北京工业大学电路56课件.ppt

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1、定积分有着广泛的用途,先介绍建立定积分的一种简便方法-,元素法(微元法),下面介绍它在几何,物理和经济等问题上的简单应用.,什么量可以用定积分表示出来?,6.1 定积分在几何上的应用,(1)U是与一个变量x 的变化区间a,b有关的量;,则可以考虑用定积分来表达这个量U.,(2)U对于区间a,b具有可加性.,就是说,如果把区间a,b分成许多部分区间,(3)部分量 的近似值可表示为,当所求量U 符合下列条件：,则U 相应地分成许多部分量,而U 等于所有部分量之和.,元素法的一般步骤：,这个方法通常称为元素法(微元法).,(1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如 x,(2)任取一小区间并记为,求出

2、相应于这小区间的部分量 的近似值dU,并将其表示为,(3)以所求量U 的元素 为被积表达式，,在区间a,b上作定积分,得,即为所求量U 的积分表达式.,为积分变量,并确定它的变化区间a,b;,这个小区间上所,对应的小曲边梯形面积,面积元素,得,曲边梯形面积的积分式也可以用元素法,建立如下.,地等于长为f(x)、宽为dx 的,小矩形面积,故有,近似,求这两条曲线,及直线,所围成的区域的面积 A.,它对应的面积元素dA为,即,1.直角坐标系下平面图形的面积,6.1.1 平面图形的面积,在a,b上任取一区间,求由曲线,和直线,所围成的区域的面积 A.,的面积元素dA为,它对应,小区间,解,两曲线的交

3、点,选 x 为积分变量,例 计算由两条抛物线 和,所围成,的图形的面积.,面积元素,例,解,画草图,求两曲线交点的坐标以便,解方程组:,交点,面积元素,选 为积分变量,?,确定积分限,解,两曲线的交点,选 y 为积分变量,例 计算由曲线 和直线,的图形的面积.,所围成,所求面积,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,2.参数方程情形下求平面图形的面积,在(或)上,与终点的参数值.,设 和 对应曲线起点,具有连续导数,连续.,解1,曲线的参数方程为,由对称性,总面积等于4倍第一象限部分面积.,作变量代换,例 求椭圆 的面积.,解2,其中,由对称性,总面积等于4倍第一象限部分面积,例 求椭

4、圆 的面积.,解,面积,练习,作变量代换,面积元素,曲边扇形的面积,由极坐标方程,给出的平面曲线和射线,所围成的面积A.,曲边扇形,3.极坐标系下求平面图形的面积,解,由对称性知总面积,=4倍第一象限部分面积,例,求双纽线,所围平面图形的面积.,解,利用对称性知,例 求心形线,图形的面积.,所围平面,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条,圆柱,圆锥,圆台,6.1.2 体积问题,1.旋转体的体积,直线旋转一周而成的立体.这直线称为旋转轴,旋转体的体积为,如果旋转体是由连续曲线,直线,及 x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋,x转一周而成的立体,求体积.,取积分变量为x,为底的,小曲边梯形绕 x 轴

5、旋转而,成的薄片的,体积元素,解,例 求由椭圆 围成的图形绕 x轴旋,这个旋转椭球体可以看成是由上半椭圆,转一周所得旋转体的体积.,与x 围成的图形绕 x轴旋旋转而成.,所求体积为,解,体积元素,例,取积分变量为x,如果旋转体是由连续曲线,及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴,旋转一周而成的立体,求体积.,直线,体积元素,旋转体的体积,解,两曲线的交点为,绕 y 轴旋转所得体积,y 轴旋转所得旋转体的体积.,例 求抛物线 所围成图形绕,补充,利用这个公式，可知上例中,公式见P257 24,解,体积元素为,2.已知平行截面面积的立体的体积,立体体积,A(x)表示过点x且,垂直于x 轴的截面面积，

6、,A(x)为x 的已知连续函数.,如果一个立体介于过 而垂直于x,轴的两平面之间，,体积元素,解,取坐标系如图,底圆方程,例,一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得,立体的体积.,垂直于x轴的截面为直角三角形.,底边,高,截面面积,立体体积,作一下垂直于y轴的截面是,截面长为,宽为,矩形,截面面积,可否选择y作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,思考,弧长元素,弧长为,6.1.3 平面曲线的弧长,1.直角坐标情形,取积分变量为x,上任取小区间x,x+dx,设曲线弧为,其中,在a,b上有一阶连续导数.,在a,b,解,例,计算曲线,的弧长,设曲线弧的参数方程为,弧长为,2.参数方程情形,其中 在上 具有连续导数.,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,例 求星形线 的全长.,设曲线弧的极坐标方程为,弧长为,3.极坐标情形,其中 在 上具有连续导数.,由直角坐标与极坐标的关系可得,解,解,作业,习题5.6(248页),1.(1)(2)(4)(5)3.(1)(2)5.(1)(4)6.,