运筹学09-目标规划.ppt

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1、第九章 目标规划 Goal Programming,9.1 目标规划模型9.2 目标规划的几何意义与图解法,在科学研究、经济建设和生产实践中，人们经常遇到一类含有多个目标的数学规划问题，我们称之为多目标规划。本章介绍一种特殊的多目标规划叫目标规划(goal programming)，这是美国学者Charnes等在1952年提出来的。目标规划在实践中的应用十分广泛，它的重要特点是对各个目标分级加权与逐级优化，这符合人们处理问题要分别轻重缓急保证重点的思考方式。,9.1 目标规划模型,(1)问题提出 为了便于理解目标规划数学模型的特征及建模思路,我们首先举一个简单的例子来说明.例 1 某公司分厂用

2、一条生产线生产两种产品A和B，每周生产线运行时间为60小时，生产一台A产品需要4小时，生产一台B产品需要6小时根据市场预测，A、B产品平均销售量分别为每周9、8台，它们销售利润分别为12、18万元。在制定生产计划时，经理考虑下述4项目标：,首先，产量不能超过市场预测的销售量；其次，工人加班时间最少；第三，希望总利润最大；最后，要尽可能满足市场需求,当不能满足时,市场认为B产品的重要性是A产品的2倍 试建立这个问题的数学模型讨论：若把总利润最大看作目标，而把产量不能超过市场预测的销售量、工人加班时间最少和要尽可能满足市场需求的目标看作约束，则可建立一个单目标线性规划模型。,设决策变量 x1，x2

3、 分别为产品A，B的产量 Max Z=12x1+18x2 s.t.4x1+6x2 60 x1 9 x2 8 x1,x2 0 容易求得上述线性规划的最优解为(9,4)T 到(3,8)T 所在线段上的点,最优目标值为Z*=180,即可选方案有多种.在实际上,这个结果并非完全符合决策者的要求,它只实现了经理的第一、二、三条目标，而没有达到最后的一个目标。进一步分析可知，要实现全体目标是不可能的。,(2)目标规划模型的基本概念 把例1的4个目标表示为不等式.仍设决策变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量.那么,第一个目标为:x1 9，x2 8；第二个目标为:4x1+6x2 60；第三个目标为:希望总

4、利润最大，要表示成不等式需要找到一个目标下界，这里可以估计为252（=129+188），于是有 12x1+18x2 252；第四个目标为:x1 9，x2 8；,下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念（1）正、负偏差变量d+，d-我们用正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d-表示决策值不足目标值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又末达到目标值，故恒有 d+d-0（2）绝对约束和目标约束 我们把所有等式、不等式约束分为两部分：绝对约束和目标约束。,绝对约束 指必须严格满足的等式约束和不等式约束；如在线性规划问题中考虑的约束条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是

5、硬约束。设例1 中生产A，B产品所需原材料数量有限制，并且无法从其它渠道予以补充，则构成绝对约束。目标约束 目标规划特有的，我们可以把约束右端项看作要努力追求的目标值，但允许发生正式负偏差，用在约束中加入正、负偏差变量来表示，于是称它们是软约束。,对于例1,我们有如下目标约束 x1+d1-d1+=9(1)x2+d2-d2+=8(2)4x1+6x2+d3-d3+=60(3)12x1+18x2+d4-d4+=252(4),(3)优先因子与权系数 对于多目标问题，设有L个目标函数f1,f2,fL,决策者在要求达到这些目标时，一般有主次之分。为此，我们引入优先因子Pi，i=1,2,L.无妨设预期的目标

6、函数优先顺序为f1,f2,fL,我们把要求第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子P2、，并规定 Pi Pi+1，i=1,2,L-1.即在计算过程中,首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的，以此类推。当需要区别具有相同优先因子的若干个目标的差别时，可分别赋于它们不同的权系数wj。优先因子及权系数的值，均由决策者按具体情况来确定,（4）目标规划的目标函效 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的 决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏离目标的数值。于是，目标规划的目标函数应该是求极小：Min

7、 f f（d+，d-)其基本形式有三种：,要求恰好达到目标值，即使相应目标约束的正、负偏差变量都要尽可能地小。这时取 Min（d+d-)；要求不超过目标值，即使相应目标约束的正偏差变量要尽可能地小。这时取 Min（d+)；要求不低于目标值，即使相应目标约束的负偏差变量要尽可能地小。这时取 Min（d-)；,对于例 1,我们根据决策者的考虑知 第一优先级要求 Min（d1+d2+)；第二优先级要求 Min（d3+)；第三优先级要求 Min（d4-)；第四优先级要求 Min（d1-+2d2-)，这里,当不能满足市场需求时,市场认为B产品的重要性是A产品的2倍即减少B产品的影响是A产品的2倍，因此我

8、们引入了2:1的权系数。,综合上述分析，可得到下列目标规划模型 Min f=P1（d1+d2+)+P2 d3+P3 d4-+P4（d1-+2d2-)s.t.x1+d1-d1+=9 x2+d2-d2+=8 4x1+6x2+d3-d3+=60 12x1+18x2+d4-d4+=252 x1,x2,di-,di+0,i=1,2,3,4.,(3)目标规划模型的一般形式,式中的第二行是L个目标约束，第三行是m个绝对约束，clj 和gl 是目标参数。,例2 甲 乙 有效工时 金工 4 2 400 装配 2 4 500 收益 100 80 LP：Max Z=100X1+80X2 2X1+4X2 500 s.

9、t 4X1+2X2 400 X*=(50,100)X1,X2 0 Z*=13000,目标：去年总收益9000，增长要求11.1%即：今年希望总收益不低于10000引入 d+：决策超过目标值部分(正偏差变量)d-：决策不足目标值部分(负偏差变量)目标约束：100X1+80X2-d+d-=10000 d+d-=0 d+,d-0,例3 资源拥有量 原材料(公斤)2 1 11 设备(小时)1 2 10 利润(千元/件)8 10原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以要严格控制市场情况，产品销售量下降，产品的产量不大于产品的产量充分利用设备，不希望加班尽可能达到并超过利润计划指标56千元,建模：设定约束条

10、件。(目标约束、绝对约束)规定目标约束优先级建立模型 设X1，X2为产品，产品产量。,d1-:X1产量不足X2 部分d1+:X1产量超过X2 部分d2-:设备使用不足10 部分d2+:设备使用超过10 部分d3-:利润不足56 部分d3+:利润超过56 部分,或 Min Z1=d1+Min Z2=d2-+d2+Min Z3=d3-,Min Z=p1d1+p2(d2-+d2+)+p3(d3-),对只具有两个决策变量的目标规划的数学模型，我们可以用图解法来分析求解通过图解示例，可以看到目标规划中优先因子，正、负偏差变量及权系数等的几何意义。下面用图解法来求解例1 我们先在平面直角坐标系的第一象限内

11、，作出与各约束条件对应的直线，然后在这些直线旁分别标上 G-i，i=1，2，3，4。图中x，y分别表示问题的x1和x2；各直线移动使之函数值变大、变小的方向用+、-表示 di+,di-,9.2 目标规划的几何意义及图解法,Min f=P1（d1+d2+)+P2 d3+P3 d4-+P4（d1-+2d2-)s.t.x1+d1-d1+=9 x2+d2-d2+=8 4x1+6x2+d3-d3+=60 12x1+18x2+d4-d4+=252 x1,x2,di-,di+0,i=1,2,3,4.,下面我们根据目标函数的优先因子来分析求解首先考虑第一级具有P1优先因子的目标的实现，在目标函数中要求实现Min（d1+d2+),取d1+=d2+=0.图2 中浅红色阴影部分即表示出该最优解集合的所有点。我们在第一级目标的最优解集合中找满足第二优先级要求Min（d3+)的最优解.取d3+=0,可得到图3 中浅绿阴影部分即是满足第一、第二优先级要求的最优解集合。,