《概率统计教学资料》第4章中心极限定理.ppt

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1、2023/9/1,1,一、正态分布的定义二、正态分布的数字特征三、正态分布性质四、中心极限定理,第四章 正态分 布中心极限定理,基本内容：,2023/9/1,2,正态分布是最重要的概率分布(原因)：,(1)很多随机现象可用正态分布描述或近似描述,例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等,大量随机现象可以用正态分布描述.,(2)一般地,大量独立随机变量的和近似地服从,正态分布.(中心极限定理),(3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等),是由正态分布推导得到的.,问题：在n次独立重复试验（即n重伯努利试验)中，p为一次试验中事件A发生的概率，记n 为n次试验中事件A发生的次数，,2023

2、/9/1,3,则n B(n,p),试验次数n较大时，计算相当困难，有没有近似计算的方法？,回顾泊松定理：当n充分大,p很小(p0.1),即=np比较适中时，,看上去简单一点，但仍然是一串很长和式，有没有近似计算的方法？,分别取n=6,20,50,100,p=0.3 的二项分布图,2023/9/1,4,当n越来越大时，二项分布的概率值渐进为正态曲线，标准化以后即为标准正态分布曲线。即棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,2023/9/1,5,定理.棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,若随机变量 n 服从参数为n,p的二项分布，则则对于任何实数x，有,定理表明，当n充分大时，二项分布的随机变量n 的标准化变量近

3、似服从标准正态分布，即,而 n近似服从N(np,np(1-p).,2023/9/1,6,例7.某种难度很大的心脏手术成功率为0.9，对100名患者进行这种手术，以X记手术成功的人数.(1)求P(84X 95);(2)求P(X90).,解:(1)由题意知XB(100,9),E(X)=n p=1000.9=90，,D(X)=n p(1-p)=1000.90.1=9，,2023/9/1,7,设nB(n,p),n表示n次试验中事件A出现的次数，n可以分解为一系列随机变量之和,其中Xi为第i次试验中事件A出现的次数，即,根据棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，当n充分大时，独立同分布于B(1,p)的随机变量X

4、1，X2，Xn，其和X1+X2+Xn近似服从正态分布。,启示：X1，X2，Xn只是独立同分布的随机变量，是否有类似结论？,2023/9/1,8,独立同分布的中心极限定理,设随机变量X1,X2,Xn,相互独立,服从同一分布，且有的数学期望 和方差，则随机变量 的分布函数 满足如下极限式,2023/9/1,9,定理的应用：对于独立的随机变量序列，不管 服从什么分布，只要它们是同分布，且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这些随机变量之和 近似地服从正态分布,另一种形式：,2023/9/1,10,客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在

5、总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。,概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。,由正态分布的线性组合性质知，相互独立的随机变量的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条件下，很多个相互独立的非正态的随机变量（不管它们的分布如何）的和近似服从正态分布。,由题意 相互独立且服从同一分布，且,2023/9/1,11,例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.(1)求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率；(2)要求总的服务时间不超过1

6、小时的概率大于0.95,问至多能对几位顾客服务。,解：,(1)Xi表示第i位顾客的服务时间,i=1,2,100,2023/9/1,12,例6.在一零售商店中，其结账柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1.(2)要求总的服务时间不超过1小时的概率大于0.95,问至多能对几位顾客服务。,解：,(2)设能对N位顾客服务，按题意需要确定最大的N，使,2023/9/1,13,二、掌握非标准正态分布向标准正态分布的转化，,内容小结,一、掌握正态分布的密度函数和分布函数及其图像及性质；,三、掌握正态分布的数字特征；,会利用标准正态分布表，求正态分布的概率；,2023/9

7、/1,14,3(线性组合性).设,且X、Y相互独立,则,四、熟悉正态分布的性质,则,1(线性性).若,2(可加性).设,相互独立，且,则,五、了解中心极限定理,并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率,2023/9/1,15,作业,习题四(P114):1、2、4、10、11 15、16、18,2023/9/1,16,则X的数学期望为_;X的方差为_.,备用题,1.已知连续随机变量X的概率密度函数为,分析：,经过整理得,故E(X)=1,D(X)=1/2.,2023/9/1,17,2.已知,则Z服从（）分布.,因为X,Y相互独立，根据正态分布的性质,分析：,故选C.,2023/9/1,18,3.设

8、随机变量X与Y均服从正态分布：,2023/9/1,19,分析：,故选B.,2023/9/1,20,4.,解：,得,(2+2),2023/9/1,21,由独立同分布的中心极限定理，,2023/9/1,22,5.某保险公司多年的统计资料表明:在索赔户,中被盗索赔用户占20%，以X表示在随机调查的,100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.,(1)写出X的概率分布；,(2)利用德莫佛-拉普拉斯定理,求被盗索赔户不,少于14户，且不多于30户的概率的近似值.,解：,(1)由题设知 X B(100,0.2),于是X的概率分布为,2023/9/1,23,(2)由 E(X)=np=20,D(X)=np(1-p)=16.,由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理有,