《固体物理基础教学课件》第一章.ppt

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1、第1章 晶体结构,1-1 晶体的特性1-2 晶格及其实例1-3 晶格的周期性1-4 晶向和晶面1-5 晶体对称性与布拉菲格子1-6 倒格子,晶体：原子排列长程有序（水晶，岩盐，金刚石）,晶体（规则点阵）,1-1 晶体的特性,物理：*固定熔点（在熔化过程中，晶态固体的长程有序解体 时对应一定的熔点）*原子排列长程有序（微米量级的范围是有序排列的）*解理性（Si的解理面为（111）几何外形：*凸多面体，晶棱平行，晶面夹角守恒,晶体的晶面组合成晶带晶面的交线是晶棱 相互平行方向OO称为该晶带的带轴重要的带轴通常称为晶轴,示例：不同生长条件下NaCl晶体的外形,1-1 晶体的特性,1-1 晶体的特性,

2、金刚石：复式面心立方结构，最坚硬固体，绝缘体石墨：层状结构，质软，润滑性好，导体石墨烯：单层碳原子，优异电输运性能,晶体结构决定物理性能！,金刚石,石墨,石墨烯,1-2 晶格,怎样描述不同的晶体结构？每一个原子的坐标都写出来？原子数目1023cm-3量级，不可行！寻找规律！规律：金，银，铜虽然化学成分不同，如果不查究其化学成分，即不管原子是金或银还是铜，不管原子之间间距的大小，那他们是完全相同的，就是他们的结构完全相同！数学方法抽象描写：不区分物理，化学成分，每个原子都是不区分的，只有原子（数学上仅仅是一个几何点）的相对几何排列有意义。,金刚石（立方）,石墨（六方）,石墨烯（六方）,理想晶体：

3、实际晶体的数学抽象以完全相同的基本结构单元（基元）规则地，重复的以完全相同的方式无限地排列而成格点（结点）：基元位置，代表基元的几何点晶格（点阵）：格点（结点）的总和原子种类和间距不同，但有相同的排列规则，则这些原子构成的晶体具有相同的晶格简立方(cubic)，面心立方(bcc),体心立方(fcc),六方(hcp),1-2 晶格,点阵,基元,晶体,晶体结构=点阵（数学几何点）+基元（物理）,晶格的共同特点是周期性，用原胞和基矢描述。原胞(Primitive cell)：晶格的最小周期性单元。又称初基晶胞。基矢：原胞的边矢量 晶胞(Unit cell)：晶体学中，为了反映晶格的对称性，选取较 大

4、的周期性单元，又称单胞。单胞不一定是原胞,原胞选取不唯一，但有习惯的选取方式。三维晶格原胞通常是平行六面体。,原胞和晶胞,1-3 晶格的周期性,简立方晶格：原胞和单胞相同,如何判断所选取的原胞是正确的，即最小周期单元？计算原胞体积所对应的原子数。原胞中只包含一个原子,1-3 晶格的周期性-简单立方晶格,基矢,原胞体积,原胞基矢,原胞的体积,单胞基矢,单胞的体积,单胞内原子数：4原胞内原子数：1,1-3 晶格的周期性-面心立方晶格,单胞内原子坐标：（0,0,0）(1/2,0,1/2)（1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2),单胞内原子数：2原胞内原子数：1,原胞基矢,原胞体积,1-3 晶格的

5、周期性-体心立方晶格,单胞基矢,单胞的体积,单胞内原子坐标：（0,0,0）(1/2,1/2,1/2),以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞 对称性原胞，不依赖于基矢的选择，与相应的布拉菲格子有完全相同的对称性,特点：1.仅包含一个格点，体积与惯用原胞相等2.保留了晶格所有的对称性3.平常很少用，在能带理论中对应布里渊区,1-3x Wigner-Seitz原胞,六角密排晶格的原胞和单胞一样,*一个原胞中包含A层 和B层原子各一个*共两个原子,1-3 晶格的周期性-密排六方晶格,基矢：,简单晶格：原胞中仅包含1个原子，所有原子的几何位置和化学性

6、质完全等价复式晶格：包含两种或以上的等价原子*两种不同原子或离子构成：NaCl,CsCl*同种原子但几何位置不等价：金刚石结构、六 方密排结构,复式晶格的原胞就是相应的简单晶格的原胞，在原胞中包含每种等价原子各一个,1-3晶格的周期性-简单晶格与复式晶格,简立方晶格在实际晶体中并不罕见（CsCl,NH4Cl,CuZn等）但一般常见的元素不结晶为简立方结构。,1-3 实例-简单立方晶格,*为了保证同一层中原子球间的距离等于A-A层之间的距离，正方排列的原子球并不是紧密靠在一起；*由几何关系证明，间隙=0.31r0，r0为原子球的半径。*具有体心立方晶格结构的金属：Li、Na、Cr、W、Fe等.,

7、1-3 实例-体心立方晶格,ABCABC 密堆积方式排布,面心立方晶格的堆积比=?配位数=？,具有面心立方晶格结构的金属：Au,Ag,Cu等,1-2 实例-面心立方晶格,堆积比率：被原子（球）所占据的可用体积的最大比率。配位数：最近邻原子数。指原子间距最小并相等的原子个数,ABAB密排堆垛,六方晶格的堆积比=?配位数=？,1-3 实例-密排六方晶格,具有密排六方晶格结构的金属：Zn，Mg等,两套面心立方套构而成 第二套4个原子位于体对角线1/4处 第二套C原子与4个第一套C原子形成正四面体 Si,Ge为金刚石结构,1-3 实例-金刚石晶格,单胞中的原子坐标？,Na和Cl分别构成面心立方格子，彼

8、此在空间有一个位移,1-3 实例-NaCl晶格,Cs和Cl分别构成简立方格子，彼此在空间有一个位移注意：CsCl不是体心立方，而是简立方结构！,1-3 实例-CsCl晶格,类似金刚石结构，Zn和S分别组成面心立方格子化合物半导体如GaAs,InP等为闪锌矿结构,1-3 实例-闪锌矿ZnS结构,类似密排六方结构，Zn和S分别组成六方格子化合物半导体如ZnTe,AgI等为纤锌矿结构,1-3 实例-纤锌矿ZnS结构,钙钛矿型的化学式可写为ABO3*A代表二价或一价的金属*B代表四价或五价的金属*BO3称为氧八面体基团,是钙钛矿型晶体结构的特点*重要介电晶体：钛酸钡（BaTiO3）、锆酸铅（PbZrO

9、3）、铌酸锂（LiNbO3）、钽酸锂（LiTaO3）,1-3 实例-钙钛矿结构,晶体=布拉菲格子(lattice)+基元（basis）简单晶格，任意格点均可表示为 布拉菲格子是数学抽象，是点在空间的周期性排列，又称点阵。,1-4 布拉菲格子(Bravais lattice),复式晶格：任一原子A的位矢,为原胞中各种等价原子之间的相对位移,金刚石晶格中,对角线位移,*碳1位置,*碳2位置,1-4 布拉菲格子(Bravais lattice),任意格点均可表示为 布拉菲格子是数学抽象，是点在空间的周期性排列，又称点阵。,1-4 布拉菲格子(Bravais lattice),晶体结构=点阵（数学几何

10、点）+基元（物理）,简单晶格 基元是一个原子,复式晶格 基元是一个以上原子,1-4 布拉菲格子(Bravais lattice),晶体结构=点阵（数学几何点）+基元（物理）,晶体基本特点：各向异性,晶列通过任意两个格点连一直线，则这一直线包含无限个相同格点，这样的直线称为晶列，也是晶体外表上所见的晶棱。其上的格点分布具有一定的周期-任意两相邻格点的间距。,晶列的特点（1）一族平行晶列把所有格点包括无遗（2）在一平面中，同族的相邻晶列之间 距离相等（3）通过一格点可以有无限多个晶列，每 一晶列都有一族平行的晶列与之对应（4）有无限多族平行晶列,1-5 晶向和晶面,如何区分不同的晶列簇？晶向！两个

11、格点的 连线即一晶列，因此从任一格点沿晶列方向到 最近邻格点的平移矢量即晶向 取某一原子为原点O，原胞的三个基矢 沿晶向到最近的一个格点的位矢,#晶向指数表示为,1-5 晶向和晶面,#指数是整数，互质,#晶胞和原胞类似,晶向指数,晶向指数,1-5 晶向和晶面,简单立方晶格的主要晶向,#立方边OA的晶向,立方边共有6个不同的晶向,#面对角线OB的晶向,#体对角线OC晶向,1-5 晶向和晶面,面对角线共有12个不同的晶向,体对角线共有？个不同的晶向,1-5 晶向和晶面,与晶列类似，晶格中的所有格点也可看成都在一族 族相互平行的、间距相等的平面上 晶体的晶面 在布拉菲格子中作一簇平行的平面，这些相互

12、平行、等间距的平面可以将所有的格点包括无遗。这些相互 平行的平面称为晶体的晶面,如何区分不同的晶面？晶面的方向：密勒指数 以晶胞基矢定义的互质整数，用以表示晶面的方 向，又称为晶面指数,1-5 晶向和晶面-密勒指数,确定某平面在直角坐标系 3个轴上的截点，并以晶格常数为单位测得相应的截距。取截距的倒数，然后约简为 3 个没有公约数的整数，即将其化简成最简单的整数比。将此结果以“（hkl）”表示，即为此平面的密勒指数。,1/3:1/4:1/2=(436),？,如果某族晶面与某一基矢没有相交 截距是无穷大，例如 密勒指数为：如果晶面与某一晶轴的负方向相交，则相应指数上 加负号，如 晶面间距：相邻两

13、层平行晶面之间的距离 面密度：晶面上质点的密度 密勒指数小的晶面，格点密度大？什么样的面容易解理？晶体中重要的面指数都是简单的，如,1-5 晶向和晶面-密勒指数,1-5 立方晶格的主要晶面,#(110)表示一组平行晶面#110表示一组空间等同晶面，包括12个晶面如#100面包括6个等同晶面#111包括？个等同晶面,六方结构中，为了能充分体现六方晶系的六重对称性，常常用4个坐标指数表示晶面，被称为密勒布拉菲指数（hkil）其中h+k=-i,此时选取4个晶轴a1,a2,a3,c。,1-5 晶向和晶面-密勒指数,1-7 晶体对称性,为何要引入晶胞？前面讲的原胞只涉及平移对称性 晶体宏观对称性：对晶体

14、做某种几何操作后，晶体可以完全复原 的特性。其中的几何操作为对称操作 在晶体对称操作过程中，若至少有一点保持不变，这种对称操 作称为点对称操作，晶体的这种对称性为宏观对称性 宏观对称反映在宏观物理性质上，如外形,四种基本的操作转动、反演、反映、象转轴。,1.转动对称操作设晶体外形为一立方体，沿图中所示转轴转动900，外形与原来重合。这样的转动称为转动对称操作。该轴称为转动轴。,1-7 晶体的点对称操作,转动轴,由于受晶格周期性的限制，转动对称操作所转动的角度并不是任意的。而是遵循一定的规律。,AB是晶列上最近邻两格点的距离。,1-7 转动,1-7 转动,2.中心反演 如图所示，有对称心i，晶体

15、中任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A，使Ai=Ai,A与A是等同点，i点称为对称心。表示方式(1)熊夫利符号表示Ci;(2)国际符号表示i。例：立方体的中心就是对称中心。,1-7 中心反演,3.反映（镜象、对称面）如图所示，A和A表示方式(1)熊夫利符号表示;(2)国际符号表示m。,1-7 反映,1.旋转-反演轴(象转轴)(1)定义先绕u轴转动2/n，再经过中心反演，晶体自动重合，则称u轴为n度旋转反演轴，又称为n度象转轴。只有1，2，3，4，6。(2)符号表示,n度象转轴简析 n度象转轴实际上并不都是独立的，只有 是 独立的。,1-7 象转轴,(1)象转轴实际上就是对称心i。,A点绕旋转

16、轴(z轴)旋转3600，在经过中心反演到A点，晶体完全重合。实际上即为中心反演。,1-7 象转轴,(2)象转轴实际上就是对镜象m。,和O-xy对称面的操作相当。,1-7 象转轴,(3)象转轴实际上就是3度转轴对称心(i),晶体的点为1,2,3,4,5,6.它们符合3度转轴加对称中心,(4)象转轴实际上就是3度转轴对称面(m),晶体的点为1,2,3,4,5,6.它们符合3度转轴加对称面,(5)象转轴,甲烷分子,晶体的点为1,2,3,4.它们不符合4度转轴加对称中心，是独立的对称操作,结论：晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称操作：1，2，3，4，6，i,m,。这些基本的操作组合起来，就可以得到

17、32种宏观操作类型（32点群）。平移对称性（周期性）+转动对称性（点群）=空间群(230种）。,1-7 晶体对称性,布拉菲格子的对称群所包含的对称操作,1.点对称操作（宏观对称性）：转动、反演、平面反映等2.点阵平移操作上述两种形式的连续操作点群：点对称操作集合空间群：点对称+平移对称操作集合,布拉菲格子和晶体结构的点群和空间群,群代表一组“元素”的集合，G E,A,B,C,D 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列性质,1)集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素 若 A,B G,则AB=C G.叫作群的封闭性,2)存在单位元素E,使得所有元素满足：AE=A,3)对于任意元素A

18、,存在逆元素A-1,有：AA-1=E,4)元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C,1-7 群的概念,单位元素 不动操作,任意元素的逆元素 绕转轴角度，其逆操作为绕转轴角度；中心反演的逆操作仍是中心反演；,连续进行A和B操作 相当于C操作,A 操作 绕OA轴转动/2 S点转到T点,B 操作 绕OC轴转动/2 T点转到S点,S,1-7 群的概念,上述操作中S和O没动，而T点转动到T点 相当于一个操作C：绕OS轴转动2/3,表示为,群的封闭性,可以证明,满足结合律,1-7 群的概念,S,1-7 晶体对称性,三 斜,单 斜,1-7 晶体对称性,正交,1-7 晶体对称性,三角（三方）,四

19、 方,1-7 晶体对称性,立 方,六角,1-7 晶体对称性,为什么要研究倒空间（reciprocal space)?,一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写:坐标表象r，动量表象k 为什么选择不同的表象？*适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理*比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单 正（坐标）空间的格矢（R）描写周期性，同样在倒（动量）空间，倒格矢K也是描写周期性。这两个空间是等价的，只是 存在一个变换（傅里叶变换）,1-8 倒格子,晶格的傅里叶变换（Fourier transformation）,势能和电

20、荷密度等函数满足叠加原理的物理量,如果晶体具有平移周期性,对周期函数作傅里叶展开,1-8 倒格子,从以上公式中可推导得到,因为,故,得到,n为整数,只要晶体有平移周期性，那么在傅里叶空间中就一定存在Kh矢量满足这个关系！,晶点的傅里叶变换（Fourier transformation）,数学上用 函数来描写格点,因为,当矢量Kh与Rl乘积是2的整数倍时，在坐标空间Rl处的 函数的傅里叶变换为在动量空间以Kh为中心的函数！坐标空间里，(r-Rl)函数表示在Rl的格点，当满足上述 条件时，其傅里叶变换也是(k-Kh)函数，表示的是倒空 间里的一个点！,1-8 倒格子,通过傅里叶变换可得到,定义：对

21、于布拉菲格子中所有的格矢Rl，有一系列动量空间矢量Kh，满足,的全部端点的集合，构成该布拉菲格子的倒格子，这些点称为倒格点，Kh为倒格矢,布拉菲格子也称为正格子，它们满足傅里叶变换关系，因此，倒空间也称为傅里叶空间,1-8 倒格子,bj就是倒格子基矢，Kh具有平移对称性,对于正格子,有,如果选择一组b，使,倒格子矢量Kh,表示什么含义？是正交关系！即b1与a2和a3正交！,看a2和a3确定的平面，即a2a3矢量垂直于该平面,1-8 倒格子,则有b1与 平行,可设,利用正交关系有：,a3,a2,然后可得：,以它们为基矢构成一个倒格子，倒格子每个格点的位置,倒格子基矢,倒格子原胞体积是正格子原胞体

22、积的倒数：,1-8 倒格子,二维倒格子,1-8 倒格子,a,b,二维倒格子,二维正格子,二维倒格子,1-8 倒格子,a,b,二维倒格子,二维正格子,正格子中一簇晶面 和 正交,可以证明得到,与晶面ABC正交,1-8 倒格子矢量与晶面对应关系,注意不是密勒指数(hkl)，而是面指数(h1h2h3)。意即该晶面族最靠近原点晶面的截距分别为a1/h1,a2/h2,a3/h3,倒格子与晶格的几何关系,原点O引晶面族ABC的法线ON截取一段OP=使d=2（d是晶面间距）每一个晶面族都有一个点P以OP为该方向的周期进行平移得到一个新的点阵，即为倒格子,-晶格的一族晶面化为倒格子中的一个点，在处理晶格问题上

23、很有意义,设晶面 面间距为d,得到,1-8 倒格矢长度与面间距对应关系,则OA在其面法线方向Kh的投影即为d,注意：面间距是与晶面指数相关，而不是密勒指数！倒格矢代表晶面的法线方向！,晶体结构,1.,1.,2.与晶体中的原子位置相对应,2.与晶体中的晶面族相对应,3.是与真实空间相联系的傅里叶空间（K空间）中点的周期性排列,3.是真实空间中点的周期性排列,5.量纲为长度,5.量纲为长度-1,1-8 正倒格子对应关系,4.W-S原胞,4.布里渊区,简立方晶格的倒格子仍然是简立方格子。,1-8 简单立方晶格,i,j,k,正格子,倒格子,体心立方晶格的倒格子是面心立方格子,1-8 体心立方晶格,i,

24、j,k,正格子,倒格子,面心立方晶格的倒格子是体心立方格子,1-8 面心立方晶格,i,j,k,正格子,倒格子,布里渊区：倒空间的W-S原胞,1-9 布里渊区,在倒空间中以某个格点为中心，作其与邻近格点的中垂面，这些中垂面所包含最小体积的区域为布里渊区,简单立方晶格k空间的二维示意图,第一布里渊区又称简约布里渊区。其界面方程为：,简约布里渊区的意义：1.由于晶格的平移对称性，和（相差一个倒格矢）所对应的两个状态在物理上是等价的2.简约布里渊区内的全部波矢 代表了晶体中所有的电子态，区外的波矢都可通过平移倒格矢在该区内找到等价状态点3.这样定义的布里渊区，它的边界面满足Bragg反射条件4.讨论固

25、体性质时，可以只考虑第一布里渊区,为什么引入布里渊区？,1-9 布里渊区,简立方倒格子还是简立方,第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体,1-9 简立方布里渊区,体心立方倒格子为面心立方,第一布里渊区原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体,1-9 体立方布里渊区,面心立方倒格子为体心立方,1-9 面立方布里渊区,第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体,1901诺贝尔物理学奖,W.C.伦琴(德国)发现伦琴射线(X射线),从X射线衍射引出倒格矢概念,M.V.劳厄 发

26、现X射线通过晶体时的衍射，决定了X射线波长，证明了晶体的原子点阵结构,1914诺贝尔物理学奖,W.H.布拉格 W.L.布拉格 用X射线分析晶体结构,1915诺贝尔物理学奖,入射线与反射线之间的光程差：=SA+A T=2d sin,把晶体对X射线的衍射看成是晶面对X射线的反射,1-9 布拉格定律,布拉格假设入射波从原子平面作镜面反射，但每个平面只反射很小 部分（另外部分穿透），当反射波发生相长干涉时，就出现衍射极大 只有入射的10-310-5部分被每个面反射，大部分穿透，要有足够多的 原子面参与反射,满足衍射方程：2dh1h2h3 sin=n,可见光可以发生布拉格衍射吗？为什么？如入射束全部反射

27、了，还有没有衍射图像？,CO=-Rl S0 OD=Rl S衍射加强：Rl（SS0）=n由：ko=(2/)S0 k=(2/)S k即X射线的波矢得：Rl（kk0）=2 n 因为：Rl Kh=2 n,物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个Kh（倒格矢）时，满足衍射加强条件，n为衍射级数。,把位于格点上的原子看作是散射中心，劳厄衍射是散射中心对入射X射线的衍射,1-9 劳厄衍射方程,|kk0|=2|S/-S0/|=(2/)2sin 2sin=n/dh1h2h3|kk0|=|n Kh|=2n/dh1h2h3|Kh|=2/dh1h2h3,倒格矢与晶面相互对应,1-9 布拉格方程与劳厄公式的等价性,

28、本课程与倒格子概念相关的问题,倒格子与晶面间具有相互对应关系倒格矢与布拉格反射面间具有一一对应关系，利用倒格子概念可简化对衍射图案分析任意周期函数都可在该函数所定义的倒格子空间展开为傅里叶级数周期势场中运动的单电子波函数 可展开为波矢为 的平面波的线性迭加（第4章 能带论）对同一能带，当用波矢 标志电子状态时，相差一个倒格矢的两个状态是等价的，据此可引入简约布里渊区的概念（第4章 能带论）,K空间,称为波数矢量（波矢）,平面波,电磁波等从一点向各方面发散出去形成球面，如果这种波从无限远处传来，所形成的球面就可以看作是一个平面，所以叫做平面波,物质波,在量子力学中，很多问题要在K空间处理，例如最

29、常见的能量问题（晶格振动、能带）,动量,爱瓦尔德构图,根据公式：kk0=n Kh,建立反射球,入射线的波矢k0,反射线的波矢k,倒格矢Kh,O,C,A,晶面,反射球,（h1h2h3）,(h1 h2 h3),爱瓦尔德构图,根据公式：kk0=n Kh,建立反射球,转动晶体，倒格子转动，与爱瓦尔德球相交的点即可产生衍射，如图倒易点230发生衍射。,建立反射球的意义通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和衍射照片上的斑点直接联系起来。所有落在此球上的倒格点都满足关系式:kk0=n Kh 即满足衍射加强条件。利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向（若反射球上的A点是一个倒格点，则CA就是以OA为倒格矢的一族晶面(h1h2h3)的衍射方向S）。衍射线束的方向是倒格点与球心C的连线方向,爱瓦尔德构图,应用举例：晶体电子衍射花样的标定,思考题,求面心立方晶格的倒格子。利用倒格子与正格子间的关系导出晶面间距和晶面夹角。,