《数学物理方法》新建第14讲.ppt
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1、14.Legendre 函数的性质,2010.6.3,一.Legendre方程的引出,球形域上三维静电场问题中,外电势满足 Laplace,例:,方程。,分析:,即,求其分离变量解。,求解时常将其写成球坐标形式:,设解为,后两项与 r 无关,于是有,为方便,常把 l 写成 l(l+1).,于是(1)化为欧拉方程:,其通解为,上式可化为,(3)并自然周期条件可得,方程(4)整理为,称之为 Legendre 方程。,其中,该方程 添加自然边界条件,则(5)变为,此方程称为关联 Legendre 方程。,则F 亦然,m=0。,此时(6)成为,构成本征值问题,为,其本征值和本征函数,这样在轴对称假设下
2、得到问题的级数解,进一步的求解须知 Legendre 多项式的性质。,后面的讨论中,我们只考虑轴对称问题。,二.Legendre多项式的性质,1.Legendre多项式的为微分表示,令,则,因此,即,因此,多项式,2.Legendre多项式的为积分表示,据复变函数中高阶导数公式,可得,L 是围绕 z=x 的任一正向闭曲线。,特别地,取半径为,的圆周为L,则,由此得,其中,化简得,此式称为Legendre 多项式的 Laplace 积分。,由积分表达式可得,3.Legendre多项式的母函数,若一个函数按某一自变量作幂级数展开时,其系数是,例如若,Legendre 多项式,则称该函数为Legen
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