代数学基础群和子群的基本概念.ppt

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1、代数学基础,内容提要群环和域有限域,群,一般来说，一个代数结构是指一个非空集合S以及定义在S上的二元运算的总体，要求二元运算满足一定的条件。,定义 群的定义,.,注意：,有限群和无限群：如果集合 G 中的元素个数有限，就称群G为 有限群；否则称为无限群。,阿贝尔群阿贝尔群又称交换群（commutative group)，本章中出现的所有群都是指交换群。,举例,下面，我们给出群的一些具体例子。,群的例子（1）,整数集 Z 在加法下构成群，记为(Z,+).(Z,+)是一个无限群、阿贝尔群。有理数集Q、实数集R和复数集C关于加法都形成无限群。单位元，逆元素的定义与整数加法群相同。,群的例子（2）,Q

2、、R 和 C中的非零元素在乘法下构成群。将这些群分别记为Q*、R*和C*。这三个群的完整表示是(Q*,(R*,(C*,。将这些群称为乘法群。,群的例子（3）,对任意自然数 n,整数模 n 集合构成一个包含 n 个元素的有限加法群，这里的加法运算是模 n 加，将这个群记为Zn。这个群的完整表示为（Zn，+(mod n)）.注意:Zn 是 Z/nZ的简化表示。,群的例子（4）,时钟上表示小时的数字在模12加法下构成群Z12,将（Z12,+(mod 12)称为时钟群。,群的例子（5）,Zn=0,1,2,(n-1)Zn中所有与 n 互素的的元素是Zn的一个子 集,这个子集按照模 n 乘法运算构成一个群

3、，用Zn*表示。例如，(Z15*,(mod15)=(1,2,4,7,8,11,13,14,(mod15),群的例子（6）,集合B=0,1，在异或运算下形成群。,群的例子（7）,x3-1=0的根在乘法运算下构成一个有限群。x=1是方程的一个解，该方程有三个根。用u和v表示其它两个根。由于 x3-1=(x-1)(x2+x+1)则u和v是 x2+x+1=0的两个根。由二次方程根与系数的关系，u和v互逆。封闭性:(x2)3 1=0。,群的例子(8),置换群 S=1,2,n Sn是S上所有置换构成的集合|Sn|=n!,是Sn中置换,表示和的复合,即(x)=(x)Sn构成群,称为n阶对称群.,置换的表示=

4、,(1234)(56)=(132)(1432)=(1423),重复群运算的简化表示,群的性质,子群,子群,对于群 G 的一个非空子集H，要判别H是否是G的子群，需要验证4条：封闭性结合律（不必验证）单位元逆元素,子群的例子（1）,在加法运算下，Z Q R C.注意，在这个例子中：子群中的单位元和群中的单位元相同，都是0子群中元素的逆元素和群中该元素的逆元素一致,子群的例子（2）,全体偶数的集合（包括0），在加法运算下，是整数加法群的一个子群。因此也是（1）中所有群的子群。,子群的例子（3）,在乘法运算下，Q*R*C*。,子群的例子（4）,子群的例子（5）,B=0,1在异或运算下是一个群。0是B

5、的一个真子群1不是B的子群,子群的例子（6）,设G是一个群，e是它的单位元e和G是群G的两个平凡子群。,群的阶,有限群G中元素的个数称为G的阶，记为#G.#Zn=nB=0,1按照异或运算，#B=2#Roots(x3-1)=3,子群中的单位元,在我们给出的例子中，子群的单位元就是包含它的群的单位元！事实上，对任意子群都有这样的结论成立：证明:设H是G的一个子群，H中的单位元为eH，G 中的单位元为eG。那么，在H中，有eH。eH=eH；在G中，有eH。eG=eH。从而可得到eH=eG。,子群中的逆元素,由于eH=eG，因此子群H中元素的逆元正是它在G中的逆元。,子群的判别(1),子群的判别方法：

6、,子群的判别(2),设H是群G的一个非空子集,H是G的子群的充要条件是对任意的元素x,y H,有xy-1 H.,子群的判别(3),当 H 是一个有限集合时，判别会变得容易些，只需满足封闭性即可：,拉格朗日定理,陪集（Coset）的定义,拉格朗日定理：,商群的概念,注:此处，首先应说明商群上的运算是一个二元运算。实际上，商群上的运算可以看作集合之间的乘法运算，因为：,商群的例子(1),设 n0 是一个整数，在加法运算下，集合 nZ=0,n,-n,2n,-2n,是Z的一个子群，那么商群 Z/nZ=x+nZ|x为任一整数 有n个元素，即 Z/nZ=0+nZ,1+nZ,n-1+nZ 可以看出Z/nZ=

7、Zn 事实上，Z/nZ是Zn的正式和标准记法，为了表达的方便，用Zn代替Z/nZ。,商群的阶,商群的例子(2),群元素的阶,注：当一个元素g的阶ord(g)有限时，如果有gn=e成立，则必有ord(g)|n，即n一定是ord(g)的倍数。,例子（1）,在时钟群Z12中：12是满足112=0(mod 12)的最小正整数，所有ord(1)=12；类似地，ord(2)=6，ord(3)=4，ord(4)=3，ord（5）=12。,例子（2）,0,1关于异或运算形成一个群，ord(0)=1,ord(1)=2.,例子（3）,在群Roots(x3-1)中，ord(u)=ord(v)=3，ord(1)=1.,例子（4）,在Z中，ord(1)=。,推论（拉格朗日）,推论提供了群的阶和群中元素的阶之间的关系。欧拉定理和费马小定理可以直接由推论得到：欧拉函数：欧拉定理：费马小定理：,