高等数学格林公式及其应用.ppt
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1、1,10.3 格林公式及其应用,小结 思考题 作业,格林(Green)公式,平面上曲线积分与路径无关的条件,全微分方程,第10章 曲线积分与曲面积分,2,1.区域连通性的分类,设D为平面区域,复连通区域,单连通区域,一、格林公式,否则称为,则称D为平面,复连通区域.,成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线所围,单连通区域,3,定理10.4(格林公式),设闭区域D由分段光滑,的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有,连续偏导数,则有,2.格林公式,其中L是 D的取正向的边界曲线.,一阶,4,当观察者沿边界行走时,(1)P、Q在闭区域D上具有一阶连续偏导;,(2)曲线L是封闭的,并且取
2、正向.,注,规定,边界曲线L的正向.,区域D总在他的,左边.,格林公式,5,(1)先对简单区域证明:,证明,若区域D既是,又是,即平行于坐标轴的直线,和L至多交于两点.,6,同理可证,化为二次积分,化为第二类曲线积分,7,(2)再对一般区域证明:,若区域D由按段光滑,(如图),将D分成三个既是,又是,的区域,的闭曲线围成.,8,(L1,L2,L3对D来说为正方向),9,(3)对复连通区域证明:,若区域不止由一条闭曲线,所围成.,格林公式,且边界的方向对区,的曲线积分,右端应包括沿区域D的全部边界,域D来说都是正向.,对复连通区域D,(L1,L2,L3对D来说为正方向),10,(3)对复连通区域
3、证明:,由(2)知,若区域不止由一条闭曲线,添加直线段,则D的边界曲线由,及,构成.,所围成.,G,F,(L1,L2,L3对D来说为正方向),对复连通区域D,格林公式,且边界的方向对区,的曲线积分,右端应包括沿区域D的全部边界,域D来说都是正向.,11,便于记忆形式:,格林公式的实质,之间的联系.,沟通了沿闭曲线的积分与,二重积分,12,(1)计算平面的面积,3.简单应用,格林公式,得,闭区域D的面积,13,例 求椭圆,解,由公式,得,D,所围成的面积.,14,对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时,常常考虑通过格林,公式化为二重积分来计算.,15,计算,L是圆周:,如把圆周写成参数方程:
4、,再将线积分化为定积分计算,用格林公式易求.,分析,则过程较麻烦.,解,由格林公式,(2)简化曲线积分的计算,例,16,其中L为圆周,解,由格林公式有,的正向.,练习,17,解,由格林公式,练习,18,例,计算,分析,但由,可知,非常简单.,A(a,0)到点O(0,0)的上半圆周,此积分路径,不是闭曲线!,19,为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成,闭曲线.,所以,因而这里补加直线段,直线段.,通常是补充与坐标轴平行的,L不闭合+边L,使L+L闭合,再用格林公式.,由格林公式,解,的方程为,故,所以,20,练习,则曲线积分,设L为正向圆周,在
5、第一象限中的部分,的值为().,解,21,(3)二重积分化为线积分计算,则,解,令,例,为顶点的,格林公式,三角形闭区域.,22,解,记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为,例,令,有,逆时针方向.,23,即L为不包围原点的任一闭曲线.,即L为包围原点在内的任一,闭曲线.,由格林公式,应用由格林公式,得,作位于D内圆周,记D1由L和l所围成,24,所以,其中l 的方向取,逆时针方向,注意格林公式的条件,对复连通区域D,格林公式右端应包括沿,且边界的方向,区域D的全部边界的曲线积分,对区域D来说都是正向.,25,解,记L与l 围成的闭区域为D1.
6、,设L为圆周,在L内部作有向椭圆l:,顺时针方向.,例,l的方向为,而,格林公式,法一,26,所以,法二,D2是由l 所围区域,格林公式,27,研究生考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,证,左边=,右边=,法一,(1),28,已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,证,(2),由于,故由(1)得,研究生考题(数学一)(10分),29,证,法二,(1),根据格林公式,得,左边=,右边=,因为D关于,对称,所以,研究生考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D的正向边界.,试证:,30,证,法二,由(1)知,研究生考题(数学一)(10分),已知平面区域,L为D
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