高数定积分概念与性质.ppt

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1、第五章,定积分,积分学,不定积分,定积分,第一节,一、定积分问题举例,二、定积分的定义,三、定积分的近似计算,定积分的概念及性质,四、定积分的性质,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,矩形面积,梯形面积,设函数yf(x)在区间a,b上非负、连续.,由直线xa、xb、y0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.,观察与思考,在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?,怎样求曲边梯形的面积？,解决步骤:,1)分割.,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2)近似.,在

2、第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,3)求和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1)分割.,将它分成,在每个小段上物体经,2)近似.,得,已知速度,n 个小段,过的路程为,3)求和.,4)取极限.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“分割,近似,求和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二、定积分定义(P225),任一种分法,任取,总趋于确定的极限 I,则称此极限 I 为函数,在区间,上的定积分,

3、即,此时称 f(x)在 a,b 上可积.,记作,定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变量用什么字母表示无关,即,定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,可积的充分条件:,取,定理1.,定理2.,且只有有限个间断点,(证明略),例1.利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分,分点为,注,注,注.当n 较大时,此值可作为 的近似值,注 利用,得,两端分别相加,得,即,例2.用定积分表示下列极限:,解:,三、定积分的近似计算,根据定积分定义,可得如下近似计算方法:,将 a,b 分成 n 等份:,1.左矩形公式,例1,2.右矩形公式,推导,3.梯形公式,

4、4.抛物线法公式,抛物线法公式的推导,上作抛物线(如图),则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得：,例3.用梯形公式和抛物线法公式,解:计算yi(见右表),的近似值.,(取 n=10,计算时取5位小数),用梯形公式得,用抛物线法公式得,积分准确值为,计算定积分,四、定积分的性质,(设所列定积分都存在),(k 为常数),证:,=右端,证:当,时,因,在,上可积,所以在分割区间时,可以永远取 c 为分点,于是,当 a,b,c 的相对位置任意时,例如,则有,6.若在 a,b 上,则,证:,推论1.若在 a,b 上,则,推论2.,证:,即,7.设,则,例4.试证:,证:设,即,故,即,8.积分中值定

5、理,则至少存在一点,使,证:,则由性质7 可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,性质7,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,例5.,计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均,速度.,解:已知自由落体速度为,故所求平均速度,内容小结,1.定积分的定义,乘积和式的极限,2.定积分的性质,3.积分中值定理,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平均值公式,近似计算,抛物线法公式,思考与练习,1.用定积分表示下述极限:,解:,或,思考:,如何用定积分表示下述极限,提示:,极限为 0!,2.P235 题3,3.P236 题13(2),(4),题13(4)解:,设,则,即,作业,P235*2(2);6;7;10(3),(4);12(3);13(1),(5),第二节,