辗转相除法与更相减损术.ppt

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1、边城高级中学 张秀洲,1.3.1 辗转相除法与更相减损术,1通过阅读中国古代中的更相减损术算法案例，体会中国数学对世界数学发展的贡献；2知道辗转相除法和更相减损术，能用辗转相除法和更相减损术求两个正整数的最大公约数,自学教材P34-P37 解决下列问题,一、能用辗转相除法和更相减损术求两个正整数的最大公约数.,二、学海导航 P25-P26“双层练习”“范例剖析”,三、教材 P45 第1题,例：求下面两个正整数的最大公约数：,（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,所以，49和63的最大公约数为7,思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？,

2、例：如何算出8251和6105的最大公约数？,一、辗转相除法（欧几里得算法）,1、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,2、步骤:（以求8251和6105的最大公约数的过程为例）,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步 对6105和2146重复第一

3、步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例:用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？,S1：用大

4、数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m=n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m=n,n=r,r=0?,是,否,思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？,(1)、算法步骤：,第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.,(2)、程序框图：,INPUT m，n,DO,r=m MODn,m=n,n=r,LOOP UNT

5、IL r=0,PRINT m,END,(3)、程序：,思考:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？,INPUT m，n,WHILE n0,r=m MOD n,m=n,n=r,WEND,PRINT m,END,二、更相减损术,可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的

6、最大公约数。,（1）、九章算术中的更相减损术：,1、背景介绍：,（2）、现代数学中的更相减损术：,2、定义：,所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,例:用更相减损术求98与63的最大公约数.,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217211477,所以，98和63的最大公约数等于7,3、方法：,(1)、算法步骤,第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若a不

7、等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果br,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a,执行第二步；第五步：输出最大公约数b.,思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？,(2)、程序框图,(3)、程序,INPUT m，n,WHILE mn,k=m-n,IF nk THEN,m=n,n=k,ELSE,m=k,END IF,WEND,PRINT m,END,【例1】分别用辗转相除法和更相减损术求168与93的最大公约数.,辗转相除法：168=931+75，93=751+18，75=184+3，18=36.,更相减损术:168-93=75

8、，93-75=18，75-18=57，57-18=39，39-18=21，21-18=3，18-3=15，15-3=12，12-3=9，9-3=6，6-3=3.,因为325=1302+65，130=652，所以325与130的最大公约数是65.,因为270=654+10，65=106+5，10=52，所以65与270最大公约数是5.,故325，130，270三个数的最大公约数是5.,【例2】求325，130，270三个数的最大公约数.,三、教材 P45 第1题,提炼精华,总结收获，畅谈体会,对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么提示？对老师说，你有什么疑惑？,比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。,【预习】课本P37P39 秦九韶算法,必做题：学海导航 P26-P27 A组所有题目,必做题：学海导航 P27 B组,2023年8月27日,1次,