第11讲二重积分及其计算.ppt

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1、第一节 二重积分,一.二重积分的定义,二.二重积分的性质,四.二重积分的计算,三.二重积分的几何意义,对 D 进行分割：,小曲顶柱体,曲顶柱体的体积,引例1,(底面积),(高),小曲顶柱体的体积,.,.,小平顶柱体体积为：,近似代替,曲顶柱体的体积,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,非均匀分布时平面薄板质量问题,引例2,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,非均匀分布时平面薄板质量问题,比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量,小曲顶柱体,平面薄板小块,(底),(高),(密度),(面积),(面积),(小块),

2、一.二重积分的定义,两个无关,二重积分定义的几点说明：,二.二重积分的性质,性质 2,性质 3,性质 1,推论1,推论2,性质 4,性质 6,性质 5,性质 7,解,例1,解,例2,三.二重积分的几何意义,曲顶柱体的体积,.,曲顶柱体的体积,.,曲顶柱体的体积,综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法,得到,就是说,二重积分可以通过两次定积分来计算.,四.二重积分的计算,1.直角坐标系下的二重积分计算,2.二重积分的换元法,3.极坐标系下二重积分的计算,1.直角坐标系下的二重积分计算,(1).x型区域上的二重积分计算,(2).y型区域上的二重积分计算,(3).二重积分的换序问题,（1）x-型区域上

3、的二重积分计算,解,(另一点舍去),例3,解,例4,练习,(2).y-型区域上的二重积分计算,解,例5,(3).二重积分的换序问题,解,例6,解,例7,证,例8,例9,解,练,解,2.二重积分的换元法,注意：,例10,解,练习,解,3.极坐标系下二重积分的计算,(1)极点位于积分区域外,(2)极点位于积分区域边界上,(3)极点位于积分区域内部,例12,解,例13,证,例14,解,练习,解,练习 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积,解,由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍,在极坐标系中D可表示为,练习 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积,解,由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍,在极坐标系中D可表示为,