高等数学(下)无穷级数.ppt

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1、无穷级数,无穷级数,数项级数,幂级数,傅氏级数（数一）,第十一章,常数项级数的概念和性质,一、常数项级数的概念,二、无穷级数的基本性质,三、级数收敛的必要条件,第一节,第十一章,一、常数项级数的概念,引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A.,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加,简记为,当级数收敛时,称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散.,显然,收敛,则称无穷级

2、数,并称 S 为级数的和,记作,例1.讨论等比级数,(又称几何级数),(q 称为公比)的敛散性.,解:1)若,从而,因此级数收敛,从而,则部分和,因此级数发散.,其和为,2).若,因此级数发散;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;,时,等比级数发散.,则,级数成为,不存在,因此级数发散.,例2.判别下列级数的敛散性:,解:(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“拆项相消”求和,(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,技巧:,利用“拆项相消”求和,二、无穷级数的基本性质,性质1.若级数,收敛于 S,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛,说明:级数

3、各项乘以非零常数后其敛散性不变.,即,其和为 c S.,性质2.设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,说明:,(2)若两级数中一个收敛一个发散,则,必发散.,但若二级数都发散,不一定发散.,例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数,的敛散性.,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.,注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,例如，,三、级数收敛的必要条件,性质5、设收敛级数,则必有,可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,例如,其一般项为,不趋

4、于0,因此这个级数发散.,注意:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,事实上,假设调和级数收敛于 S,则,但,矛盾!,所以假设不真.,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十一章,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1.正项级数,收敛,部分和序列,有界.,则称,为正项级数.,定理2(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1)若强级数,则弱级数,(2)若弱级数,则强级数,则有,收敛,也收敛;,发散,也发散.,是两个正项级数,(常数 k 0),例1.讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解:1)若,

5、因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散.,发散,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.,时,2)若,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,证明级数,发散.,证:因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散.,例2.,定理3.(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0,(3)当 l=,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,是两个正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;,特别取,可得如下结论:,对正项级数,(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;,也发散.

6、,的敛散性.,例3.判别级数,的敛散性.,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4.判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法),设,为正项级数,且,则,(1)当,(2)当,时,级数收敛;,或,时,级数发散.,说明:当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,但,级数收敛;,级数发散.,例5.讨论级数,的敛散性.,解:,根据定理4可知:,级数收敛;,级数发散;,例6.讨论级数,的敛散性.,定理5.根值审敛法(Cauchy判别法),设,为正项级,则,数,且,时,级数可能收敛也可能发散.,例如,p 级数,说明:,但,级数收敛;,级数发散.,例7.

7、讨论级数,的敛散性.,例8.讨论级数,的敛散性.,二、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数.,定理6.(Leibnitz 判别法),若交错级数满足条件:,则级数,收敛,且其和,其余项满足,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?,发散,收敛,收敛,三、绝对收敛与条件收敛,定义:对任意项级数,若,若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级,收敛,数,为条件收敛.,均为绝对收敛.,例如：,绝对收敛；,则称原级,数,条件收敛.,定理7.绝对收敛的级数一定收敛.,说明：上述逆定理不一定成立。,即,发散,发

8、散,例9.证明下列级数绝对收敛:,证:(1),而,收敛,收敛,因此,绝对收敛.,(2)令,因此,收敛,绝对收敛.,内容小结,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,3.任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,例1、（06，一，三）,若,则级数（）,A、,B、,C、,D、,例2、（05，三）设,若,则下列结论正确的是（）,A、,B、,C、,D、,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性

9、,三、幂级数的运算,幂级数,第十一章,一、函数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数.,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数,称,收敛,发散,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域.,为级数的和函数,并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和,即,在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数,称它,例如,等比级数,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如,级数,级数发散;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如,幂级数

10、,为幂级数的系数.,即是此种情形.,的情形,即,称,收敛,发散,定理 1.(Abel定理),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之,若当,的一切 x,该幂级数也发散.,时该幂级数发散,则对满足不等式,幂级数在(,+)收敛;,由Abel 定理可以看出,中心的区间.,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛;,R=时,幂级数在(R,R)收敛;,(R,R)加上收敛的端点称为收敛域.,R 称为收敛半径，,在R,R,可能收敛也可能发散.,外发散;,在,(R,R)称为收敛区间.,定理2.若,的系数满足,1)当 0 时,2)当

11、0 时,3)当 时,则,的收敛半径为,说明:据此定理,对端点 x=1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x=1,级数为交错级数,收敛;,级数为,发散.,故收敛域为,例1.求幂级数,例2.求下列幂级数的收敛域:,解:(1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x=0 处收敛.,规定:0!=1,例3.,的收敛半径.,解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.,时级数收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,例4.,的收敛域.,解:令,级数变为,当 t=2 时,级数为,此级数发散;,当 t=2 时,级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,三、幂级

12、数的运算,定理3.设幂级数,及,的收敛半径分别为,令,则有:,其中,说明:,两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比,原来两个幂级数的收敛半径小得多.,例如,设,它们的收敛半径均为,但是,其收敛半径只是,定理4 若幂级数,的收敛半径,则其和函,在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与,逐项求积分,运算前后收敛半径相同:,注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.,例5.求级数,的和函数,解:易求出幂级数的收敛半径为 1,及,收敛,因此由和函数的连续性得:,而,及,内容小结,1.求幂级数收敛域的方法,1)对标准型幂级数,先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.,2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复

13、合式),求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质,两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与,也可通过换元化为标准型再求.,乘法运算.,2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;,3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,第十一章,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(在 x 与 x0 之间),称为拉格朗日余项.,则在,若函数,的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式,该邻域内有:,为f(x)的泰勒级数.,则称,当x0=0 时,泰勒级数又称为

14、麦克劳林级数.,1)对此级数,它的收敛域是什么？,2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,定理1.,各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要,条件是,f(x)的泰勒公式中的余项满足:,设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域,内具有,定理2.,若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是,唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;,第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;,第三步 判别在收敛区间(R,R)内,是否为,骤如下

15、:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,例1.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数 x,其余项满足,故,(在0与x 之间),故得级数,当 m=1 时,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:因为,把 x 换成,得,将所给函数展开成 幂级数.,例5.将函数,展开成 x 的幂级数.,解:,从 0 到 x 积分,得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛,例6.将,展成,解:,的幂级数.,

16、例7.将,展成 x1 的幂级数.,解:,(06,一)将,展成关于x的幂级数,内容小结,1.函数的幂级数展开法,(1)直接展开法,利用泰勒公式;,(2)间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,当 m=1 时,第七节,一、三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十一章,傅里叶级数,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动:,(谐波函数),(A为振幅,复杂的周期运动:,令,得函数项级数,为角频率,为初相),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,定理 1.组成三角级数的函数系,证:,同理可证:,正交,上的积

17、分等于 0.,即其中任意两个不同的函数之积在,上的积分不等于 0.,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,二、函数展开成傅里叶级数,定理 2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且,右端级数可逐项积分,则有,叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶系数;,由公式 确定的,的傅里,的傅里叶级数.,称为函数,以,定理3(收敛定理,展开定理),设 f(x)是周期为2的,周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有,x 为间断点,其中,为 f(x)的傅里叶系数.,x

18、为连续点,注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,例1.,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,上的表达式为,解:先求傅里叶系数,将 f(x)展成傅里叶级数.,1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2)傅氏级数的部分和逼近,说明:,f(x)的情况见右图.,例2.,上的表达式为,将 f(x)展成傅里叶级数.,解:,设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在,说明:当,时,级数收敛于,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,定义在,上的函数 f(x)的傅氏级数展开法,其它,例3.将函数,级数.,则,解:将 f(x)延拓成以,展成傅里叶,2为周期的函数 F(x),利用此展式可求

19、出几个特殊的级数的和.,当 x=0 时,f(0)=0,得,说明:,设,已知,又,三、正弦级数和余弦级数,1.周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数,定理4.对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,例4.设,的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解:若不计,周期为 2 的奇函数,因此,n1,根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:,级数的部分和,n2,n3,n4,逼近 f(x)的情况见右图.,n5,例5.将周期函数,展成傅里叶级数,其,中E 为正常数

20、.,解:,是周期为2 的,周期偶函数,因此,2.在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓 F(x),f(x)在 0,上展成,周期延拓 F(x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f(x)在 0,上展成,例6.将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数.,解:先求正弦级数.,去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,注意:,在端点 x=0,级数的和为0,与给定函数,因此得,f(x)=x+1 的值不同.,再求余弦级数.,将,则有,作偶周期延拓,说明:令 x=0 可得,即,内容小结,1.周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意:若,为间断点,则级数收敛于,2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3.在 0,上函数的傅里叶展开法,作奇周期延拓,展开为正弦级数,作偶周期延拓,展开为余弦级数,叶级数展式为,则其中系,提示:,利用“偶倍奇零”,(93 考研),的傅里,为正弦 级数.,推广,1.周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当f(x)为奇 函数时,(偶),(余弦),2.在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,3.傅里叶级数的复数形式,利用欧拉公式导出,