《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征5节.ppt

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1、2023/9/1,1,马尔可夫（Markov）不等式 设X是只取非负值的随机变量，且具有数学期望E(X),则对于任意正数，有,第五节 切比雪夫不等式与大数定律,证：,仅就连续随机变量的情形来证明.设X的密度函数为f(x),2023/9/1,2,对于任意的正数,设X的数学期望 E(X)与方差D(X)存在,(切比雪夫不等式):,有,证：,则由马尔可夫不等式得,2023/9/1,3,注:(1)它给出了在X的分布未知的情况下，估计,的方法；,(2)说明了方差D(X)的确刻画了X对E(X)偏离程度,由,可知:D(X)越小,(即X偏离E(X)程度越小),越大，,(表明X取值越集中在E(X)的附近)；,(3

2、)它是大数定律的理论基础.,另一形式：,2023/9/1,4,例10.,已知正常男性成人每毫升血液中白细胞数平均7300,标准差700,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数,在52009400之间的概率.,解：,设X表示每毫升血液中白细胞数，依题意得,2023/9/1,5,样本平均数稳定性定理(弱大数定理1),定理 设X1，X2，Xn，相互独立且服从同一分布，并具有数学期望 及方差，.作前n个变量的算术平均 则对于任意正数，恒有,2023/9/1,6,根据切比雪夫不等式得,证：,弱大数定理1使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n次，得n个

3、测量值，它们可以看成是n个相互独立的随机变量,具有相同的分布、相同的数学期望和方差，由弱大数定理1知，只要n充分大，则以接近于1的概率保证这便是在n较大情况下反映出的客观规律,故称为“大数”定律。比弱大数定理1条件更宽的一个大数定律是辛钦Khintchine）大数定律,它不需要推论1条件中“方差 存在”的限制，而在其它条件不变的情况下，仍有上式的结论。,2023/9/1,8,2.伯努利大数定理（频率的稳定性）,定理 设 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数,恒有,证明：,又EXk=p,DXk=p（1-p）,设Xk为第k次试验中事件A出现的次数k

4、=1,2,n，,则这些变量相互独立，且服从相同分布：“0-1”分布,i=1,2,，n,由切比雪夫不等式得,2023/9/1,9,1.理解方差的定义：,2.熟悉方差的性质:,内容小结,2023/9/1,10,(5)若E(X)与 D(X)存在，,对于任意的正数,(4)对于任意实数CR，有,E(X-C)2D(X),当且仅当C=E(X)时,E(X-C)2取得最小值D(X).,有,2023/9/1,11,3.熟悉一些常见分布的方差,若XB(n,p),D(X)=npq;,若,若XU(a,b),若,2023/9/1,12,4.方差的计算方法,利用方差的定义:,利用方差的简化公式：,利用方差的性质；,利用常见

5、分布的方差.,2023/9/1,13,备用题,1.判断正误：,(1)任何随机变量X都能其计算期望和方差.(),(2)期望反映的是随机变量取值的集中位置，,方差反映的是随机变量取值的分散程度。(),(3)随机变量X的方差越小，X取值越集中，,方差越大，X取值越分散。(),答案:(1)X;(2);(3).,2023/9/1,14,2.选择题,A.4,0.6；B.6,0.4；C.8,0.3；D.24,0.1,A.-1；B.2；C.1；D.3,2023/9/1,15,(4),2023/9/1,16,分析,(1)由 XB(n,p)得：,解方程组得 n=6,p=0.4,故选B.,2023/9/1,17,故

6、选 C.,2023/9/1,18,（3）,故选 C.,2023/9/1,19,(4)由题（3）知：,且,根据切比雪夫不等式，应选D,2023/9/1,20,3.假设有十只同种电器元件,其中只有两只废品,装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是废品,则扔掉重新任取一只;如仍然是废品,则扔掉再取,一只.试求在取到正品之前,已取出的废品只数的,解：,设X表示在取到正品前已取出的废品数,则,X的概率分布为,方差（续）.,2023/9/1,21,E(X)=00.8+1(8/45)+2(1/45)=2/9.,根据定义,随机变量X的数学期望为,故X的方差为,2023/9/1,22,分布函数F(x)在(-,+)处处连续，故,4.设X的分布函数为,试确定常数a,b,并求 E(X)与D(X).,解：,F(x)在x=-1和x=1处连续,有,2023/9/1,23,即,解方程组得,X的概率密度函数为,=0,2023/9/1,24,D(X),原式=,2023/9/1,25,5.设,随机变量X的分布函数为,解：,2023/9/1,26,6.设每次试验中，事件A发生的概率为0.5,共进行了1000次试验，用切比雪夫不等式估计：,A发生次数在400到600之间的概率.,解：设事件发生的次数为随机变量，则,(,)，=,.，,且 E(X)=np=500,D(X)=np(1-p)=250.,由切比雪夫不等式得,