运筹学第五章存储论.ppt

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1、第五章存储论,教学大纲,一、基本要求：1、熟练掌握存储模型的基本概念；2、熟练掌握四种基本确定型存储模型的计算；3、熟练掌握有批发折扣价的经济批量模型；4、掌握随机性存储模型：二、重点：2、3三、难点：3,一、存储问题的提出,作为运筹学的一个分支，存储论体现了管理科学对存储问题的基本处理思想，应用领域十分广泛。现实中，我们常遇到许多有关存储的问题。习惯上，人们总认为物质的储备越多越好，而事实却不然。由于现实问题的复杂性，我们在许多问题上不得不否定“多多益善”的观点。因为在存储的量、存放的时间等具体事项上，处处存在合理性问题。所谓合理，归根到底还是存储方案的经济性（广义的）。现实中有关存储的实例

2、很多。,1、工厂原材料库存问题 工厂生产所需原材料如果没有一定存储，必然造成停工待料；但如果存储过多，则不仅资金积压，还要支付一笔保管费，有些物资还可能因意外事故引起变质或损坏，从而带来更大损失。因而原材料存储在保证生产连续性前提下以少为宜，即存在一个“经济量”。2、商店商品库存问题 商店的商品库存与工厂原材料库存相类似。如果库存不足，会发生缺货现象，造成机会损失；如果库存过大，则造成商品积压，影响流动资金周转并要支付保管费，假如商品最终因此削价处理，损失可能会很大。因此商品库存应该是一个“经济量”。,3、水库蓄水量问题 水库蓄主要有两个作用，发电与防洪。水量不足，则会影响下一季的灌溉与发电；

3、蓄水过多，如果下一季遇大雨则会对周边的安全构成威胁。水库蓄水存在一个合理的量。（浙江新安江水库、安吉天荒坪水库）4、报童问题上述一存储量有关的问题需要人们作出抉择。在长期实践中，人们找到了一些规律，积累了一定的经验。但将这类问题作为科学来研究却是近几十年的事。专门研究这类有关存储问题的科学已经构成了运筹学的一个分支，即存储论。,二、存储模型的基本概念,1、存储工厂为了保证生产的连续性，必须储存一些原材料，这些储存物统称存储（Invetory），存储量用Q表示。生产时从存储中取出一定数量的原材料并消耗掉，使存储减少；生产不断进行，存储不断减少，到一定时刻必须对存储给予补充，否则存储用完，生产就不

4、能继续了。一般地，存储因需求而减少，因补充而增加。,2、需求R是存储的输出，记作R。根据需求的时间特征，可分为：连续性需求：随时间（均匀地）发生间断性需求：需求瞬时发生，存贮跳跃式变化根据需求的数量特征，可分为：确定性需求：需求发生的时间与数量确定，如工厂生产线上每天的领料随机性需求：如商店出售的商品，可能一天售出10件、8件、或未售出,3、补充Q是存储的输入；主要有两种形式瞬时补充通过外购而一次性补充。有时，从订货到货物入库需要一段时间，叫做“订货提前期”。连续补充通过自行组织生产而逐渐补充。这样，从存储物生产开始，存储逐日增加，至合适量为止，补充速度记作p。,4、费用C费用是存储策略优劣的

5、评价标准。主要包括：存储费c1：包括使用仓库、保管货物以及货物损坏变质等引起的各项支出，单位量被记作c1；缺货费c2：当存储未能补充时引起的损失，如失去销售机会的损失、停工待料的损失以及未能按期履约而缴纳的补偿金、罚金等，单位量记作c2；,订货费c3：包含两个项目，一项是订购费用（固定费用），如订货时发生的手续费、函电往来费用和差旅费等，它与订货次数有关，而与订货数量无关，记作c3；另一项是货物成本（购入成本），与订货数量有关，是变动费用，如货物单价、运价等，记作K；于是整个订货费为c3+KQ；或生产费c3：当补充是以自行生产方式进行时发生，与订货费相似，也有两个项目，一项是固定费用（装配费或

6、准备费），记作c3，另一项是是变动费用，如货物单位成本，记作K，整个生产费为c3+KQ。,5、存储策略 存储论要解决的问题是：如何用最低的费用来解决存储、需求与补充之间的矛盾，具体地说，就是：多少时间补充一次？T每次补充量应为多少？Q补充的最低费用为多少？C决定补充周期和补充量的策略称为“存储策略”。衡量存储策略优劣的标准是平均单位时间费用。,企业常见的存储策略有以下三种类型：（1）T0循环策略：每隔T0时间补充存量Q0（或s0）；（2）（s，S）策略：每当存储量xS时不补充，而当xS时即补充，补充量Q=S-x（或补充S）；（3）（t，s，S）混合策略：每经时间t检查存储量x（即盘点），当存储

7、量xS时不补充，而当xS时即补充，补充量Q=S-x（或补充S）。本文主要讨论第（1）种策略。,6、存储论的处理方法 确定存储策略时，首先把实际问题抽象为数学模型。在建立模型的过程中，对一些复杂条件尽可能加以简化，得出较为明确的数量结论。这一结论要经过检验，如果与实际存在较大差距，则要重新研究加以修正。广义的存储系统应包括三个主要内容：存储状态、补充和需求。建立模型和求解的三个环节，依据上述三个内容，分别为存储状态、费用函数和经济批量（或经济订货周期）算式。,存储模型的类别总体上分为两大类（1）确定性存储模型：相关参数以值均为定值；（2）随机性存储模型：参数中包含随机量。两大类模型中，按其他标准

8、又可以各自分成若干类别。存储方案的一般评价标准一个好的存储策略应满足：既要使平均总费用最小，又要能满足需求。,三、确定性存储模型,主要研究连续盘点、均匀需求的情况，即需求速度是均匀和确定的，补充采取T0循环策略的存储模型，具体包括：瞬时补充，不允许缺货逐渐补充，不允许缺货瞬时补充，允许缺货逐渐补充，允许缺货有批发折扣价的情况多阶段存储（往往采用DP方法，此处略去）,1、模型一：瞬时补充，不允许缺货,也称“经典经济批量模型”，是最简单、最典型的存储模型。1、存储状态为简化模型，先对各种条件作如下假设：（1）缺货费c2无穷大；（2）需求是均匀的，速度为常数R，每隔 t 时间补充一次；（3）当存储降

9、为零时，可以立即得到补充（无拖后时间）；（4）每次订货时不变，订购费c3为常数，货物单价K；（5）单位存储费不变，即c1为常数。,某商品单位成本K5元，每天每件保管费c1为成本的0.1%，每次订购费c310元。已知对该商品的需求R100件/天，不允许缺货，假设该商品的进货可以随时实现。问：（1）30天进一次货还是10天进一次货更合算？（优劣判断指标）,解K5元/件，c10.005元/件天，c310元/次，R100 件/天（1）T130天，求总费用需求量Q1 RT1100件/天30天 3000件订货费cT110元保管费cT11/2RT12 c1 225元货物成本KT1KQ115000元总费用CT

10、110+225+1500015235元T110天，求总费用需求量Q2 RT2100件/天10天 1000件订货费cT210元保管费cT21/2RT22 c1 25元货物成本KT2KQ25000元总费用CT210+25+50005035元,例1,哪种策略更合算？,结论1：判断存储策略优劣的指标应该是单位时间总费用。,结论2：判断存储策略优劣时，商品的单位成本K可以不考虑。,备注：R100 件/天，t30天，QRt3000件10天的总存储量：第 1 天：存储量从3000减少到2900，则这天的平均存储量2950件；第 2 天：平均存储量2850件；3 2750件；.第30天 50件。,总存储量（2

11、95050）30/245000件,某商品单位成本K5元，每天每件保管费c1为成本的0.1%，每次订购费c310元。已知对该商品的需求R100件/天，不允许缺货，假设该商品的进货可以随时实现。问：（2）一个进货周期 t 的单位时间费用是多少？（费用函数）,解K5元/件，c10.005元/件天，c310元/次，R100 件/天（1）T130天，求总费用需求量Q1 RT1100件/天30天 3000件订货费cT110元保管费cT11/2RT12 c1 225元货物成本KT1KQ115000元总费用C10+225+15000=15235元,例1,（2）Tt 天，需求量Qt Rt（件/t天）订货费c3（

12、元/t天）保管费1/2Rt2 c1（元/t天）货物成本KRt（元/t天）,由此得t时间内平均总费用（单位时间费用）：,C(t),某商品单位成本K5元，每天每件保管费c1为成本的0.1%，每次订购费c310元。已知对该商品的需求R100件/天，不允许缺货，假设该商品的进货可以随时实现。问：（3）究竟多少天进一次货最合算？（最优策略，经济周期）,例1,解（2）t时间内平均总费用（单位时间费用）的费用函数：,C(t),（3）求费用C(t)最小值，,0,令,某商品单位成本K5元，每天每件保管费c1为成本的0.1%，每次订购费c310元。已知对该商品的需求R100件/天，不允许缺货，假设该商品的进货可以

13、随时实现。问：（4）最优策略下，一次的进货量是多少？（经济批量）（5）最优策略下，单位时间总费用是多少？（最小费用）,例1,解,（4）,Q0T0R632（件）,C03.16（元/天）,（5）,2、费用函数,t 时间内需求量（订货量）：,Q=Rt；,每次订货发生费用：,c3+KRt，,则在t 时间内单位时间订货平均费用为：,t 时间的平均存储量为：,已知单位存储费c1，则t时间内所需平均存储费用为：,由此得到t时间内平均总费用（单位时间费用）,C(t),这就是著名的“经济订购量”（Economic Ordering Quantity），简称EOQ，亦称“经济批量”（Economic Lot Si

14、ze）。,3、经济订购量（或称“经济批量”）与经济订货周期,求费用C(t)最小值，令,得t*=T0=,，即每隔T0时间订一次货可以使费用最小；,订货批量Q0=T0R=,0,由于Q0及T0与K无关，因此该项费用常被当作常数，略去不加以讨论与计算，今后若无特殊需要，就不必再考虑它了，于是费用函数可以表示为：,T0,C(t),可以用图表示为：,C(t),将T0（或Q0）代入费用函数，可得到最小（单位时间）费用：,C0,由于Q0及T0与K无关，因此该项费用常被当作常数，略去不加以讨论与计算，今后若无特殊需要，就不必再考虑它了，于是费用函数可以表示为：,T0,C(t),即：存储费订货费,C(t),将T0

15、（或Q0）代入费用函数，可得到最小（单位时间）费用：,C0,从图中可知，当单位费用取极小值时，有：,某注塑车间每年需原料36000吨，需求均匀；每月每吨需存储费5.3元，每次订购发生费用2500元。目前该车间每月订购原料一次，每次订购3000吨。问（1）如何改进订购方案？（2）改进后一年总费用可比现在节省多少元？（3）改进后一个月的订购总量如何变化？,解（1）经济订购方案：R 36000吨/年3000吨/月，c15.3元/吨月，c32500元/次,T00.56月16.8天,Q0T0R1682（吨）,C08916（元/月）,（2）现行方案：每月总费用：25005.3*3000/210450元/月

16、年总费用：1045012125400元/年可节省：12540010695518445元（3）不变，Q3000吨,一年总费用：891612106995元,例,2、模型二：逐渐补充，不允许缺货,Q,O,斜率p-R,斜率-R,T,t,Tp,S,1、存储状态（1）缺货费c2无穷大；（2）需求是均匀的，速度为常数R，每隔t 时间补充一次；（4）每次订货时不变，订购费c3为常数，货物单价K；（5）单位存储费不变，即c1为常数。（3*）补充是由生产该种物资来实现的。设生产批量Q，S为最大存储量，所需生产时间Tp，已知生产速度为p，pR；,某商品单位成本K5元，每天每件保管费c1为成本的0.1%。已知对该商品

17、的需求R100件/天，不允许缺货，假设该商品的补充是通过生产来实现的，每次生产准备费用c310元，生产速度p500件/天。问（1）每10天组织一次生产的总费用是多少？,解K5元/件，c10.005元/件天，c310元/次，R100 件/天，较模型一增加 p500 件/天,例2,（1）订货费c3 10（元/10天）（2）货物成本KRt 5000（元）（3）保管费：（a）10天里的生产量需求量TppRt生产时间Tp Rt/p 2天（b）10天的总存储量：4000件总存储费用：4000 c120元,（4）10天总费用C105000205030元,续（2）每t天组织一次生产的单位时间费用是 多少（费用

18、函数）？,解K5元/件，c10.005元/件天，c310元/次，R100 件/天，p500 件/天,例2,（1）订货费c3 10（元/t天）,C(t)c1()Rt,（2）保管费：（a）t天里的生产量需求量TppRt生产时间Tp Rt/p（b）t天的总存储量三角形面积,t 时间内的平均存储量为(p-R)Tp,相应的单位存储费用为 c1(p-R)Tp,续（3）求经济周期、经济批量与最小费用。,令 c1 R()0,经济周期T0,生产批量Q0=RT0,最小费用C0,续（4）与模型一相比，计算公式有何变化？,与模型一相比，式中多了 因子，,当补充速度很大（能瞬时补充），即t时，1，,模型二就变成了模型一

19、。可见，模型一是模型二在补充速度极大时的特例。,例2,（3）,（4）,在0，Tp区间内，存储以（p-R）的速度增加，在Tp，t区间内，存储以速度R减少，显然，t 时间内的总需求量都是Tp时间生产的，,即pTp=Rt，于是Tp,t 时间内的平均存储量为(p-R)Tp,相应的存储费用为 c1(p-R)Tpt,t 时间内组织了一次生产，生产准备费c3,于是，t时间内的总费用为 c1(p-R)Tpt+c3=c1(p-R)t2+c3,则t时间总平均费用（单位时间费用）可以表示为：,C(t)=c1（p-R）t2c3 c1()Rt,令 c1 R()0,经济周期T0,生产批量Q0=RT0,最小费用C0,与模型

20、一相比，式中多了 因子，,当补充速度很大（能瞬时补充），即t时，1，,模型二就变成了模型一。可见，模型一是模型二在补充速度极大时的特例。,3、模型三：瞬时补充，允许缺货,前面的两种模型是在不允许缺货的前提下讨论的，因此完全没有考虑缺货费。由于允许缺货，存储降至零后可以再等一段时间才订货，这意味着企业可以少付几次订货固定费用，少付一些存储费用；一般地，当顾客遇到缺货时不受损失或者损失很小，而企业除了支付少量缺货费外也没有其他损失时，适当发生缺货可能更为有利。,存储状态 在模型一的假设前提下，即需求速度R，立即补充，每次订购固定费用c3，单位存储费c1；现在新增单位缺货费c2。,设周期初存储量为S

21、，可以满足t1时间的需求，则SRt1，,有t1，t1，t区间缺货，t 时间总缺货R(t-t1),费用函数：,因此，一个周期的平均总费用:,t1时间内的平均存储量为,在(t-t1)时间的存储量为零，平均缺货量 R(t-t1),订购费c3,在t 时间内所需存储费c1t1c1,在t 时间内的缺货费c2 R(t-t1)(t-t1)c2,C(t，S)c3,C(t，S)c3,费用函数：,利用多元函数求极值的方法，求C(t，S)极小值,令 0，,R0，t0，有 c1Sc2(Rt-S)0,S Rt（）,令 c3 c2（RtS）0,即 c3RRtc2（RtS）0,将（*）式代入上式，消去S：,-c3R-(Rt)

22、2-Rt-Rt+Rtc2(Rt-Rt)=0,经济批量Q0=RT0=,经济订购周期T0=,最小费用C0=,与模型一相比，模型三的两次订货时间间隔延长了，尽管增加了缺货费的支出，总平均费用还是减少了。,当c2，1，本模型转变为模型一,可得：,4、模型四：逐渐补充，允许缺货,存储状态需求速度R，补充速度p，pR单位存储费c1，单位缺货费c2，生产准备费c3,经济批量Q0=RT0=,经济订购周期T0=,最小费用C0=,当c2，则与模型二相同；当 p，则与模型三相同；当c2，p，则与模型一相同。,公式推导过程略,RT0,RT0,RT0,RT0,5、有批发折扣价的经济批量模型,前面的四种模型我们都是把货物

23、成本作为不变的常数处理的，根本原因是依照它们的假设，货物成本对订货周期及订购量不产生影响，因此可以不加以讨论。现在，如果存在与订购数量相关的折扣价，货物成本因订购数量而改变，所以，在计算最小费用时必须将各折扣价下的货物成本考虑进去。以下以模型一为例加以分析。设：其它条件与模型一相同，但货物单价与订货量有关，具体如下：0 QS1单价K0S1QS2单价K1S2QS3单价K2SnQ单价Kn 且有K0K1K2Kn,例,生产车间每周需要零件32箱，存储费每箱每周1元，每次订购费25元，不允许缺货。零件进货价格为：订货量1箱 9箱时，每箱12元；订货量10箱49箱时，每箱10元；订货量50箱99箱时，每箱

24、9.5元；订货量99箱以上时，每箱9元。求最优存储策略。,C(t),K12,K10,K9.5,K9,不计货物成本K,40*（经济批量）,C(1),C(3),C0,C(4),10,50,100,C(t),解已知：R32箱/周，C11元/箱周，C325元/次，1、不考虑折扣价，计算经济批量Q0,Q0 40箱,2、不考虑折扣价，计算经济批量Q0下的最小费用C0（含货款）,C0=+RKi360元/周,3、对于小于经济批量的折扣价不考虑经济批量Q040箱，“订19箱，每箱12元”的策略不考虑。,4、对于大于经济批量的折扣价，,分别计算它们的最小费用：C(t),（1）订货量5099箱，每箱9.5元取Q50

25、（从费用函数图上，离经济批量Q040箱近的点订购费用更小）QRt tQ/R50/321.5625周,C(3)345元,（2）订货量99箱以上，每箱9元Q100箱，tQ/R100/32,C(4)346元,5、取C0、C(3)、C(4)中费用最小值最优订购批量Q*50箱，最小费用C*345元/周，订购周期T*1.5625周,四、随机性存储模型,模型五：（报童问题）不考虑存储费的一次性订购模型,例5-1某商店拟在新年期间出售一批日历画片，每售出1百张可盈利700元。如果在新年期间无法售出，必须削价处理，作为一般画片出售，由于削价，一定可以售完，但为此每1百张将亏损400元。根据以往经验，市场需求量及

26、其概率如下表：,已知每年只有一次订货机会，问：应订购日历画片多少百张才能使获利的期望值最大？,解（1）、设每百张可盈利为k，k700 设每百张可亏损为h，h400,（3）、计算获利的期望值：当市场需求R0时，获利(-400)3+7000=-1200元当市场需求R1时，获利(-400)2+7001=-100元当市场需求R2时，获利(-400)1+7002=1000元当市场需求R3时，获利(-400)0+7003=2100元当市场需求R4时，获利(-400)0+7003=2100元当市场需求R5时，获利(-400)0+7003=2100元则订购量为3百张时获利期望值（元）E（3）(-1200)0.

27、05+(-100)0.10+10000.25+21000.35+21000.15+21000.101440（元）,计算0.636363.63%,（2）、求,（从r0开始累加其概率，刚刚超过该比例的Q即为最优解）Q*3，,1、某建筑工地每月需用水泥800t，每t定价2000元，不可缺货。设每t每月保管费率为货物单价的0.2%，每次订购费为300元，求最佳订购批量、经济周期与最小费用。,Q0T0R346吨,T00.433月13天,C0 1386元/月,一、表示什么含义？包括哪些费用？,二、其中存储费多少？订购费多少？,三、存储费订购费？巧合？一定？,解R800吨/月，K2000元/吨，c12000

28、0.2%4元/吨月，c3300元/次,四、一个经济周期内的存储费是多少？,习题1,2、解R150000件/年，c10.2元/件年，（1）c31000元/次,Q0T0R38730件,T00.2582年94天,C0 7746元/年,（2）c3100元/次,Q0T0R12247件,T00.08164年29.8天,C0 2449元/年,习题2,启示：在R与c1相同的情况下，订购费用c3越大，则：（1）每次订货时间相隔越？（2）每次订货量应该越？（3）单位时间总费用越？,3、解p1000台/月，R4000台/年333台/月，c315000元/次，c110元/台月，c220元/台月,习题3,Q0T0R14

29、98.5吨,C0 6666.7元/月,4、解R8件/月，c3100元/次，c15元/件月,（1）p20件/月,（2）p40件/月,T0 2.88月,Q0T0R23.09件,C0 69.44元/月,T02.5月,Q0T0R20件,C080元/月,习题4,启示：在R、c1、c3相同的情况下，生产补充速度p越大，则：（1）T0越小（2）Q0越小（3）C0越大,启示：在不允许缺货模型中，若R、c1、c3相同，订货补充与生产补充相比：订货补充的（1）T0 更小（2）Q0 更小（3）C0 更大 即：生产补充比订货补充更经济。,5、解R4000件/月，K150元/件，c115元/件年1.25元/件月，c35

30、00元/次,T00.4472月13.4天,Q0T0R1789件,C0 2236元/月,（1）不允许缺货,（2）允许缺货，c2100元/件年100/12（元/件月）,T00.4796月14.4天,Q0T0R1918件,C0 2085元/月,习题5,启示：在R、c1、c3相同的情况下，不允许缺货模型与允许缺货模型相比较：前者的（1）T0更小（2）Q0更小（3）C0更大,6、解R150件/月，c3400元/次，c10.96元/件月，,Q0T0R353.55件,T02.357月,C0 339.41元/月,（1）,C0339.41110%373.35元/月,T0 2c3/C0 2.1428月,Q0 T0

31、 R321.42件,习题6,（2）该厂为少占用流动资金，希望进一步降低存贮量。因此，决定使订购和存贮总费用可以超过原最低费用的10%，求这时的最优存贮策略。,该费用不是最优费用,该公式不适用把T0 代入费用函数，C 373,T0 2.357,C(t),C0 339.41,C0373.35,T1,T2,解 R150件/月，c3400元/次，c10.96元/件月，,（2）该厂为少占用流动资金，希望进一步降低存贮量。因此，决定使订购和存贮总费用可以超过原最低费用的10%，求这时的最优存贮策略。,C0339.41110%373.35元/月,72t2373t 400 0,此时最优策略：取T1.516月，

32、QRT227件,t1 3.6646月，t2 1.516月,7、解R15000个/年，c380元/次，c11元/个年，,Q0T0R1549个,T00.10328年1.24月,C0 1549元/年,（1）,经济批量落在1000个以上的折扣价区域，因此小于1000个的折扣价不必考虑。所以取4.9元/个的折扣价。,C(T0)KR KR,15497350075049元/年,习题7,（2）,K5,K4.9,不计货物成本K,Q*=1549（经济批量）,C(1),C0,1000,C(t),8、解R10000个/年，c32000元/次，c10.2K,Q0,经济批量落在2000个以下的折扣价区域。,C（1）,16

33、00010000800000826000元/年,最优采购策略是采购周期0.2年，一次采购量2000个，单价80元/个。,习题8,K100,K80,不计货物成本K,Q1*1581,C(1),C0,2000,C(t),Q2*1414,8、解R10000个/年，c32000元/次，c10.2K,Q0,现在，折扣价分别为：1000以下K80，1000以上K100即：经济批量分别落在不同的折扣价区域，最小费用？,思考,K100,K80,不计货物成本K,Q1*1581,C0,C0,1000,C(t),Q2*500,习题9,9、解R300万件/年25万件/月 c3100元/次，c10.1元/件月,0Q100

34、00 的折扣价不必考虑,Q0 22361件,C0 KR2236245000247236元/月,（1）,（2）,（3）,C（1）1500833240000242333元/月,QRt tQ/R30000/2500000.12月,（4）,C（2）2500500235000238000元/月,QRt tQ/R50000/2500000.2月,（5）结论：最优策略是采购周期0.2月，一次采购量50000件，单价0.94元/件。,习题11,解（1）、盈利k20元/件 亏损h60元/件,（3）、计算获利的期望值：当市场需求R150时，获利20*15060*201800元当市场需求R160时，获利20*16060*102600元当市场需求R170时，获利20*17060*03400元当市场需求R180时，获利20*17060*03400元当市场需求R190时，获利20*17060*03400元则订购量为170时获利期望值（元）E（170）18000.05+26000.1+34000.853240元,计算0.2525%,（2）、求,Q*170，为最优解。,空白,