值，年金,三、生命表生命表是根据一定的调查时期，一定的国家或地区范围，一定的人群类别（如性别分类）等实际而完整的统计资料，经过分析整理，反映某一国家或地区一定人群的生死状况。生命表的直观形式是：折算成以10万、100万或1000万同龄人为基数的逐年生存或死亡数字，反映的是在封闭人口条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程中，从而可以计算每个年龄人群的生存和死亡概率。国民生命表和经验生命表完全生命表和简单生命表,生命表的内容有：1、x:当年生存者的年龄；2、lx:年龄为x岁的人的生存人数；3、dX：一年内的死亡人数，即在lX人中，从x岁到x+1岁的一年内的死亡人数；4、pX：生存率，x岁的人到x+1岁时仍然生存的概率；5、qx：死亡率，x岁的人在达到x+1岁前的死亡概率；6、ex:平均余命。,56,生命表中的基本关系式：,四、纯保险费计算 基本原理：收付平衡原则，精算现值相等（1）趸缴纯保费的计算死亡保险定期死亡保险死亡保险终身死亡保险生存保险两全保险年金保险（2）均衡保费：分期缴费,五、毛保费的计算 毛保费=纯保险费+附加保险费 1.三元素法原始费用维持费用应各期分摊收费费用也分摊 2.比例法 K：附加保费为毛保费的一定比例 P：纯保费 P=P/(1-K)3.比例常数法 P=P+KP+C P=(P+C)/(1-K),