《概率论与数理统计》样卷分析.ppt

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1、概率论与数理统计重修,河海大学理学院数学系 2010.07,一、古典概率,（一）内容提要：随机事件、概率及其性质、古典概型与几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式、事件的独立性、伯努利概型.,（二）相关问题,1.已知P(A)=0.3,P(AB)=0.4,则；,3已知P()0.5,P(B)0.4,P()0.6,则P(A).,2.袋中有20只黄球30只白球,二人依次从中任取一球,则第二人抽得黄球的概率为.,4设事件A与B相互独立,已知P(A)=0.5,P(AB)=0.8,则；,5.设A,B为任意两事件,且AB,P(B)0,则下列不等式正确的是:(A)P(A)P(A|B)(B)P(A)

2、P(A|B)(C)P(A)P(A|B)(D)P(A)P(A|B),6.甲、乙、丙三人同时对飞机射击，三人击中的概率分别为0.4，0.6，0.8，飞机被一人击中而被击落的概率为0.3，被两人击中而被击落的概率为0.7，若三人都击中飞机，飞机必定被击落。（1）求飞机被击落的概率；（2）若已知飞机被击落，求因被两人击中而被击落的概率。,7.设有来自三个班级的各10名、15名和25名学生参加一个文体节目，其中各班的女生分别为3名、7名和5名。随机地选一个班级，再从中先后选取两人做一个节目。（1）求先选到的一人为女生的概率；（2）已知后选到的一人为男生，求求先选到的一人为女生的概率。,8.若事件A,B的

3、概率为正,则事件A,B互不相容与事件A,B相互独立 同时成立.,二、随机变量及其分布,（一）内容提要：随机变量及其分类、一维离散型随机变量、分布律及其性质、分布函数及其性质、一维连续型随机变量、密度函数及其性质、二维随机变量的联合分布、边缘分布、随机变量的独立性、随机变量函数的分布.,（二）相关问题,1已知随机变量X的分布函数F(x)A+Barctgx,则A,B,概率密度f(x).,2.设某类电子管的使用寿命X(以小时计)的概率密度是 f(x)=一等品的使用寿命在110小时以上，二等品的使用寿命在80 110小时，三等品的使用寿命在80小时以内，一等品、二等品、三等品的包装损坏率分别是0.00

4、2、0.20与0.30，现从一大批这类电子管（一、二、三等品混合）中任取一只，求（1）它碰巧是一只由于包装导致损坏的电子管的概率；（2）若已知这是一只由于包装导致损坏的电子管，求它原来是二等品的概率。,3.设随机变量X服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（4，p）的二项分布，若PX1=5/9，则PY1=；,4.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从指数分布，其密度函数为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求出的分布律，并求PY4。,5.设,若k 使得PX k=2/3,则k的取值范围是.,

5、6.设F1(x)与F2(x)分别为 1与X2的分布函数,为使F(x)=a F1(x)b F2(x)是某一r.v.的分布函数,在下列给定的各组数值中应取(A)a=3/5,b=2/5(B)a=2/3,b=2/3(C)a=1/2,b=3/2(D)a=1/3,b=3/2,7.已知随机变量X、Y相互独立且都来自参数为0的指数分布，试用两种方法求出ZXY的概率密度。,8.设随机变量X概率密度是求(1)F(x);(2)Y=aX+b的概率密度，其中a0、b为常数。,9.设二维随机变量(X，Y)的分布律为试验证X与Y是不相关的，也不是相互独立的。,1设r.v.X、Y相互独立,D(X)2,D(Y)4,则D(2XY

6、).,三、随机变量的数字特征,（一）内容提要：随机变量的数学期望、随机变量函数的数学期望、数学期望的性质、方差及其性质、协方差与相关系数.,（二）相关问题,2.设随机变量X与Y独立同分布,且UXY,VXY,则协方差cov(U,V)=.,3.已知随机变量X N(0，1),0，为常数，试证明:X+N(,2).,4.设二维连续型随机变量（X，Y）的密度函数为求:（1）关于X和Y的边缘密度函数f X(x)，f Y(y)；（2）Y的期望和方差E(Y)，D(Y)；（3）X与Y的协方差Cov(X，Y)；（4）Z=max(X,Y)的密度函数。,5.设连续型随机变量的密度函数为且E(X)=1/3，则a=，b=；

7、,6.设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布,随机变量Y是X的函数,且,则方差D(Y)=.,7.设二维r.v.(X,Y)在矩形G(x,y)|0 x2,0y 1上服从均匀分布,记,试求(1)U和V的联合概率分布;(2)U和V的相关系数.,8.游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯于每个整点的第5分钟,第25分钟,第55分钟从底层起行,假设某游客在早八点第X分钟到达底层侯梯处,且X在0,60上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.,9.设X是r.v.,EX=,DX=2,则对任意常数C,必有(A)E(XC)2=EX2C2(B)E(XC)2=E(X)2(C)E(XC)2 E(X)2(D)E(XC)2

8、E(X)2,10.设二维r.v.(X,Y)服从二维正态分布,则r.v.=X+Y与=XY不相关的充分必要条件为(A)E(X)=E(Y)(B)E(X2)E(X)2=E(Y2)E(Y)2(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+E(X)2=E(Y2)+E(Y)2,四、样本与抽样分布,（一）内容提要：总体与样本、经验分布与统计量、统计中的三个重要分布、正态总体的抽样分布理论.,（二）相关问题,1.设X1,Xn是来自正态总体N(,2)的一个样本,则,;,.,2.设X1,Xn是来自正态总体N(,2)的一个样本,则,服从.,3.设XN(1，12)，YN(2，22)，X1,Xn1；Y1,Yn2分别是两总体

9、相互独立的样本，则 的分布是.,4.设X1，X2，X3是来自正态总体N（0，1）的简单随机样本，X=X12+a(X2 2 X3)2，则当a=时，统计量X服从2分布，自由度为；,5.设XN(1，12)，YN(2，22)，X1,Xn;Y1,Ym分别是两相互独立的样本，则.,6.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,22)的简单随机样本,X=a(X1 2X2)2+b(3X3 4X4)2,则当a=,b=时,统计量服从2分布,其自由度为.,1.设总体X的密度函数为其中为未知参数。求的矩估计量和极大似然估计量，并说明的极大似然估计量是否为其无偏估计量，请给出理由。,2.若P(X=k)=ke/k!,

10、(k=0,1,2,),则的极大似然估计量=.,五、参数估计,（一）内容提要：估计量与估计值、矩估计、极大似然估计、估计量的评价、区间估计、正态分布均值与方差的置信区间.,（二）相关问题,3.设总体X的概率函数为 f(x;),其中 为未知参数，X1，,Xn为来自总体X的一个样本。（1）试求未知参数的矩估计量和极大似然估计量；（2）讨论未知参数的极大似然估计量的无偏性，并说明理由.,4.设总体X的概率密度为,其中 1是未知参数,X1,Xn是来自总体X的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量.,5.设X1，Xn，Xn+1是来自总体X的简单随机样本,则,服从的分布是(

11、).A.N(0,1)B.t(n)C.t(n+1)D.t(n1),6.假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X简单随机样本,已知Y=lnX服从正态分布N(,1).(1)求X的数学期望EX(记EX为b);(2)求的置信度为0.95的置信区间;(3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.,1.假设检验中常见的两类错误是 和。,六、假设检验,（一）内容提要：假设检验的概念、正态总体参数的假设检验.,（二）相关问题,2.下面列出的是某工厂随机选取的9只部件的装配时间(分):9.8,10.4,10.6,9.6,9.7,9.9,8.9,10.9,11.1设装配时间总体服从正态分布。(1)试问装配时间与10是否有显著性的区别(给定显著性水平0.05)？(2)求出该总体均值的置信度为0.95的置信区间。,3.某自动包装机包装大米，额定标准为每袋净重50千克，设包装机称得的米重服从正态分布，某日任取该包装机所包装的9袋大米，称得其重量（千克）如下：49.7，50.6，51.8，50.4，49.8，51.1，51.0，50.5，51.2,t 分布表 PT t(n)=,（1）问这天该包装机工作是否正常（给定显著性水平=0.05）？（2）求正态总体均值的置信度为0.95的置信区间。,THE End,