变换域处理拉氏变换与Z变换.ppt

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1、第五章 变换域处理拉氏变换与Z变换,赵明,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,2,变换域处理的课程构成,拉普拉斯变换连续时间信号Z变换离散时间信号拉普拉斯变换、z变换以及傅立叶变换之间的关系,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,3,拉普拉斯变换,何谓拉普拉斯变换一个线性时不变系统对于复指数信号输入，输出是复指数信号的倍数，该倍数是一个由复指数决定的参数拉普拉斯变换定义,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,4,拉普拉斯变换的讨论,拉普拉斯变换与傅立叶变换拉普拉斯变换在s=j就是傅立叶变换,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,5,拉普拉斯变换举例,的拉普拉斯

2、变换,若,当Res-a时，拉普拉斯变换收敛,提示：当Res-a时，这个信号的拉普拉斯变换不收敛,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,6,拉普拉斯变换,拉普拉斯变换收敛问题对于一个给定的信号，拉普拉斯变换可能在一个确定的区域收敛，在该区域之外不收敛该收敛区域称为收敛域(ROC)若s=jw收敛，则傅立叶变换存在，否则傅立叶变换不存在拉普拉斯变换的重要注意事项拉普拉斯变换的表达式相同的信号并不一定是同一个信号！当且仅当表达式和收敛域都完全一致时，原信号才是一致的信号,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,7,拉普拉斯变换,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,8,拉普拉斯变

3、换举例,的拉普拉斯变换,收敛域处理问题整个拉普拉斯变换收敛，需要2个项分别收敛！,整体代入变换公式,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,9,拉普拉斯变换举例,的拉普拉斯变换,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,10,X(s)的代数表达式本身并不能确定其拉氏变换的收敛域。一个有理拉氏变换的完全表征是由该变换的零极点图与它的ROC一起组成的。代数式可以方便地指明无限远的极点或零点,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,11,拉普拉斯变换收敛域相关性质,收敛域在s平面内由平行于j的带状区域组成 该条件只与 有关。对于有理的拉普拉斯变换，ROC内不包括任何极点信号持续期有限

4、，而且是有界信号，其ROC 是整个复平面 证明：由：证明 讨论,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,12,拉普拉斯变换收敛域相关性质,x(t)是右边信号，若某条Res=a属于ROC，则该线的右边所有值都属于收敛域右边信号证明左边信号若某平行于虚轴的线属于收敛域，则该线左边的所有区域属于整个收敛域左边信号,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,13,拉普拉斯变换的收敛域相关性质（续）,x(t)是双边信号，若某条Res=a属于ROC，则ROC一定是由S平面的一条带状区域组成，Res=a在带内。证明举例 若拉普拉斯变换是有理的，则ROC由极点和+，-所界定，收敛域中不包含任何极点若

5、拉普拉斯变换是有理的，且右边信号，那收敛域是最右边极点和+包含的区域，左边信号则是最左边极点和-包含的区域,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,14,拉普拉斯变换的收敛域相关举例,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,15,拉普拉斯反变换,拉普拉斯变换反变换来源,拉普拉斯变换可以看作是信号x(t)exp(-t)的傅立叶变换利用傅立叶反变换公式可以得到：,进一步变量替换：,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,16,拉普拉斯反变换,积分路径积分路径必须选择收敛域内任一平行于虚轴的直线不同的收敛域，同样的拉普拉斯变换表达式，对应着完全不同的信号有理分式的拉普变换反变换利用

6、部分分式展开的办法求解反变换,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,17,拉普拉斯变换的反变换举例,解：,ROC:Res-1,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,18,拉普拉斯变换的反变换,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,19,常用的拉普拉斯变换对,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,20,傅里叶变换的几何求值方法,拉普拉斯变换的决定因素表达式由零极点确定相对幅度收敛域仍然由零极点确定几何求值利用零极点确定傅里叶变换结果,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,21,傅里叶变换的几何求值方法,考虑s=s1的拉普拉斯变换值,简单看：该数值等于s=s

7、1与各零点构成的向量的乘积除以该点与极点构成的向量的乘积几何求值,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,22,傅里叶变换的几何求值方法,讨论一下对于,回顾傅里叶变换的收敛性，P207,几何求值法的用途往往在于用它观察系统的整体特性，如后面介绍,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,23,一阶系统,一阶系统微分方程通常表达为,一阶系统频率响应为：,单位冲击响应为：阶跃响应为：,为时间常数，越小，冲击响应衰减越快。,的拉氏变换为：,极点向量的模：随着 增加而单调下降：随着 增加单调从0下降 到,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,24,二阶系统,二阶系统线性常系数微分方程

8、表达为,系统频率响应为：,为阻尼系数，称为无阻尼自然频率,欠阻尼：，单位冲击响应是衰减的振荡 过阻尼：，单位冲击响应缓慢靠近最终值 临界阻尼：,其中,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,25,二阶系统的零极点几何分析,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,26,全通系统,全通系统：拉普拉斯变换在虚轴上任意点的极点向量和零点向量的长度比值是常数，也就是说频率响应的模是常数，与频率无关。称为全通系统全通系统的零极点关于虚轴对称,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,27,拉普拉斯变换性质,线性性质若干信号的线性组合的拉普拉斯变换等于各信号的拉普拉斯变换的线性组合收敛域为至

9、少包含各收敛域的交集收敛域可能超越各收敛域的交集,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,28,线性性质举例,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,29,拉普拉斯变换性质,时移性质S域频移 注意：零点和极点也出现移动，加上向量时域尺度变换,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,30,拉普拉斯变换性质,共轭变换从而，如果 为实函数，则 零极点对称出现卷积性质举例,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,31,拉普拉斯变换性质,时域微分 s可能会抵消一个极点举例S域微分举例,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,32,拉普拉斯变换性质,时域积分 ROC包括初值和

10、终值定理：当可用于帮助验证拉氏变换的正确性，如u(t),2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,33,拉普拉斯变换和LTI系统,原理LTI的冲激响应可以唯一表征该系统信号和其拉普拉斯变换一一映射冲激响应的拉普拉斯变换可以表征该系统的一切行为拉氏变换与傅氏变换H(s)称为系统函数或者转移函数。重点研究以下性质因果性稳定性,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,34,拉普拉斯变换表征LTI系统的性质,因果性任何因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面有理系统函数的系统ROC位于右半平面和因果性是等价的（考虑哪些时域信号对应有理系统函数）稳定性当且仅当系统函数H(s)的收敛域包含虚轴时

11、，LTI系统是稳定系统因果稳定系统收敛域必须是包含虚轴的右半平面,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,35,拉普拉斯变换与系统因果性,系统因果性质举例,因果系统,以上给出了一个非因果系统，但是符合收敛域为右半平面，可见收敛域包含右半平面非充要条件，仅仅为必要条件,非因果系统,以上说明有理系统函数的因果性和ROC的右边性的一致,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,36,拉普拉斯变换与系统因果性及稳定性举例,上述例子中，注意时域可积性和ROC是否包含虚轴的关系。非有理系统函数也可能是稳定的。对有理系统函数，判断其因果稳定性可通过极点位置所有极点都位于左半平面，一个有理分式系统函

12、数H(S)决定的因果系统才是稳定的,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,37,因果稳定系统举例,回顾前面的二阶系统线性,系统频率响应为：,当 时，是否为因果稳定系统？当 时，是否为因果稳定系统？,其中,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,38,拉普拉斯变换、微分方程和LTI系统,LTI系统的微分方程表示对微分方程两边做拉普拉斯变换单位冲击相应的拉普拉斯变换,利用该式可以对原系统进行分析；微分方程并未限制收敛域,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,39,拉普拉斯变换、微分方程和LTI系统,系统冲激响应和其他性质,由极点位置以及拉氏变换的卷积性质而推得系统函数的性质：

13、因果稳定系统还可用微分方程形式来表达：,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,40,拉普拉斯变换、微分方程和LTI系统,某LTI系统满足以下特征，确定系统函数？系统是因果的系统函数是有理分式，极点s=-2和s=4x(t)=1,y(t)=0（复指数信号的响应）单位冲击响应t=0+的值是4（初值定理）,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,41,拉普拉斯变换和LTI系统,一因果稳定系统，冲激响应为h(t),系统函数为H(s)是有理分式，一个极点s=-2，原点处无零点，其他极点和零点位置未知。判断下述命题1、F(h(t)e3t)收敛2、h(t)的全时域积分为03、th(t)是一个因果

14、稳定系统的单位冲激响应4、h(t)的微分的拉普拉斯变换至少有一个极点5、h(t)是有限持续期的6、H(s)=H(-s)7、H(s)在正无穷的极限是-2,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,42,常见的一类LTI系统巴特沃兹滤波器准备知识,时域和频域的特性的一些介绍。傅里叶变换的模和相位表示对于信号卷积 线性与非线性相位相移是 的线性函数，对应被称作线性相位群延时。对线性相位，延时（时移）就是非线性相位：,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,43,常见的一类LTI系统巴特沃兹滤波器准备知识,非理想滤波器的时域和频域特性。回顾理想滤波器通带边缘，通带起伏阻带边缘，阻带起伏过渡带

15、。过渡带和波纹的关系,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,44,巴特沃兹滤波器,N阶低通butterworth滤波器频率响应模平方。的极点分析极点，分布在半径 的圆极点永远不在虚轴上，N为奇数时，实数轴上有极点。相邻极点之间角度差是,B(s)的极点为左半圆上的极点，可用有理系统函数表达，也可用微分方程表达,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,45,系统函数的代数属性与方框图,LTI系统的级联与并联由微分方程和有理系统函数描述的因果LTI系统方框图。方框图表达形式直接型级联型并联型,例子,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,46,单边拉普拉斯变换介绍,单边拉普拉斯变

16、换特点针对具有初值的非松弛系统变换定义单边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换的联系任何一个t0,x(t)=0的信号单边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换结果一致任何仅仅在t0时不一致的信号的单边拉普拉斯变换结果不具有可分性单边拉普拉斯变换的收敛域一定在右半平面即s=-肯定不在收敛域中,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,47,单边拉普拉斯变换举例,考虑 的单边拉普拉斯变换,该信号在t0时信号为0，因此其单边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换一致，于是：,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,48,单边拉普拉斯变换举例,考虑 双边变换 单边变换,该信号在t0时信号有部分不为0，因此其单边拉

17、普拉斯变换和双边拉普拉斯变换明显不一致,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,49,单边拉普拉斯反变换举例,考虑 如下单边拉普拉斯变换,反变换：,反变换,考虑 如下单边拉普拉斯变换,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,50,单边拉普拉斯变换性质,单边拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的一个特例双边拉普拉斯变换的性质均适用于单边拉普拉斯变换单边拉普变换是一个从0-开始的积分过程，因此涉及到积分和微分性质不同,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,51,单边拉普拉斯变换性质,单边拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的一个特例收敛域：都是某右半个平面卷积定理：只在t0时为0成立,20

18、23/9/4,信号分析与处理-变换域处理,52,单边拉普拉斯变换应用,单边拉普拉斯变换对于求非0初始条件的微分方程很有用 单边拉普变换如下：包含零状态响应部分（第三项）和零输入响应部分(第一、二项),2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,53,关于拉普拉斯变换的总结,拉普拉斯变换是傅立叶变换在整个复频域的推广傅立叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例拉普拉斯变换的收敛域性质拉普拉斯变换与表征LTI系统（因果性，稳定性）单边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯变换关系,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,54,Z变换,拉普拉斯变换是连续时间傅立叶变换推广离散时间傅立叶变换也应当有类似的推广和性

19、质离散时间LTI系统输入信号为zn，其输出序列为输入序列的倍数H(z)，该倍数仅仅取决于hn和复指数zZ变换定义,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,55,Z变换,Z变换与傅立叶变换关系,离散时间傅立叶变换和Z变换的关系类似于连续时间傅立叶变换和拉氏变换的关系,Z变换和拉普拉斯变换一样，具有收敛域ROC问题，即 的傅里叶变换是否收敛可以看出，单位圆上是否收敛等效于傅立叶变换是否收敛,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,56,Z变换举例,的Z变换,当|az-1|1时，X(z)收敛，于是：,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,57,Z变换,2023/9/4,信号分析与

20、处理-变换域处理,58,Z变换收敛域,X(Z)的收敛域在Z平面内是以原点为中心的圆环收敛性取决与 和 无关ROC内无任何极点如果Xn是有限长序列，则收敛域为全平面，可能除了z=0和（或）z=如累加上下限为N1,N2,当N10则不含0和如N1=0,含z=如N2=0,含z=0,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,59,Z变换收敛域,xn是一个右边序列，若|z|=ro在收敛域中，则|z|r0的有限z值都在收敛域中xn是一个左边序列，若|z|=ro在收敛域中，则0|z|r0都在收敛域中xn是双边序列的前提下，若|z|=r0在收敛域中，则ROC一定是一个包含|z|=r0的圆环,2023/9/4

21、,信号分析与处理-变换域处理,60,Z变换收敛域举例,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,61,Z变换收敛域举例,讨论b1，0b1,b=1几种情况,零极点情况如何？,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,62,Z变换收敛域,xn的z变换X(z)是有理的，那么它的ROC就被极点所界定xn的z变换X(z)是有理的，若xn是右（左）边序列,ROC就位于最外（里）边极点的外（里）边；若xn是因果（反因果），则ROC包含z=(z=0),2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,63,Z变换收敛域的讨论,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,64,Z反变换,Z反变换的数学演化

22、傅立叶变换的一种等价形式对于有理分式的Z变换，可以将其表达为部分分式之和,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,65,Z反变换,有理分式的Z变换的Z反变换将Z变换表示为若干简单项的线性组合写出各简单项的反Z变换根据极点和ROC的关系选择适当的简单项的反Z变换累加当ai在收敛域内侧，则选择右边序列当ai在收敛域外侧，则选择左边序列、累加所有选择的简单项的反Z变换,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,66,Z反变换,X(Z)的ROC在|z|1/3,典型的右边序列,X(Z)的ROC在1/4|z|1/3,典型的双边序列,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,67,反Z变换的求

23、取,幂级数方法Z变换实际上是一个正幂级数和负幂级数的的和一个单项的指数幂Zn0对应n+n0,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,68,反Z变换的求取,对于变换式可表达为幂级数如幂级数展开法对求取非有理反变换有用,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,69,利用零极点图对傅立叶变换进行几何求值,连续时间傅立叶变换几何求值回顾S平面虚轴对应傅立叶变换利用虚轴上的点对应零点向量和极点向量的幅度之比值为连续时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换几何求值过程Z平面单位圆对应离散时间傅立叶变换利用单位圆上的点对应的零点向量和极点向量的幅度之比值为离散时间傅立叶变换,2023/9/4,信号分析与

24、处理-变换域处理,70,离散时间傅立叶变换的几何求值,一阶系统 的离散时间傅立叶变换,零点向量：,极点向量,二阶系统 的离散时间傅立叶变换,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,71,Z变换性质1,线性性质发生了零极点抵消，可能ROC会扩大。否则ROC为两者相交部分。时移性质可能会在ROC上引入或消除原点或无穷远点,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,72,Z变换性质2,z域尺度变换特例：当变换为：，表示在Z平面内的旋转实际就是频移性质。一般情况下还要考虑幅度变化。时间翻转,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,73,Z变换性质3,时间扩展时间扩展是内插入0值而获得的

25、。共轭实序列零极点也共轭对称出现,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,74,Z变换性质4,卷积性质一种解释：两个Z变换的乘积，其多项式系数就是其各自系数的卷积。Z域微分,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,75,Z变换性质4举例,求如下Z变换的反变换 观察有：,求如下Z变换的反变换有：,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,76,Z变换,初值定理 对于一个序列若xn=xnun推证：考虑级数的每一项的极限值。推论：对因果序列，如x0是有限值，那么X(z)即有限。如X(z)的分子多项式阶数不能高于分母多项式。,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,77,利用Z变

26、换分析和表征LTI系统,系统冲激响应、输入信号和输出信号的Z变换关系系统行为由冲激响应唯一确定和标志系统函数和冲激响应构成一一映射系统函数可以确定系统行为和性质系统行为可以由零极点和收敛域确认根据零极点和收敛域也可以确认部分系统行为和性质,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,78,系统函数和系统性质,系统因果性因果系统冲激响应hn=hnun一个离散时间LTI系统当且仅当系统函数的收敛域在某个圆的外部，而且收敛域包含无穷一个有理分式表达的系统函数H(z)是因果系统的充分必要条件1、RoC位于最外层极点外边的某一个圆的外边右边序列2、H(z)的分母分子表示为多项式时，分子的阶次必须小于等

27、于分母的阶次收敛域包含无穷,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,79,系统函数和系统性质,ROC位于最外层极点决定的圆外，容易知道是一个右边序列,H(z)分子分母写成z的多项式，分子的多项式次数不大于分母的多项式次数，因此收敛域包含无穷,H(z)所代表的系统是因果的,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,80,系统函数和系统性质,系统稳定性单位冲激响应绝对可和单位冲激响应的傅立叶变换收敛系统函数系统函数H(z)在单位圆上的结果就是离散傅立叶变换系统稳定的充分必要条件：收敛域ROC包含单位圆|Z|=1,收敛域不包含单位圆，因此系统属于不稳定系统,2023/9/4,信号分析与处理

28、-变换域处理,81,系统函数和系统性质举例,系统稳定性,收敛域不包含单位圆，因此系统属于不稳定系统。若：则，非因果，但是稳定。若：则，非因果，也不稳定。,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,82,系统函数和系统性质,LTI系统的因果稳定性H(z)的极点全部位于单位圆内即全部极点的模均小于1时，系统是因果稳定的,当|a|1时系统是因果稳定的,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,83,线性常系数差分方程和系统函数,LTI系统的差分方程时域表达LTI系统的系统函数表达,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,84,系统函数和系统性质举例,一个系统输入是x1(n),输出是y1

29、(n),分别是：,当输入x2(n)=(-1)n,输出是y2(n)=7/4(-1)n,根据题目条件H(-1)=7/4,a=-9,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,85,系统性质举例,单位脉冲响应hn,有理系统函数H(z)是稳定而因果的。假设已知道z=1/2有一极点，单位圆上有个零点。其余不详。判断如下结论是否正确。对某 hn有限长 hn是实数序列。gn=nhn*hn是稳定系统的单位脉冲响应。,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,86,系统函数的代数属性与方框图,LTI系统的级联与并联两个LTI系统的反馈互联,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,87,系统函数的代数

30、属性与方框图,用相加，乘以系数，积分（单位延时）构成的方框图来描述微分方程（差分方程）表示的LTI系统。方框图表达形式直接型级联型并联型,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,88,系统函数的方框图举例1,微分方程描述的LTI系统举例,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,89,系统函数的方框图举例2,差分方程描述的LTI系统举例,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,90,单边Z变换,单边Z变换定义。举例,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,91,单边Z变换性质,单边Z变换性质。和双边Z变换大部分性质相同（注意时移性质）ROC总是某圆的外边。有理单边z变换ROC总在最外层极点外边。双边变换时间反转性质无对应单边性质卷积性质的区别。,2023/9/4,信号分析与处理-变换域处理,92,作业,9.21(a),(e),(i)9.5310.510.21(a),(g)10.3110.41,