《通信原理教学资料》第3章.ppt

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1、通信原理,第3章 随机过程,概念随机过程平稳过程白噪声,平稳随机过程通过线性系统,窄带随机过程,3.1 随机过程的基本概念 样本函数集合 随机变量集合 分布函数，数字特征，E的计算,3.2 平稳随机过程 严平稳、宽平稳，如何证平稳，数字特征，各态历经性 过程的时域、频域特性，功率概念，维纳-辛钦定理,3.4 平稳随机通过线性系统：输出平稳，输出功率谱,3.5 窄带随机过程：窄带，成因，同相、正交分量，振幅相位分布，方法,3.3 高斯随机过程（概念）,3.6 白噪声,随机过程,初识：,特征量：,两个集合,分类,分布函数，数字特征,平稳,高斯,定义：严、宽,时域频域特征,维纳-辛钦定理,通过线性系

2、统的求解,举例：白噪声,应用：窄带随机过程,第3章 随机过程,3.1 随机过程的基本概念什么是随机过程？随机：发生前不定，发生后确定随机试验：抛硬币，样本空间，随机变量 统计概率，数字特征找100人同时抛硬币，1小时后的集合=随机过程角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。,3.1 随机过程的基本概念,【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形 样本函数i(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。随机过程：(t)=1(t),2(t),n(t)是全部样本函数的集合。,(t1)=1(t1),2(t1),n(t1),(t1)是随机变量！,3.1 随机过程的基本概念,角度2：随

3、机过程是随机变量的集合。在一个固定时刻t1上，(t)中的每个样本函数有一个取值i(t1)全部取值集合i(t1),i=1,2,n是个随机变量，记为(t1)。(t)=(t1),(t2),n(tn)我们可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。,(t1)=1(t1),2(t1),n(t1),3.1.1随机过程的分布函数不同时刻有不同的分布（那时它是随机变量）。随机过程(t)的一维分布函数：随机过程(t)的一维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。,3.1 随机过程的基本概念,随机过程是随机变量的集合,3.1 随机过程的基本概念,随机

4、过程(t)的二维分布函数：随机过程(t)的二维概率密度函数：若上式中的偏导存在的话。随机过程(t)的n维分布函数：随机过程(t)的n维概率密度函数：,3.1.2 随机过程的数字特征均值（数学期望）：在任意给定时刻t1的取值(t1)是一个随机变量，其均值式中 f(x1,t1)(t1)的概率密度函数由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t，x1改为x，这样上式就变为结果是t的函数！一直在变，永不停息-咋认得它？,3.1 随机过程的基本概念,集合平均,(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心:,a(t),3.1 随机过程的基本概念,方差方差常记为

5、 2(t)。这里也把任意时刻t1直接写成了t。因为所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值a(t)的偏离程度。,均方值,均值平方,3.1 随机过程的基本概念,相关函数式中，(t1)和(t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变量。可以看出，R(t1,t2)是两个变量t1和t2的确定函数。协方差函数式中 a(t1)a(t2)在t1和t2时刻得到的(t)的均值 f2(x1,x2;t1,t2)(t)的二维概率密度函数。,3.1 随机过程的基本概念,相关函数和协方差函数之间的关系互相关函数式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。因此，R(t1,t2)又称为自相关函数。,

6、3.1 随机过程的基本概念,随机过程特性时变，如何认识分析？,第3章 随机过程,3.2 平稳随机过程3.2.1 平稳随机过程的定义定义：若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和任意实数，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严(狭义)平稳随机过程。,如何证？,=,性质：该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关：而二维分布函数只与时间间隔=t2 t1有关：数字特征：可见，（1）其均值与t无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔有关。,3.2 平稳随机过程,宽(广义)平稳随机过程：（1）其均

7、值与t 无关，为常数a；（2）自相关函数只与时间间隔 有关。把同时满足（1）和（2）的过程定义为宽(广义)平稳随机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。,3.2 平稳随机过程,3.2.2 各态历经性问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?“各态历经性”（又称“遍历性”）假设 设2个

8、样本函数，f1(t1)=1,f2(t1)=0=P(1,t1)=1/2 设f1(t2)=0,则f2(t2)=1,因平稳。P(1,t2)=1/2 推而广之：f1(t)必取得集合的所有可能取值,3.2 平稳随机过程,各态历经性条件设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本），则其时间均值和时间相关函数分别定义为：如果平稳过程使下式成立则称该平稳过程具有各态历经性。,3.2 平稳随机过程,时间平均=集合平平均,“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均

9、”值代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的问题大为简化。具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,3.2 平稳随机过程,例3-1 设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解】(1)先求(t)的统计平均值：数学期望,3.2 平稳随机过程,自相关函数令t2 t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。,3.2 平稳随机过程,(2)求(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均

10、，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。,3.2 平稳随机过程,3.2 平稳随机过程,3.2.3 平稳过程的自相关函数-时域特征平稳过程自相关函数的定义：同前平稳过程自相关函数的性质(t)的平均功率 的偶函数 R()的上界(t)的直流功率(t)的交流功率。当均值为0时，有 R(0)=2。,3.2.4 平稳过程的功率谱密度定义：对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度定义为式中，FT(f)是f(t)的截短函数fT(t)所对应的频谱函数,3.2 平稳随机过程,对于平稳随机过程(t)，可以把f(t)当作是(t)的一个样本；某一样本的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看作是对所

11、有样本的功率谱的统计平均故(t)的功率谱密度可以定义为,3.2 平稳随机过程,功率谱密度的计算维纳-辛钦关系 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有简记为以上关系称为维纳-辛钦关系。它在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具，它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。,3.2 平稳随机过程,R(0)=？,例3-2 求随机相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相关函数和功率谱密度。【解】在例3-1中，我们已经考察随机相位余弦波是一个平稳过程，并且求出其相关函数为因为平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即有

12、 以及由于有所以，功率谱密度为平均功率为,3.2 平稳随机过程,第3章 随机过程,3.3 高斯随机过程（正态随机过程）3.3.1 定义如果随机过程(t)的任意n维（n=1,2,.）分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。n维正态概率密度函数表示式为：式中,式中|B|归一化协方差矩阵的行列式，即|B|jk 行列式|B|中元素bjk的代数余因子 bjk 为归一化协方差函数，即,3.3 高斯随机过程,3.3.2 性质n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。宽平稳的高斯过程也是严平稳的。不相关就独立。即对所有j k，有bjk=0，则其概率密度可以简化为经线性系统后输出仍是高斯过程

13、,3.3 高斯随机过程,3.3.3 高斯随机变量定义：高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为式中a 均值 2 方差曲线如右图：,3.3 高斯随机过程,性质对称 a中心，偏差(集中程度),减小,图?当a=0和=1时，称为标准化的正态分布：,3.3 高斯随机过程,正态分布函数不易计算，通常用查表的方法求用误差函数表示正态分布函数：令 则有 及 式中 误差函数，可以查表求出其值。,3.3 高斯随机过程,还有其他方法！,第3章 随机过程,3.4 平稳随机过程通过线性系统确知信号通过线性系统（复习）：式中 vi 输入信号，vo 输出信号对应的傅里叶变换

14、关系：随机信号通过线性系统：假设：i(t)是平稳的输入随机过程，a 均值，Ri()，Pi()；求输出过程o(t)的统计特性(均值、自相关函数、功率谱以及概率分布)。,输出过程o(t)的均值 两边取统计平均,得到设输入过程是平稳的，则有 式中，H(0)是线性系统在 f=0处的频率响应，因此输出过程的均值是一个常数。,3.4 平稳随机过程通过线性系统,输出过程o(t)的自相关函数：根据自相关函数的定义根据输入过程的平稳性，有于是 上式表明,输出过程的自相关函数仅是时间间隔 的函数。由上两式可知，若输入平稳，则输出平稳。,3.4 平稳随机过程通过线性系统,输出过程o(t)的功率谱密度令=+-，代入上

15、式，得到结论,3.4 平稳随机过程通过线性系统,维纳-辛钦定理,输出过程o(t)的概率分布如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理看，可以表示为：由于已假设i(t)是高斯型的，所以上式右端的每一项在任一时刻上都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的随机变量就是无限多个高斯随机变量之和。由概率论理论得知，这个“和”也是高斯随机变量，因而输出过程也为高斯过程。注意，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。,3.4 平稳随机过程通过线性系统,第3章 随机过程,3.5 窄带随机过程 什么是窄带随机过程？若随机过程(t)的谱密度集中在中心频率

16、fc附近相对窄的频带范围f 内，即满足f fc的条件，且 fc 远离零频率，则称该(t)为窄带随机过程。,以收音机为例说明窄带噪声的产生原因,3.5 窄带随机过程,典型的窄带随机过程的谱密度和样本函数,在幅度调制系统中，包络在角度调制系统中，相位希望了解它们,3.5 窄带随机过程,窄带随机过程的表示式式中，a(t)随机包络，(t)随机相位 c 中心角频率显然，a(t)和(t)的变化相对于载波cos ct的变化要缓慢得多。(t)的同相分量(t)的正交分量如何求a(t)和(t)的分布？先求 同相正交分量的分布，通过变换得到,3.5 窄带随机过程,3.5.1 c(t)和s(t)的统计特性 已知：(t

17、)平稳且均值为零，高斯 求：c(t)和s(t)的统计特性数学期望：得因为均值比过程变化的慢！,已知条件？窄带过程平稳，同相、正交分量呢？-故得先证平稳,自相关函数：,3.5 窄带随机过程,(t)的自相关函数：由自相关函数的定义式因为(t)是平稳的，故有这就要求上式右端与时间t无关，仅与有关。,与t无关,与t无关,=0,=0,取t=t2=,3.5 窄带随机过程,c(t)和s(t)是平稳的随机过程,是高斯吗？(t)是高斯的),取t=t1=0,是高斯随机变量，平稳=,是高斯随机过程,3.5 窄带随机过程,根据互相关函数的性质，应有代入上式，得到上式表明Rsc()是 的奇函数，所以同理可证,同相分量、

18、正交分量同一时刻互不相关！,3.5 窄带随机过程,将代入下两式得到即上式表明(t)、c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。,c(t)与s(t)在=0处互不相关，高斯=c(t)与s(t)是统计独立的。,3.5 窄带随机过程,结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的c和s是互不相关的或统计独立的。,3.5 窄带随机过程,3.5.2 a(t)和(t)的统计特性a的一维概率密度函数可见，a服从瑞利(Rayleigh)分布。,的一维概率密度函数可见，服从均匀分布。,3.5 窄带随机过程,

19、结论一个均值为零，方差为2的窄带平稳高斯过程(t)，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，相位(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a(t)与(t)是统计独立的，即有,3.5 窄带随机过程,第3章 随机过程,3.6 正弦波加窄带高斯噪声(自学),广义瑞利分布，又称莱斯（Rice）分布,第3章 随机过程,3.7 高斯白噪声和带限白噪声白噪声n(t)定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声，即 双边功率谱密度或 单边功率谱密度式中 n0 正常数白噪声的自相关函数：对双边功率谱密度取傅里叶反变换，得到相关函数：,白噪声和其自相关函数的曲线：,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,白噪声的功率如果

20、白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大，即或因此，真正“白”的噪声是不存在的，它只是构造的一种理想化的噪声形式。实际中，只要噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的随机变量之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,低通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声。功率谱密度由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在|f|fH内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。自相关函数,3.7 高斯白噪

21、声和带限白噪声,功率谱密度和自相关函数曲线由曲线看出，这种带限白噪声只有在上得到的随机变量才不相关。,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,带通白噪声定义：如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声。功率谱密度设理想带通滤波器的传输特性为式中fc 中心频率，B 通带宽度则其输出噪声的功率谱密度为,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,自相关函数,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,窄带高斯白噪声通常，带通滤波器的 B fc，因此称窄带滤波器，相应地把带通白高斯噪声称为窄带高斯白噪声。窄带高斯白噪声的表达式和统计特性见3.5节。平均功率,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,61,

22、2、设信道噪声具有均匀的双边功率谱密度,，零均值高斯过程，接收滤波器的传输特性为,（1）求滤波器的输出噪声功率谱密度和平均噪声功率；（2）求输出噪声的一维概率密度函数。,1、若(t)是平稳随机过程，自相关函数为R()，试求它通过如下图的系统后的自相关函数及功率谱密度。,3.1 随机过程的基本概念 样本函数集合 随机变量集合 分布函数，数字特征，E的计算,3.2 平稳随机过程 严平稳、宽平稳，如何证平稳，数字特征，各态历经性 过程的时域、频域特性，功率概念，维纳-辛钦定理,3.4 平稳随机通过线性系统：输出平稳，输出功率谱,3.5 窄带随机过程：窄带，成因，同相、正交分量，振幅相位分布，方法,3.3 高斯随机过程（概念）,3.6 白噪声 理想与带限 窄带白噪声,