中南大学随机过程第一章.ppt

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1、2023/8/30,胡朝明,531,上一讲内容回顾,概率空间随机试验、样本空间、随机事件体、概率、概率空间、概率的性质,2023/8/30,胡朝明,532,本讲主要内容,概率空间条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式与贝叶斯公式随机变量及其分布程随机变量、分布函数离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度常见的随机变量及其分布n维随机变量随机变量函数的分布,2023/8/30,胡朝明,533,四、条件概率,设概率空间(,F,P)，AF，BF，且P(A)0，在事件A已经发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为：,给定概率空间(,F,P)，AF，且P(B)0，对任意BF有P(B|A)

2、对应，则条件概率P(B|A)是(,F)上的概率，记P(B|A)PA，则(,F,PA)也是一个概率空间，称为条件概率空间。,2023/8/30,胡朝明,534,五、乘法公式,设概率空间(,F,P)，如果A,BF，且P(AB)0，则下述乘法公式成立：P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|B),推广：,设概率空间(,F,P)，如果AiF，i=1,2,n且P(A1A2An)0，则下述推广的乘法公式成立：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),2023/8/30,胡朝明,535,六、事件的独立性,如果事件A,BF，满足P(AB)P(A)P(B

3、)，则称事件A与B相互独立。如果事件A1,A2,AnF，且对任意s(2sn)和任意的1i1i2isn，有P(Ai1Ai2Ais)P(Ai1)P(Ai2)P(Ais)，则称事件事件A1,A2,An相互独立。,2023/8/30,胡朝明,536,六、随机事件独立性的性质,A与B相互独立A与B相互独立A与B相互独立A与B相互独立A与B相互独立P(B|A)P(B)(P(A)0)P(A|B)P(A)(P(B)0)P(B|A)P(B|A)(0P(A)1)设A1,A2,An相互独立，若将其中任意m个(1mn)事件换成它们的逆事件，则所得的n个事件仍然相互独立。设A1,A2,An相互独立，则,2023/8/3

4、0,胡朝明,537,七、全概率公式与贝叶斯公式,设事件组B1,B2,Bn两两互不相容，即BiBj(1ijn)，且，P(Bi)0，i=1,2,n，则对任意事件A，有,全概率公式：,贝叶斯公式：,j=1,2,n。,2023/8/30,胡朝明,538,1.2 随机变量及其分布,一、随机变量设(,F,P)为概率空间，如果定义样本空间上的一个单值实函数XX()，满足：X()xF-x+则称X()为随机变量。随机变量缩写为R.V.。,二、分布函数 设XX()是概率空间(,F,P)上的随机变量，对任意实数x，定义函数F(x)PXx-x+称为R.V.X的概率分布函数，简称分布函数。,2023/8/30,胡朝明,

5、539,分布函数的性质,0F(X)1；,F(x)是单调不减函数，即对任意x1x2，有F(x1)F(x2)；F(x)是左连续函数，即对任意x有F(x-0)F(x)。,2023/8/30,胡朝明,5310,三、离散型随机变量及其分布律,若随机变量X至多只取可列无穷多个数值：x1,x2,xn,，令pkPXxk，它满足：(1)pk0，(2)1，则称X为离散型随机变量，并称PXxkpk，k=1,2,为X的分布律或概率分布。离散型X.V.X的分布函数：,它是左连续单调不减的阶梯函数，在xxk处有第一类跳跃型间断点，其跳跃度为pk。,2023/8/30,胡朝明,5311,离散型R.V.X的表示,分布律(函数

6、形式)：,分布函数：,其中(x)为单位脉冲函数，(x)为单位阶跃函数，定义为：,2023/8/30,胡朝明,5312,例,设R.V.X的分布律为：,求X的分布律和分布函数。,解：,2023/8/30,胡朝明,5313,四、连续型随机变量,若存在非负可积函数f(x)，对任意实数x，使得R.V.X的分布函数满足：,则称X为连续型随机变量，称f(x)为连续型随机变量的概率密度函数，简称概率密度。,2023/8/30,胡朝明,5314,概率密度函数的性质,f(x)0；,2),如果一个函数f(x)具有性质1)、2)，则它一定是某个R.V.X的概率密度。,在f(x)的连续点处，F(x)f(x)；连续型R.

7、V.X取某个值的概率为0，即PX=x0，x(-,+)；连续型R.V.X落在区间的概率，与区间的开、闭无关，即PaXbPaXbPaXbPaXbF(b)F(a),故对连续型R.V.X而言，PXxPXxF(x).,2023/8/30,胡朝明,5315,例,已知R.V.X的概率密度,求：1)分布函数F(x)；2)概率PX1。,解 1),2),注 PX1也可直接由分布函数得出：,2023/8/30,胡朝明,5316,五、常见的随机变量及其分布,分布(两点分布)如果R.V.X的分布律为：,0p1，p+q=1,则称R.V.X服从分布，记为X分布或XB(0,1)。,一个随机试验仅有两种结果，A和，定义随机变量

8、,P(A)p，P()q1-p，即X分布。,2023/8/30,胡朝明,5317,2.贝努里试验、二项分布,如果随机试验E满足：将一个试验在相同条件下重复进行n次，各次试验仅有两个结果A和，事件A的概率在各次试验中保持不变，P(A)p，P()1-p；各次试验的结果互不影响，则称随机试验E为n次贝努里试验。,定理 在n次贝努里试验E中，事件A出现的次数X的分布律为：,如果随机变量X的分布律为,0p1，p+q=1，k=0,1,2,n，则称X服从参数为n,p的二项分布，记为XB(n,p)。,2023/8/30,胡朝明,5318,3.泊松(S.D.Poisson)分布,如果R.V.X的分布律为,则称R.

9、V.X服从参数为的泊松分布，记为X()。,泊松分布在理论和应用上都很重要，例如，在单位时间内，某电话交换台接到的电话呼叫次数；到达某服务台的顾客数；某放射源放射的粒子数；某自动控制系统损坏的元件个数；等等，都服从泊松分布。,2023/8/30,胡朝明,5319,4.均匀分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b)，X的分布函数为,2023/8/30,胡朝明,5320,5.(负)指数分布(寿命分布),如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从参数为的（负）指数分布(寿命分布)，X的分布函数为,2023/8/30,胡朝明,5321,6.正态

10、分布(高斯分布),如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从参数为和2的正态分布(高斯分布)，记为XN(,2)，X的分布函数为,特别地，=0,2=1时的正态分布称为标准正态分布，记为R.V.XN(0,1)，其概率密度和分布函数特别记为：,2023/8/30,胡朝明,5322,7.-分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从参数为,的-分布，记为X(,)。,这里，-函数定义为,可证得,(+1)()，(n+1)n!，(1)1。,2023/8/30,胡朝明,5323,8.2-分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从自由度为n的2-分布，记为X2(n)，显然，,2023/8/

11、30,胡朝明,5324,9.k阶爱尔朗(Erlang)分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从参数为（0）的k阶爱尔朗分布，记为XEk，其分布函数为,2023/8/30,胡朝明,5325,六、二维随机变量,如果X和Y是定义在同一概率空间(,F,P)上的两个随机变量，则称(X,Y)为二维随机变量，记为二维R.V.(X,Y)。,设(X,Y)是二维随机变量，定义函数F(x,y)PXx,Yy，-x+，-y+为R.V.(X,Y)的二维联合分布函数。,2023/8/30,胡朝明,5326,二维联合分布的性质,0F(x,y)1；F(+,+)1；F(-,y)F(x,-)F(-,-)0；F(x,y)

12、对每个变量都是单调不减函数；F(x,y)对每个变量都是左连续函数；对任意x1x2，y1y2，有F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0。,2023/8/30,胡朝明,5327,离散型二维随机变量,如果二维若随机变量(X,Y)至多只取可列无穷多对数值(xi,yj)，i,j=1,2,，令pijPXxi,Yyj，它满足：(1)pij0，(2)1，则称(X,Y)为离散型二维随机变量。称 pijPXxi,Yyj，i,j=1,2,为(X,Y)的联合分布律。称,为(X,Y)的联合分布函数。,2023/8/30,胡朝明,5328,边缘分布律、条件分布律,为R.V.X的边缘分布律。称,

13、为R.V.Y的边缘分布律。称,为在已知Y=yj的条件下，R.V.X的条件分布律。称,为在已知X=xi的条件下，R.V.Y的条件分布律。,如果pijpi.p.j，i,j=1,2,，则称R.V.X与Y相互独立,称,2023/8/30,胡朝明,5329,例,袋中有3个白球和2个红球。分别a)不放回、b)有放回地逐一摸球，共摸两次，分别用X和Y表示第一次、第二次摸到的红球数。试分a)、b)两种情形，求(X,Y)的联合分布率、联合分布函数、边缘分布律、条件分布律，并讨论X与Y是否独立。,解：a)不放回摸球。(X,Y)的联合分布律、边缘分布律,因pijpi.p.j，X与Y不相互独立,2023/8/30,胡

14、朝明,5330,例(续),(X,Y)的联合分布函数，,条件分布律,2023/8/30,胡朝明,5331,例(续),b)有放回摸球。(X,Y)的联合分布率、边缘分布率,(X,Y)的联合分布函数,因pijpi.p.j(i,j=0,1)，X与Y相互独立,2023/8/30,胡朝明,5332,连续型二维随机变量,若存在非负可积函数f(x,y)，使得二维R.V.(X,Y)的联合分布函数满足：,则称(X,Y)为连续型二维随机变量，并称f(x,y)为连续型二维随机变量的联合概率密度函数，简称联合概率密度。,2023/8/30,胡朝明,5333,联合概率密度的性质,1）f(x,y)0；,如果一个函数f(x,y

15、)具有性质1)、2)，则它一定是某个二维R.V.(X,Y)的概率密度。,3）在f(x,y)的连续点(x,y)处，有,4）,2）,2023/8/30,胡朝明,5334,边缘分布函数,设二维R.V.(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，FX(x)F(x,+)，-x+称为R.V.X的边缘分布函数。FY(y)F(+,y)，-y+称为R.V.Y的边缘分布函数。,设二维R.V.(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，-x+称为R.V.X的边缘概率密度函数。，-y+称为R.V.Y的边缘概率密度函数。,2023/8/30,胡朝明,5335,条件概率密度与条件分布函数,fY|X(y|x)f(x,y)fX(x)

16、，-x+,-y+称为已知X=x的条件下，R.V.Y的条件概率密度。fX|Y(x|y)f(x,y)fY(y)，-x+,-y+称为已知Y=y的条件下，R.V.X的条件概率密度。,称为已知X=x的条件下，R.V.Y的条件分布函数。,称为已知Y=y的条件下，R.V.X的条件分布函数。,2023/8/30,胡朝明,5336,相互独立,如果二维R.V.(X,Y)对任意的x,y有PXx,YyPXxPYy-x+，-y+等价地有F(x,y)FX(x)FY(y)-x+，-y+则称R.V.X与Y相互独立。,显然，对连续型二维R.V.(X,Y)，X与Y独立的充分必要条件是对连续点有f(x,y)fX(x)fY(y)-x

17、+，-y+,2023/8/30,胡朝明,5337,例,已知R.V.(X,Y)服从二维指数分布，其联合密度为,其中，、是大于零的常数，求：联合分布函数、边缘分布函数、边缘概率密度、条件概率密度，并讨论X与Y的独立性。,解：R.V.(X,Y)的联合分布函数为,2023/8/30,胡朝明,5338,例（续）,边缘分布函数为,边缘概率密度为,2023/8/30,胡朝明,5339,例（续）,由于f(x,y)fX(x)fY(y)，(x,y)R2，所以，X与Y相互独立。,条件概率密度为,2023/8/30,胡朝明,5340,七、n维随机变量,如果X1,X2,Xn是定义在同一概率空间(,F,P)上的n个随机变

18、量，则称(X1,X2,Xn)为二维随机变量，记为n维R.V.(X1,X2,Xn)。,n维联合分布函数 k维边缘分布函数 独立,推广：,2023/8/30,胡朝明,5341,八、随机变量函数的分布,设(X1,X2,Xn)为n维随机变量，若已知其联合分布，又设有k个X1,X2,Xn的函数,其中gi(.)(i=1,2,k)均为n元连续函数，讨论(Y1,Y2,Yk)的联合分布一般方法：n重求和或n重积分。,2023/8/30,胡朝明,5342,定理,设连续型R.V.X的概率密度函数为f(x)，xR，yg(x)是连续函数，则Yg(X)是连续型R.V.，其分布函数为,R.V.Y的概率密度为fY(y)FY(

19、y)，yR。,2023/8/30,胡朝明,5343,定理,设连续型R.V.(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)，g(x,y)是连续函数，则Zg(X,Y)是连续型一维R.V.，Z的分布函数为,概率密度函数为,2023/8/30,胡朝明,5344,定理,设R.V.(X,Y)的联合概率密度函数为fX,Y(x,y)，如果u g1(x,y)和v g2(x,y)是连续函数，且满足下列条件：,存在唯一的反函数,有连续的一阶偏导数；,变换行列式（雅可比行列式）,则二维R.V.(U,V)的联合概率密度为fU,V(u,v)=fX,Yh1(u,v),h2(u,v)|J|。,2023/8/30,胡朝明,5345

20、,例,已知离散型R.V.(X,Y)的联合概率分布如右表所示，求(1)Z1XY；(2)Z2max(X,Y)的分布律。,解：Z1的分布律和Z2的分布律如下：,X,Y,Pij,2023/8/30,胡朝明,5346,例,设XN(0,1)，求y=x2的概率密度函数fY(y)。,解：由y=x2，有x1=-，x2=，y0，故,2023/8/30,胡朝明,5347,例,设r.v.XN(0,1)，YN(0,1)且相互独立，UX+Y，VX-Y，求：r.v.(U,V)的联合概率密度fU,V(u,v)；r.v.U与V是否独立？,解：1.r.v.(X,Y)的联合概率密度为,2023/8/30,胡朝明,5348,例(续)

21、,由 解得反函数,从而r.v.(U,V)的联合概率密度为,变换行列式,2023/8/30,胡朝明,5349,例(续),2.U,V的边缘概率密度为,由于fUV(u,v)fU(u).fV(v)(u,v)R2故UX+Y，VX-Y相互独立。,2023/8/30,胡朝明,5350,本讲主要内容,概率空间条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式与贝叶斯公式随机变量及其分布程随机变量、分布函数离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度常见的随机变量及其分布n维随机变量随机变量函数的分布,2023/8/30,胡朝明,5351,下一讲内容预告,随机变量的数字特征数学期望方差k阶矩协方差条件数学期望随机变量的特征函数,