《概率论与数理统计》浙大四版第一章45节.ppt

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1、4 等可能概型（古典概型）,随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型）条件概率 独立性,一、古典概型,1.假定某个试验有有限个可能的结果,所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即每个基本事件发生的可能性相同.“等可能性”,e1,e2,，en,二、古典概型中事件的概率计算,设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则事件A的概率为：,2,3,4,7,9,10,8,6,1,5,例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球.将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.,S=1,2,10,记 A=摸到2号球 P(A)=?,记 B=摸到红

2、球 P(B)=?,从3个元素取出2个的排列总数有6种,从3个元素取出2个的组合总数有3种,排列组合是计算古典概率的重要工具.,某城市的电话号码由8个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由8个不同数字组成的概率.,三、古典概型计算举例,例1 将一枚硬币抛掷三次，求至少有一次出现正面的概率,解：设A为“至少有一次出现正面”,“全为反面”,请问：将一枚硬币抛掷三次，考察出现正面的次数，此是否是一个等可能概型？,例2 4只白球和2只红球放在一袋中，随机取球两次，每次取一只，分别作(a)放回抽样，(b)不放回抽样，求（1）取到两球都是白球的概率（2）两球同色的概率（3）取到两

3、球中至少有一白球的概率,A：两球都是白色,B：两球都是红色,C：两球中至少有一白球,例3 将n只球随机的放入N(Nn)个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率,有r 个人，每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同天生日”的概率.,人数 至少有两人同 生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的.实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大.

4、当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,例4 有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，恰有k件次品的概率是多少？（不放回抽样）,超几何分布,例5 袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球，（1）放回抽样(2)不放回抽样，求第i（i=1,2,k）人取到白球（用B表示）的概率,解：,例6 1-2000的整数中随机的取一个数，取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率。,解：,A:能被6整除，B:能被8整除,例7 15名新生随机平均的分到三个班级，其中有优秀 生3名，问（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概率；（2）3名优秀生分在同一个班的概率。,例8 把C、C、E、E

5、、I、N、S七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：,C,I,S,N,C,E,E,拼成英文单词SCIENCE 的情况数为,故该结果出现的概率为：,这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在1260次试验中大约出现1次.,解：七个字母的排列总数为7！,这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.,具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.,“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判

6、断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的.,1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.,需要注意的是：,在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率.,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,下面的算法错在哪里？,错在同样的“4只配成两双”算了两次.,从5双中取1双，从剩下的 8只中取2只,例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A）的概率是多少？,正确的答案是：,请思考：还有其它解法

7、吗？,2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个人，每个人都以相同的概率 1/N(Nn)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率.,3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：,有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下车的概率为1/N(N n)，求指定的n个站各有一人下车的概率.,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1.概念,如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A).,一般 P(B|A)P(B),5 条件

8、概率,例如，抛一枚硬币两次，观察出现正反面的情况，A为“至少有一次正面”，B为“两次掷出同一面”，求A已经发生的条件下B发生的概率。,P(B|A)P(B),P(B|A)P(AB),若事件A已发生,则为使 B也发生,试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点,即此点必属于AB.由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本空间,于是有(1).,设A、B是两个事件，且P(A)0,则称(1),2.条件概率的定义,为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.,3.条件概率的性质,设A是一事件，且P(A)0,则,1.对任一事件A，0P(B|A)1;,2.对于必然事件S，P(S|A)=1.,而且，前面对概率所

9、证明的一些重要性质都适用于条件概率.,3.设B1,Bn,互不相容，则,2)从加入条件后改变了的情况去算,4.条件概率的计算,1)用定义计算:,P(B|A）=,A所含样本点总数,AB中B所含样本点个数,例1 一只盒子装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品二次，不放回抽样，每次任取一只，设A为“第一次取到的是一等品”，B为“第二次取到的是一等品”，求P(B|A),将产品编号，1、2、3表示一等品，4表示二等品。,S=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),A=(1,2),(1,3)

10、,(1,4),(2,1),(2,4),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4),AB=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4.问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4,所求为P(B|A).,注意P(AB)与P(B|A)的区别！,请看下面的例子,甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的.而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任

11、取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产1000 个,189个是标准件,300个乙厂生产,设A=零件是乙厂生产,B=是标准件,所求为P(AB).,设A=零件是乙厂生产,B=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(B|A).,A发生,在P(AB)中作为结果;在P(B|A)中作为条件.,由条件概率的定义：,若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2),二、乘法公式,若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(3),若P(AB)0,则P(A)0P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A),当P(A

12、1A2An-1)0时，有P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1),例3 袋子中包含t个白球和r个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.,解：Ai(i=1,2,3,4)表示“第i次取到红球”,例4 一种透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10，求透镜三次落下而未打破的概率。,解：Ai(i=1,2,3)表示“第i次落下打破”,由条件概率的定义：,若P(A

13、)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)(2),三、全概率公式和贝叶斯公式,若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)(3),全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E的一组事件，若,则称B1,B2,Bn为S的一个划分,设B1,B2,Bn是S的一个划分，且P(Bi)0，i=1,2,n,另有一事件A,则,全概率公式:,在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算.,全概率公式的来由,不难由上式看出:,“全”部概率P(A)被分解成

14、了许多部分之和.,它的理论和实用意义在于:,设S为试验E的样本空间，B1,B2,Bn为E的一个划分，若P(A)0且P(Bi)0，i=1,2,n,贝叶斯公式:,常用的公式：,例6 某电子元件厂所用的元件来自三个制造厂，以往记录数据如下：,三家工厂的产品在仓库中均匀混合，且无区别标志（1）随机取一只元件，是次品的概率。,（2）已知取到的是次品，问次品来自哪一家工厂的可能性最大？,贝叶斯公式所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作

15、用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.,例7 对以往数据分析，当机器调整良好时，产品的合格率为98%，而当机器发生故障时合格率为55%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%，已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？,解：A：产品合格 B：机器良好,例 8 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(C)=0.005,P()=0.995,

16、P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04,求解如下:,设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,求P(C|A).,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得:P(CA)=0.087,即使检出阳性，尚可不必过早下结论有癌症，这种可能性只有8.7%(平均来说，1000个人中大约只有87人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.不能将P(C|A)与P(A|C)混淆,8支步枪中有5支已校准过,3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3.现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶.求:所用的枪是校准过的概率.,设A=射击时中靶,B1=使用的枪校准过,解:,例9,