重积分在直角坐标系下的计算.ppt

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1、二重积分在直角坐标系下的计算,二、典型例题,一、二重积分计算公式,三、利用对称性简化二重积分的计算,特点:穿过D内部且垂直于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.,一、二重积分计算公式,应用计算“平行截面面积为已知的立体体积”的方法,特点:穿过D内部且垂直于y轴的直线与D的边界相交不多于两点.,若区域如图，,则必须分割.,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,例 1 计算,解,解 法一 先对y后对x积分,例 2 计算,法二 先对x后对y积分,例3,解,由于 的原函数不能用初等函数 表示，故不能先对y积分,例4 计算,解,注意：在例2中，法1比法2简便，在例4中，由于被积 函数中含有，只能先对x积

2、分.因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。,原积分=,例5 作出积分域，并改变积分次序：,解,积分区域如图,(2),解,原式,(3),解,例6,解,例7,例7,解,两曲线的交点,例8,例9,解,例10,解,曲面围成的空间立体形状如下.,例11,解,例12,解,设这两个圆柱面的方程分别为,所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体,如图,从而所求立体的体积为,它的底为,使用对称性时应注意,1.积分区域关于坐标轴的对称性.,2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.,只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.,三、利用对称性简化二重积分的计算,二重积分对称性的应用,奇偶对称,二重积分计算的简化,二重积分计算的简化,二重积分计算的简化,二重积分计算的简化,例12,解,