《概率论与数理统计教程-朱庆峰》第6章参数估计.ppt

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1、6.6 区间估计,一、区间估计基本概念,二、正态总体均值与方差的区间估计,三、小结,引言,前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.,我们希望,一、区间估计基本概念,1.置信区间的定义,2.单侧置信上（下）限的定义,关于定义的说明,例如,由定义可见，,对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量),2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间,长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则.,1.要求 以很大的可能被包含在区间,内

2、，就是说，概率 要尽可能大.,即要求估计尽量可靠.,可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.,3.求置信区间的一般步骤(共3步),二、正态总体均值与方差的区间估计,1.,I 单个总体,的情况,推导过程如下:,这样的置信区间常写成,其置信区间的长度为,包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单位:克)分别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假设重量服从正态分布,解,例1,查表得,例 设总体为正态分布N(,1)，为得到 的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？,推导过程如下:,解,有一大

3、批糖果,现从中随机地取16袋,称得重量(克)如下:,设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均值,例2,就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间,这个估计的可信程度为95%.,这个误差的可信度为95%.,例 假设轮胎的寿命服从正态分布。为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下：4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.025.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 此处正态总体标准差未知，可使用t分布求均值的置信区间。经计算有=4.7092，s2=0.0615。取=0.05，查表知t0.975(11)=

4、2.2010，于是平均寿命的0.95置信区间为（单位：万公里）,在实际问题中，由于轮胎的寿命越长越好，因此可以只求平均寿命的置信下限，也即构造单边的置信下限。由于 由不等式变形可知 的1-置信下限为 将t0.95(11)=1.7959代入计算可得平均寿命 的0.95置信下限为4.5806（万公里）。,推导过程如下:,根据,2,进一步可得:,注意:在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).,(续例2)求例2中总体标准差 的置信度为0.95的置信区间.,解,代入公式得标准差的置信区间,例5,在样本容量充分大时，可以用渐近分布来构造近似的置信区间。一个典型的例子是关于比例p

5、的置信区间。,3.大样本置信区间,设x1,xn是来自b(1,p)的样本,有 对给定，通过变形，可得到置信区间为 其中记=u21-/2，实用中通常略去/n项，于是可将置信区间近似为,例 对某事件A作120次观察，A发生36次。试给出事件A发生概率p 的0.95置信区间。解：此处n=120，=36/120=0.3 而u0.975=1.96，于是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为 故所求的置信区间为 0.218，0.382,II 两个正态总体下的置信区间,设x1,xm是来自N(1,12)的样本，y1,yn是来自N(2,22)的样本，且两个样本相互独立。与 分别是它们的样本均值，和 分别是它们的

6、样本方差。下面讨论两个均值差和两个方差比的置信区间。,一、1-2的置信区间,1、12和 22已知时的两样本u区间 2、12=22=2未知时的两样本t区间,3、22/12=c已知时的两样本t区间,4、当m和n都很大时的近似置信区间 5、一般情况下的近似置信区间 其中,例 为比较两个小麦品种的产量，选择18块条件相似的试验田，采用相同的耕作方法作试验，结果播种甲品种的8块试验田的亩产量和播种乙品种的10块试验田的亩产量（单位：千克/亩）分别为：甲品种 628 583 510 554 612 523 530 615 乙品种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 42

7、6 假定亩产量均服从正态分布，试求这两个品种平均亩产量差的置信区间.(=0.05）。,解：以x1,x8记甲品种的亩产量，y1,y10记乙品种的亩产量，由样本数据可计算得到=569.3750，sx2=2140.5536，m=8=487.0000，sy2=3256.2222，n=10 下面分两种情况讨论。,(1)若已知两个品种亩产量的标准差相同，则可采用两样本t区间。此处 故1-2的0.95置信区间为,(2)若两个品种亩产量的方差不等，则可采用近 似 t 区间。此处 s02=2140.5536/8+3256.2222/10=593.1914，s0=24.3555 于是1-2的0.95近似置信区间为

8、 31.74，134.02,二、12/22的置信区间 由于(m-1)sx2/12 2(m-1),(n-1)sy2/22 2(n-1)，且sx2与sy2相互独立，故可仿照F变量构造如下枢 轴量,对给定的1-，由 经不等式变形即给出 12/22的如下的置信区间,例 某车间有两台自动机床加工一类套筒，假设套筒直径服从正态分布。现在从两个班次的产品中分别检查了5个和6个套筒，得其直径数据如下（单位：厘米）：甲班：5.06 5.08 5.03 5.00 5.07 乙班：4.98 5.03 4.97 4.99 5.02 4.95 试求两班加工套筒直径的方差比 甲2/乙2的0.95置信区间。解：由数据算得sx2=0.00107,sx2=0.00092，故置信区间0.1574，10.8899,三、小结,点估计不能反映估计的精度,故而本节引入了区间估计.,求置信区间的一般步骤(分三步).,正态总体均值与方差的区间估计,但n充分大时近似置信区间,