《概率论与统计原理》第5章.ppt

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1、第五章 统计原理 5.1 数理统计的基本概念5.1.1 总体和样本 在实际中，我们把研究对象的全体组成的集合称为总体；组成总体的每一个元素称为个体；总体的一个子集称为样本。在数学上，我们把随机变量X称为总体，并把随机变量X的概率分布称为总体分布；把相互独立且与总体X 同分布的随机变量（X1，X2，Xn）称为来自总体X的一个简单随机样本；n称为样本容量；把样本（X1，X2，Xn）的每一个具体值,（x1，x2，xn）称为样本（X1，X2，Xn）的一组样本观测值或样本实现。5.1.2 统计量 设（X1，X2，Xn）是来自总体X的一个简单随机样本，称样本的函数T=g（X1，X2，Xn）为统计量，如果它

2、不依赖于任何未知参数。统计量的具体值亦称做统计量的实现。几个常用的统计量：1、样本均值,2、样本方差 3、样本标准差4、样本k 阶原点矩,5、样本k 阶中心矩6、顺序统计量 最小统计量 最大统计量 极差,例1 设假设总体X服从参数为p（0p1）的0-1分布，p未知。（X1，X2，X5）是来自X的简单随机样本。（1）指出X1+X3，min（X1，X2，X5），X5+2p（X5-X2），X2-EX4，（X3-X5）2，中哪些是统计量，哪些不是统计量？（2）如果（0，1，0，1，1）是一个样本值，求样本均值和样本方差。,例2 设一个样本由六个6，七个7，八个8，九个9和十个10组成求样本容量，样本均

3、值、样本方差和样本极差。例3 设某地区抽样调查200个居民家庭，得到月支出的统计资料如下：,求样本均值和样本方差近似值。5.1.3 经验分布函数 对于任意实数x，设n表示样本（X1，X2，Xn）的n个观察值中不大于x的观察值的个数，则n表示在对总体X的n次独立重复观测中，事件Xx出现的次数。因此在对总体X的n次独立重复观测中，事件Xx出现的频率,称为总体X的经验分布函数或样本分布函数。对于给定的样本值（x1，x2，xn），经验分布函数具有分布函数的一切性质，经验分布函数也是一个阶梯型的函数；经验分布函数依概率收敛于总体的分布函数。经验分布函数依概率收敛于总体的分布函数这个结论，为进行统计推断提

4、供了依据。例4 根据例1（2）和例2中的数据，分别求其经验分布函数。,5.2 抽样分布 2分布设（X1，X2，Xn）是来自正态总体N（0，1）的样本，称统计量 2=X12+X22+Xn2服从自由度为n的2分布，记为2 2（n）。2分布上分位点：对于给定的（01），称满足条件为2（n）分布的上分位点。,5.2.2 t分布 随机变量XN（0，1），Y2（n），且X和Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，记为Tt（n）。t分布上分位点：对于给定的（01），称满足条件为t（n）分布的上分位点。,5.2.3 正态总体的抽样分布 设（X1，X2，Xn）是来自正态总体N（，2）的一个样本，则（1）

5、样本均值（2）随机变量（3）样本均值和样本方差相互独立（4）随机变量,例5 设总体X服从N（0，0.32），（X1，X2，X10）是来自X的一个容量为10的样本，求概率例6 假设一种电子元件的使用寿命X（小时）服从正态分布N（3000，8002）。一名顾客购买了50个元件，试求这50个元件的平均使用寿命超过3250的概率。,5.3 参数估计5.3.1 统计估计的概念 在统计中，估计既表示由样本特征求总体特征的过程，也表示由样本求得的总体特征的估计值。一、参数估计和非参数估计 可以用有限个参数表示的估计问题，统称为参数估计，否则称为非参数估计。二、参数估计的方法 参数估计有两种基本类型：点估计和

6、区间估计。,点估计，也称“定值估计”，既可以指用统计量的值做为未知参数的估计值，也可以指用来估计未知参数的统计量。区间估计是指根据估计可靠程度的要求，由样本确定总体参数的一个区间范围。5.3.2 参数的点估计 最常用的点估计方法：矩估计法和极大似然估计法。一、矩估计法 矩估计法是用样本矩来估计总体矩，用样本矩的函数来估计总体矩的相应函数的一种估计方法。,例7 设总体X服从参数为的指数分布，其中未知。（X1，X2，Xn）是来自X的简单随机样本，求的矩估计量。例8 设X为任意总体，EX=，DX=20存在，但未知。（X1，X2，Xn）是来自总体X的简单随机样本，求和2的矩估计量。二、极大似然估计法

7、设总体X的概率密度为f（x,）（当X为离散型时，f（x,）=PX=x，即为概率分布），其中为待估参数。设（x1，x2，xn）为样本（X1，X2，Xn）的一组观测值，称,为似然函数。对于给定的样本观测值（x1，x2，xn），使似然函数L（）达到最大值的参数值，称为未知参数的极大似然估计值，相应的统计量称为未知参数的极大似然估计量。极大似然估计量，可以用微积分中求函数的极大值的方法来求不过，这里求的不是函数的极大值，而求是函数的极大值点。,由于lnx是x的严格单增函数，因此 L()和ln L()在同一处取极大值，因此我们也称ln L()为似然函数。求极大似然的一般步骤：（1）由总体分布写出似然函数

8、L()和ln L()；（2）求似然函数关于的导数：如果分布含有多个未知参数（1，2，r），这时似然函数就是这些未知参数的函数，由方程组,（3）解上述方程可以得到参数的极大似然估计。例9 设总体X服从参数为（1/）的指数分布，求参数的极大似然估计量。若有一组样本值340，410，450，520，620，190，210，800，270，500，求的极大似然估计值。,例10 设总体X服从参数为p的0-1分布，求参数p的极大似然估计量。若从一大批产品中，用还原方法抽取了50件产品，发现其中有2件是次品，求p的极大似然估计值。例11 假设总体XN（，2），与2都未知试根据来自X的简单随机样本（X1，X2

9、，Xn），求与2的极大似然估计量。,三、评价估计量的标准1、无偏性 设 是未知参数的估计量，如果E=，则称 是的无偏估计量。例12 设X为任意总体，EX=，DX=2存在。（X1，X2，Xn）是来自总体X的简单随机样本，证明（1）样本均值是的无偏估计量；（2）样本方差是2的无偏估计量。,2、有效性 设 与 为未知参数的两个无偏估计量，如果D D则称 是比 有效的估计量。在未知参数的任意两个无偏估计中，显然应该选更有效的，即方差较小的。3、一致性设 为未知参数的估计量，如果 依概率收敛于，则称 是的一致估计量。,例13 设X为任意总体，其k阶原点矩ak=EXk（k0）存在。设（X1，X2，Xn）是

10、来自总体X的简单随机样本，证明样本k阶原点矩 是总体k阶原点矩ak的无偏与一致估计量。5.3.3 正态总体参数的区间估计一、区间估计的概念 未知参数的区间估计，也称置信区间，是以统计量为端点，以充分大的概率包含未知参数值的随机区间。,设是总体X的未知参数，（X1，X2，Xn）是来自总体X的简单随机样本。对给定的数（01），如果存在两个统计量 和，满足 则称（随机）区间 称为参数的区间估计或置信区间，称概率1-为置信区间的置信度（水平）。二、一个正态均值的置信区间1、总体方差2已知 均值的1-为置信区间为,其中u/2为标准正态分布双侧分位数。例14 某企业生产的滚珠直径X服从N（，0.0006）

11、。现从产品中随机抽取6颗进行检测，得到它们的平均值为1.495cm，标准差为0.0226cm。试求滚珠平均直径的置信水平为0.95的置信区间。置信区间的长度l为,2、总体方差2未知 均值的1-为置信区间为其中t/2（n-1）为t（n-1）分布双侧分位数。例15 在例14中若总体方差未知，试求滚珠平均直径的置信水平为0.95的置信区间。三、一个总体方差2的置信区间 总体方差2的1-置信区间为,其中 是是自由度为的2分布水平p的上侧分位数。标准差的1-置信区间为,例16 从自动车床加工的一批零件中随机抽取了16件，测得零件长度的平均值为2.125cm，标准差为0.017cm。假设零件的长度服从正态

12、分布，求零件长度标准差的0.95置信区间。5.4 假设检验一、假设检验的基本概念 1、统计假设的概念 统计假设是关于总体参数或数字特征、总体的分布以及两个或两个以上总体之间的关系的一切论断或命题，简称假设。通常用字母“H”表示假设。,2、统计假设的基本类型（1）参数假设与非参数假设 可以用有限个参数表示的统计假设称为参数假设，否则称为非参数假设。（2）原假设与备择假设 两个二者必居其一的假设，其中一个称做原假设，习惯上记为H0；而另一个称做备择假设，习惯上记为H1。原假设也称为零假设；备择假设也称为对立假设。3、统计假设的检验,统计假设的检验，简称假设检验，是指按照一定规则即检验准则，根据样本

13、来判断所作假设的真伪，以决定接受还是否定假设。（1）检验准则 检验准则，简称为检验，指接受还是否定假设所依据的规则。检验准则通常用原假设的否定域来表示。否定域亦称拒绝域或临界域，假设H0的否定域是样本空间的一个区域V，当样本值落入区域V时，否定假设H0。,（2）假设检验的理论依据 小概率原则。所谓小概率原则，就是根据具体问题的要求，指定一个可以认为“充分小”的数（01），并且把概率不大于的事件认为是“实际不可能事件”，即认为这样的事件在一次试验或观测中实际上不会出现。4、假设检验的基本步骤（1）根据实际问题的要求提出原假设H0和备择假设H1，并且在作出最后的判断之前，将始终在假设H0成立的假定

14、下进行分析；,（2）构造适当的检验统计量J，在假设H0成立下，其分布已知；（3）对给定的水平（0 1），确定否定域V；（4）根据检验统计量J的观察值，作出统计决策。5、假设检验的两类错误 否定了本来真实的假设，称为第一类（弃真）错误，犯这类错误的概率记为；接受了本来错误的假设，称为第二类（存伪）错误，犯这类错误的概率记为。,二、一个总体参数的假设检验 1、一个总体均值的假设检验（1）正态总体，方差2已知,例17 味精厂用一台包装机自动包装味精，包得的袋装味精重量服从N（，0.0152）。当机器正常时，其均值为0.5kg。某日开工后随机地抽取9袋味精，称得平均重量为0.511kg，问在显著性水平

15、0.05下，这台包装机是否正常？,（2）正态总体，方差2未知,例18 某厂生产的螺杆直径服从正态分布N（，2）。现从中抽取5件，测得平均直径为21.8mm，标准差为0.367mm。若2未知，在显著性水平0.05下，检验假设H0：=21是否成立。例19 用某种农药施入农田种防治病虫害，经过三个月后，如果土壤中的浓度不低于5ppm，认为仍有残效。在一块已施药的农田中随机抽取10个土样进行分析，其浓度的平均值为4.08ppm，标准差为1.80ppm。假设土壤残余农药的浓度服从正态分布，在显著性水平0.05下，问该农药经过三个月后是否仍有残效？,（3）总体分布未知，但大样本情形,例20 某厂生产的一种

16、型号的电阻元件其平均电阻一直保持在2.64欧姆。改变生产工艺后，测得所生产的100个元件的平均电阻为2.62欧姆，标准差为0.06欧姆，在显著性水平0.01下，问新工艺对该电阻元件的生产有无显著影响？,2、一个正态总体方差2的假设检验（自由度为n-1）,例21 设某厂生产的产品服从N（，0.0482）。今任取5件进行检测，得到其平均值为1.414，方差为0.00778。问在显著性水平0.1下，能否认为总体的方差没有显著变化？,3、一个总体比率的假设检验（大样本）,例22 某厂生产了一批产品，按规定次品率不超过0.05才能出厂，否则不能出厂。现从产品中随机抽取50件进行检查，发现有4件次品，问在显著性水平0.05下，该批产品能否出厂？,