第七节二阶常系数非齐次线性微分方程.ppt
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1、根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,第七节(2)二阶常系数非齐次线性微分方程,I.,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,为 m 次多项式.,(1)若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,Q(x)为 m 次待定系数多项式,(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为,(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,解,对应齐次方程通解,特征方程
2、,特征根,代入方程,得,原方程通解为,例1,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,原方程通解为,例2,代入方程,得,原方程通解为,法二,解,例3,则由牛顿第二定律得,解此方程得,代入上式得,利用欧拉公式,注意,上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方程.,解,对应齐次方程通解,代入原方程,得,所求非齐次方程特解为,原方程通解为,例4,法二,对应齐次方程通解,作辅助方程,所求非齐次方程特解为,原方程通解为,(取虚部),代入辅助方程,得,解,对应齐次方程通解,作辅助方程,代入辅助方程,例5,所求非齐方程特解为,原方程通解为,(取实部),注意,例6,解,特征方程,特征根,对应的齐方的通解为,设原
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