中学数学概念的教学.ppt

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1、中学数学概念的教学,概念理论关系结构,中学数学概念的教学,一、什么是概念二、概念的内涵和外延三、概念间的关系四、概念的定义五、概念的划分六、数学概念学习的基本理论七、数学概念的教学设计应注意的问题八、数学概念教学的几点体会以“双曲线为什么有渐近线”为例,一、什么是概念,概念是反映客观事物本质属性的思维形式。数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维形式。概念不同于感知，感知是具体的、直接的，概念却是抽象的、概括的。抽象性和概括性是概念不同于感知的重要特征。概念是最基本的思维形式，任何一门学科，都是由一系列的概念及其体系组成的。如果把人的思维比作一个有机体，那么概念就是这个有机体的细

2、胞。,二、概念的内涵和外延,1.概念的内涵是概念所反映的对象本质属性的总和（即概念所反映的对象的质的方面）；概念的外延是概念所反映的对象的全体（即概念所指的对象的范围或集合）。例如，“平行四边形”的内涵包括：是四边形，对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分等等。“平行四边形”的外延包括：矩形、菱形、正方形以及各种各样的任意的平行四边形。2.概念的内涵与外延之间的反变关系：要对概念加深认识，还要注意逻辑学中称之为概念的内涵与外延的反变关系，即：概念的内涵扩大时，其所得的新概念的外延缩小；当概念的内涵缩小时，其所得的新概念的外延扩大。反之，也成立。例如，在“矩形”概念的内涵中增加“一组邻边相

3、等”的属性时，就得到外延缩小了的“正方形”的概念；在“矩形”的概念中去掉“有一个角是直角”的属性，就得到外延扩大了的“平行四边形”的概念。利用概念的内涵与外延的反变关系，通过采取扩大概念的内涵同时缩小概念的外延的方法来研究概念间的关系和性质，这种方法在逻辑学中称之为“概念的限制”；通过缩小概念内涵的同时扩大概念外延的方法来认识同类概念的共同性质，这种方法在逻辑学上称之为“概念的概括”。在中学数学的概念教学中，经常使用概念的限制和概括的方法给新概念下定义和复习同类概念的共同性质。,三、概念间的关系,概念间的关系，是指两个概念的外延所对应的集合之间的关系。概念之间的关系可分为四类：同一关系：从属关

4、系交叉关系全异关系。,同一关系 如果两个概念A和B的外延相等，那么这两个概念之间的关系叫做同一关系，这两个概念叫做同一概念（图（1）。例如，“等边三角形”和“正三角形”，一个圆的“直径”和该圆中“最大的弦”都是同一概念。具有同一关系的两个概念在推理时可以互相代替。从属关系如果概念A的外延是概念B的外延的真子集，那么这两个概念之间的关系叫做从属关系，其中外延较大的概念B叫做属概念，外延较小的概念A叫做种概念（图（2）。例如“有理数”和“实数”具有从属关系，这里，“实数”是属概念，“有理数”是种概念。属概念和种概念是相对的。例如，“矩形”和“平行四边形”具有从属关系，这时，“矩形”是种概念；“正方

5、形”和“矩形”也具有从属关系，而这时“矩形”是属概念。,交叉关系如果概念A的外延和概念B的外延只有一部分重合，那么这两个概念之间的关系叫做交叉关系，这两个概念叫做交叉概念（图（3）。例如，“有理数”和“正实数”是交叉概念，它们外延的交集是“正有理数”的外延。又如，“矩形”和“菱形”是交叉概念，它们外延的交集是“正方形”的外延。全异关系如果概念A的外延和概念B的外延的交集为空集，那么这两个概念之间的关系叫做全异关系（或不相容关系），这两个概念叫做全异概念（图（4）。“直角三角形”和“等边三角形”、“自然数”和“负有理数”都是全异概念。在全异关系中，有两种常见的特殊情形：,（1）矛盾关系。如果概念

6、A和概念B具有全异关系，且它们外延的并集等于某一属概念C的外延，那么这两个概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做矛盾关系，这两个概念叫做矛盾概念（图（5）。例如，“有理数”和“无理数”相对于实数来说具有矛盾关系。又如“等腰三角形”和“不等边三角形”相对于三角形是一对矛盾概念。(2)对立关系。如果概念A和概念B具有全异关系，且它们外延的并集为某一属概念C的真子集，那么这两个概念间的关系（相对于属概念C而言）叫做对立关系，这两个概念叫做对立概念（图（6）例如，“正有理数”和“负有理数”相对于有理数来说是具有对立关系的两个概念。又如，“锐角三角形”和“直角三角形”是一对对立概念。,四、概念的定义,概

7、念是客观事物在人的头脑中的抽象概括，是看不见摸不着的，要用词语表达出来，这就是给概念下定义。而明确概念就是要明确概念的内涵和外延。所以，概念定义就是揭示概念的内涵或外延的逻辑方法。揭示概念内涵的定义叫内涵定义，揭示概念外延的定义叫做外延定义。在中学里，大多数概念的定义是内涵定义。1.定义定义是建立概念的逻辑方法，下定义的模式通常有两种：一种是通过揭示概念的内涵来给出定义；另一种是通过揭示概念的外延来给出定义。例1 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。例2 函数 叫做指数函数。一切定义都由被定义项、定义项和定义联项三部分组成。被定义项是需要加以明确的概念。定义项是用来明确定义项的概念。定义联

8、项是用来联结被定义项和定义项的词语。常用的定义联项有“叫做”、“就是”、“是”、“称为”等等。,2.定义的方式（1）属加种差定义。属加种差定义是数学概念的最常用的一种定义方式。用属加种差下定义，要做好两方面的工作：一是找出被定义概念的临近的属概念；二是确定种差，即找出被定义概念与同一属概念中其它种概念之间的差别。属加种差定义可以用下列公式表示：属+种差=被定义项例如，平行四边形的定义：两组对边分别平行 的 四边形 叫做 平行四边形 种 差属 被定义项（2）发生定义。发生定义是把只属于被定义概念，而不属于其他任何事物的发生或形成的属性作种差的定义。例如，椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离的和等

9、于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。（3）关系定义。关系定义是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而其他事物不具有的特有属性。例如，偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数。（4）外延定义。外延定义是通过列举概念的全部对象来下的定义。例如，有理数的定义：正整数、负整数、正分数、负分数和零统称有理数。（5）约定式定义。约定式定义是依据数学上的某种特殊需要，通过约定的方式来下的定义。例如，“零指数”的概念规定为：。（6）递归定义。略。,3.定义的规则规则1 定义必须是相称的，即定义项和被定义项必须是同一概念。规则2 定义不应当是循环的，即给概念下定义时，不能用被定义项来说明自己

10、。规则3 定义应当清楚确切。即定义要简明扼要，所列定义项必须是确切的概念，不能用譬喻或其它含糊的说法来表达定义。4.原始概念按定义的规则3基本要求，给某概念下定义时，定义项选用的必须是在此之前已明确定义过的概念，否则概念就会模糊不清。这样顺次上溯，终必出现不能用前面已被定义过的概念来下定义的概念，这样的概念称为原始概念。在中学数学中，对原始概念的解释并非是下定义，这是要明确的。,五、概念的划分,1.划分划分是揭示概念外延的逻辑方法。也就是通过把一个属概念分为若干个种概念来明确概念的逻辑方法。任何划分都包含划分的母项、划分的子项和划分的根据三个要素。2.划分的规则规则1 划分应当是相称的。即划分

11、后各个子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。规则2 划分后各个子项应当互不相容。即划分后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。规则3 划分应按同一标准进行。即每次划分不能使用几个不同的划分根据。,六、概念学习的基本理论,奥苏贝尔的概念学习理论以色列著名数学教育家斯法德的代数思维的基本形式（对象过程理论）美国的杜宾斯基等人 的APOS理论模型,奥苏贝尔有概念学习理论简介,奥苏贝尔(DPAusubel)是意义学习论的创始人。他认为，从接受式-发现式和意义性-机械性两个维度上划分，可以把学习分为4种，但在学校情境中，学生学习的书本知识绝大多数是有意义的接受学习。他指出，有意义学习过

12、程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的(nonarbitrary)和实质性的(substantive)联系。所谓非人为的联系，是指新知识与认知结构中有关观念在某种合理的或逻辑基础上的联系。所谓实质性联系，是指新的符号或符号代表的观念与学习者认知结构中已有的表象、已经有意义的符号、概念或命题的联系。,有意义学习的条件有内外两条：外部条件是指学习材料本身必须具有逻辑意义，即能与人类学习能力范围内的有关观念建立非人为的和实质性的联系；内部条件则包括两个方面：一是学习者必须具有意义学习的心向，二是学习者认知结构中必须具有适当的能力与新知识进行联系的知识。他强调影响

13、学生学习的首要因素是已有的知识。他在教育心理学：认知取向一书的扉页上写出这样一句代表他的核心思想的话：“如果要我只用一句话说明教育心理学的要义，我认为影响学生学习的首要因素，是他的先备知识；研究并了解学生学习新知识之前具有的先备知识，进而配合设计教学，以产生有效的学习，就是教育心理学的任务。”(Ausubel，1968)。,奥苏贝尔教育心理学中最重要的观念之一，是他对意义学习（meaningful learning）的描述。在他看来，学生的学习，如果要有价值的话，应该尽可能地有意义。为此，他仔细区分了接受学习与发现学习、机械学习与意义学习之间的关系，具体如下：接受学习与发现学习之间的区别并不难

14、理解。在接受学习中，学习的主要内容基本上是以定论的形式传授给学生的。对学生来讲，学习不包括任何发现，只要求他们把教学内容加以内化(即把它结合进自己的认知结构之内)，以便将来能够再现或派作他用。发现学习的基本特征是，学习的主要内容不是现成地给予学生的，而是在学生内化之前，必须由他们自己去发现这些内容。换言之，学习的首要任务是发现，然后便同接受学习一样，把发现的内容加以内化，以便以后在一定的场合下予以运用。所以，发现学习只是比接受学习多了前面一个阶段发现，其他没有什么不同。,意义学习和机械学习。奥苏贝尔根据知识学习过程的不同性质，将学习分为意义学习和机械学习。意义学习是指语言文字或符号所表述的新知

15、识能够与学习者认知结构中已有的有关旧知识建立一种实质的和非人为的联系。以下两个先决条件是划分意义学习和机械学习的标准：“(1)学习者表现出一种意义学习(meaningful learning)的心向，即表现出一种把新学的材料同他已了解的知识建立非任意的、实质性联系的意向。(2)学习任务对于学习者具有潜在意义，即学习的任务能够在非任意的和非逐字逐句的基础上同学习者知识结构联系起来。”明确了意义学习的先决条件，就不难对意义学习和机械学习做出明确地区分。拿无意义音节的学习来说，由于学习者头脑中没有与之对应的有关观念，无意义音节不能与学习者认知结构中的适当观念建立实质性的联系，因此，在学习中只能逐字逐

16、句地背诵它，所以，它只能建立一种逐字逐句的联系，因而是机械的学习。有时人们为了便于记亿，往往把无意义的材料赋予某种意义，但这种意义的赋予不符合逻辑意义，而且是因人而异的。这种联系是一种人为的或任意的联系，因而也属于机械学习。当然意义学习和机械学习的划分也不是绝对的。奥苏贝尔认为，“这两种学习仅是处在一个连续体的两个极端”。“概念、命题和原理的学习是意义学习，而符号学习便具有某种机械学习的逐字逐句的性质”。有时机械学习和意义学习也会同时发生，例如，学生通过背诵来学习一首古诗或学习乘法口诀就是这种情况。,奥苏贝尔把意义学习分为以下四种类型:1.表征学习(representational learn

17、ing)对儿童来说，最主要的理智任务之一，是要学习各种符号的意义。儿童最初学到的符号，是家长对他们所讲的词汇。我们的任务是要了解，儿童开始时是怎样赋予这些符号以意义的，以及构成这些符号的意义的认知内容的性质。2.概念学习(concept learning)概念具有逻辑的和心理的意义。从逻辑上讲，概念是指在某一领域中因具有共同特征而被组织在一起的特定事物。例如，“三角形”这一概念是指与其他几何图形明显不同的一类客体。学生一旦掌握了某一概念的关键属性，即区分某一类别与其他类别的一组特征，就能确定他所见到的东西是否属于这一概念。3.命题学习(proposition learning)命题是以句子的形

18、式来表述的。如“老虎会吃人”就是一个命题，而且是一类重要命题-概括性陈述的例子，它涉及两个以上概念之间的关系。“动物园那只大老虎会吃我”，这一命题就不是概括性陈述，因为它只涉及具体客体的名称。但在这两个例句中，命题学习的任务，都是要了解该句子所表述的意义。4.发现学习(discovery learning)奥苏贝尔对发现学习的解释有些与众不同。他认为，发现学习是指学习内容不是以定论的方式呈现给学生的，而是要求学生在把最终结果并入认知结构之前，先要从事某些心理活动，如对学习内容进行重新排列、重新组织或转换，因此，发现学习可以在前面提及的三种学习类型中发生。除此之外，发现学习还涉及其它三种学习类型

19、：运用、问题解决、创造。这三种学习是有层次的。,有意义学习的另一类较高级的形式叫概念学习。概念学习，实质上是掌握同类事物的共同的关键特征。例如学习“三角形”这一概念，就是掌握三角形有三个角和三条相连接的边这样两个共同的关键特征，而与它的大小、形状、颜色等特征无关，如果“三角形”这个符号对某个学习者来说，已经具有这种一般意义，那么它就成了一个概念，成了代表概念的名词。同类事物的关键特征可以由学习者从大量的同类事物的不同例证中独立发现，这种获得概念的方式叫概念形成。也可以用定义的方式直接向学习者呈现，学习者利用认知结构中原有的有关概念理解新概念，这种获得概念的方式叫概念同化。学习数学概念的目的是为

20、了获得数学概念.所谓获得概念，是指掌握了概念的内涵和外延，也就是掌握了概念的本质特征及其范围，并能够识别具有这种本质特征的同类事物.学习数学概念的基本方法有两种：概念形成和概念同化.,概念形成是学习者在对客观事物的反复感知和进行分析、类比、抽象的基础上，概括出某一类事物本质属性的过程.总结以往和近年来有关概念形成的研究结果，概念形成的心理过程应包括以下几个阶段：辨别不同的刺激模式.在教学的环境下，这些刺激模式可以是学生自己感知过的事实，也可以是教师提供的事实，无论哪一种刺激模式，都必须进行比较，以根据事物的外部特征进行分析和直观水平上进行辨别.分化和类化各种刺激模式的属性.为了了解一类刺激模式

21、的属性，就需要对刺激模式的各种属性予以精确分化.各种具体模式的属性不一定是共同属性，为了找出共同属性，就需要把从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较，找出共同属性，提出假设和验证.一般来说，事物的共同属性不一定是本质属性，因此在数学高年学习过程中，学生首先要提出各个刺激模式本质属性的假设，然后在特定情境中验证假设以确认出概念的本质属性.把新概念的本质属性推广到一切同类事物.这个过程实际上是明确概念外延的过程，也是新概念同其他概念相区别的过程.用符合习惯的数学语言或符号表示新概念，即形式化.,概念的同化是指在以定义的方式直接提出概念的条件下，学习者利用已有知识，主动地与原有认知结构中的有关概念相

22、联系，从而掌握概念的方式就是概念的同化.以概念同化的方式学习数学概念的心理活动大概包括以下几个阶段：接受概念的定义、名称和符号的信息；建立新概念与原有概念实质性的联系，把新概念纳入到已有的认知结构中；通过辨认概念的肯定例子和否定例子，使新概念和原有概念精确分化.数学概念的形成和数学概念的同化的基本过程是很不相同的，它们在学生智力发展中的主要作用也是不同的，然而我们决不应该将它们的作用绝对化.通过概念形成获得数学概念可以用来解决问题，而通过概念同化获得的数学概念同样也可以用来解决问题.学生在教学条件下学习数学概念，完全不同于人们在自然条件下形成数学概念，也不同于数学家创造数学概念，应该是在教师指

23、导下的概念形成.这就是说，教师可以提供适当例子和问题来促进学生概括数学概念本质属性的进程.,斯法德的对象过程理论简介,斯法德认为可以用两种不同的方式形成抽象的数学概念：构造性的（作为对象）或运算性的（作为过程）她认为运算性概念是获得新数学概念的第一步，从一个“过程的”概念到一个“对象的”概念的过程既慢又有很大困难两种概念当充分建成后都在数学活动中起着重要的作用这是数学思维现代研究的一个重要成果，由“过程”向“对象”的转化构成了数学思维特别是代数（包括算术）思维的一个基本形式有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终则又转化成了一个对象对此我们不仅可以研究它们的性质，也可以此为直接对象施行

24、某些新的运作（对于所说的“运作”应作广义理解，即未必是指具体的运算，而也可以包括任何一种数学运演，甚至不一定要有明确的算法）例如，中学的函数概念就是如此函数可以被看作一个过程，联系定义域中的对象和值域中的对象，通常这些对象都是数任何一个具体的函数均可被认为是在这些数上施行运算的过程：将它们变换成另外的数数之间存在着关系例如，序关系当学生的数学知识不断增多时，就会感到仅把函数看成在数上施行运算的过程是不够的，可能遇到对函数进行运算比如微分等于是有必要把函数看成一个被运算的对象,美国的杜宾斯基等人 的APOS理论模型简介,APOS理论揭示了数学概念学习的本质，是具有学科特色的学习理论。美国的杜宾斯

25、基等人在数学教育研究实践中，提出了一种APOS理论：学生学习数学概念，一般要经过四个阶段：操作（Action）阶段、过程（Process）阶段、对象（Object）阶段、模型（Scheme）阶段.取这4个阶段英文单词的首字母，命名为APOS理论.其中的操作活动阶段，是学生理解概念的一个必要条件，通过操作、活动，让学生亲身体验、感知问题的直观背景以及与生活现实之间的联系。过程阶段，是学生对操作、活动进行思考，经历思维的内化、整合过程，学生在头脑中，对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质.对象阶段，是通过前面的抽象，认识了概念的本质，对其赋予形式化的符号定义及符号，使其达到精致化，成为一个具

26、体的对象，在以后的学习中，以此为对象去进行新的活动.模型阶段，需要经过长期的学习活动来逐步完善，起初建立的概念模型包含反映概念的特例、抽象过程、定义以及符号，经过学习建立起与其他概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式.,1.我们的讲概念、举反例，事实上掩盖、缩短了学生的操作、活动、过程.我们总是习惯于将概念，当作知识来进行教学，尽管我们也为此设计了情境、组织了资源，但是因为我们习惯于把概念当作知识来讲授，因而，我们实际上剥夺了学生的自主操作、活动的建构过程，剥夺了学生的自主认知过程。在我们的讲授下，学生也许对每一个概念都很熟悉，但是具体到应用的时候，却往往不知所措，或者只能够孤立

27、地记忆概念，但不能够运用联系的观点，在必要的地方联想到这些该应用的概念,APOS理论模型借鉴一,APOS理论模型借鉴二,2.应该把概念的建立，当作一种情境，引发学生去操作、活动、讨论、反思，把例题与练习纳入概念的学习情境之中。应该摆脱原来的那种讲完概念，就进入例题学习、练习巩固的孤立做法，应该把操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）、模型（Scheme）设计为一个小整体，在课堂上，借助例题、练习、小结，完成对概念的整体感知。例题学习的目的，不是为了阐述概念，练习设置的目的，不是为了巩固概念，例题、练习是概念生成的一个整体，是操作（Action）、过程（Process

28、）、对象（Object）、模型（Scheme）中必不可少的环节。,APOS理论模型借鉴三,3.课堂教学的核心，是帮助学生完整、科学地建立数学概念，不是讲解了多少例题，也不是具体做了多少练习。概念，不是讲过之后，学生就能够立刻在头脑中全等镜像的，而是需要一个相当长的时间，逐步完善、发展而成的。围绕操作（Action）、过程（Process）、对象（Object）、模型（Scheme），具体构造、组织资源，帮助学生正确建构概念，是数学教学的主要任务之一。,七、数学概念的教学设计,数学概念是数学学科的基本内容，如果一个人不掌握数学概念，那么他的数学能力将难以得到发展.从理解学习的角度来看，掌握数学概

29、念不在于能否简单地用语言将数学概念表述出来，而是真正理解概念的内涵和外延，表现为能对数学对象进行识别和归类.在数学概念学习的过程中，用自己能够接受和可以储存的形式对概念的本质属性或特征进行理解称为概念的表征.现代人只心理学的研究表明，概念表征主要有样例表征和语义表征两种形式.样例表征是指学习者通过各种样例来逐渐归纳出事物的定义特征.如学生通过各种各样棱锥的样例，发现“棱锥”在大小、颜色和形状等方面虽然有所不同，但所有的棱锥都是由多边形索围成的几何体，其中一个面试多边形，其余各个面是具有公共顶点的三角形.一般而言，样例表征形式下的概念与对数学对象的知觉或表象有关.大量的研究表明：样例表征的概念具

30、有不稳定性，易受样例外在特征的影响.语义表征是指学习者通过语义的理解而获得概念的内在本质属性.语义表征可以使认识主体克服认识事物受表面知觉影响的局限，而更关注事物的本质.在语义表征形式中，常用的有因果关系和逻辑关系的表征.如方程概念可以表征为等式的种概念，即为具有未指数的等式.学习数学概念的目的是为了获得数学概念.中学数学中有各种各样对数学概念.因为数学概念的具体内容和它在数学重点地位和作用不同，数学概念也有主次之分，难易之别，所以对各个概念的教学有其特殊性.然而，就概念教学的共性而言，数学概念的教学应注意以下几个问题：,数学概念及教学设计中应注意的几个问题,1、应注意具体问题情境的设计.2、应注意使学生熟悉概念的各种变式 3、在数学概念的教学中，要注意正例和反例的使用 4、数学概念的教学必须使学生能够应用数学概念的名称和符号。联系现实原型，对概念作唯物的解释抓住事物本质，对概念作辩证的分析 在实践中运用概念，在运用中巩固概念,