质点运动微分方程.ppt

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1、第三篇 动力学,引 言,回顾,静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；,运动学从几何观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力；,动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。,动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。是理论力学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。,低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。,动力学的研究对象：,动力学的理论基础：,牛顿定律的适用范围（1）不适于微观物体；（2）物体的运动速度不能太大。,牛顿的运动三定律，简称牛顿定律或动力学基本定律,动力学分为质点动力学和质点系动力学：质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。质点系：由几个或

2、无限个相互有联系的质点所组成的系统。质点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体系统）本课程重点放在质点系动力学。,牛 顿,牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著自然哲学的数学原理。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。,解决动力学两类基本问题的途径：,直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程；综合应用动

3、力学普遍定理；应用达朗贝尔定理。,应用动力学普遍方程和拉格朗日方程。,动力学的主要任务（解决的基本问题）：,第一类：已知物体的运动规律，求作用在此物体上的力；,第二类：已知作用在物体上的力求此物体产生什么样的运动。,第九章 质点动力学的基本方程,9-1 动力学的基本定律,9-2 质点的运动微分方程,9-3 质点动力学的两类基本问题,第一定律（惯性定律）,9-1 动力学的基本定律,不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。,本定律揭示了一切物体均有保持静止或作匀速直线运动 的性质，即惯性。,说明：,匀速直线运动称为惯性运动。,明确了力是改变（而不是维持！）物体运动的原因。,第二定律（力与加速

4、度之间的关系的定律）,质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。,即,此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。,质量是质点惯性的度量。,说明：,在地球表面，物体受重力作用，有,G=mg,式中，g 重力加速度，一般取 g=9.80 m/s2。,质量和重量区别？,第三定律（作用与反作用定律）,两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。,动力学基本定律说明：,（1）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系。,工程问题中，取固于地面或相对于地面作匀速直线运动的坐标系为惯性坐标系，,（2）以牛顿三定律为

5、基础的力学称为古典力学。,9-2 质点的运动微分方程,根据牛顿第二定律，若质点M的质量为m，受n个力F1,F2,.,Fn作用，,或,而,则,矢量形式的质点运动微分方程。,则有,1.质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影,直角坐标形式的质点运动微分方程,2.质点运动微分方程在自然轴上的投影,(),(),在质点M的运动轨迹上建立自然轴系Mbn，,根据点的运动学知，质点的加速度在运动轨迹的密切面内，即,所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，,则,自然轴系的质点运动微分方程,9-3 质点动力学的两类基本问题,第一类基本问题：已知质点的运动，求此质点所受的力。,如果知道质点的运动规律，通过导数运

6、算，求出该质点的速度和加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。,第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。,求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。,注意：微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影，应注意投影的正负号。,1、求质点的加速度,y,x,解：,例题1 质点

7、M的质量为m，运动方程是x=bcost,y=dsint，其中b,d,为常量。求作用在此质点上的力。,2、求质点所受的力,由,得,M,讨论：,力的方向永远指向椭圆中心，为有心力；,力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。,易知：,求质点的轨迹方程：,从运动方程中消去 t，得,质点所受的力可表示为,例2 在均匀的静止液体中，质量为m 的物体M 从液面处无初速下沉。设液体阻力FR=，其中 为阻尼系数。试分析该物体的运动规律及其特征。,解：为建立质点 M 的运动微分方程,将参考坐标系的原点固结在该点的起始位置上，x 轴铅直向下。该质点的受力图如图，则质点M的位移、速度、加速度均设为沿x 轴的正方向。则

8、运动微分方程为,FR,FR,令,这就是该物体下沉的运动规律。,运动的起始条件为：t=0时，v0=0，x0=0,该物体下沉速度将趋近一极限值,这个速度称之为物体在液体中自由下沉的极限速度,讨论：由此可以看出在阻尼系数基本相同的情况下（即物体的大小、形状基本相同时），物体的质量越大，它趋近于极限速度所需的时间越长。工程中的选矿、选种工作，就是应用了这个道理。,例题3 已知桁车吊的重物重为G，以匀速度v0前进，绳长为 l。求突然刹车时，绳子所受的最大拉力。,解：取重物为研究对象，,桁车突然刹车后，重物做圆弧摆动。,当其摆至角处，受力如图。,由自然轴系的质点运动微分方程，有,(a),(b),可知，拉力

9、 T 与重物的速度 v、摆角有关，,对(a)式进行分离变量并积分：,l,(c),将(c)式代入(b)式，得,当=0 时，,本例的实际指导意义：,桁车行进的速度不宜过快；,绳子不宜太短；,实际数据例如：,则可求得,式中G前的系数即动荷系数。,已求得：突然刹车时，绳子所受的最大拉力为,由此可知：,例题4 粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在=0时才掉下来。求滚筒每分钟的转数 n。,铁球在滚筒的带动下沿圆弧向上运动，当运动到一定高度时，将脱离筒壁沿抛物线下落；,质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度，即,解：,研究对象

10、：,运动分析：,铁球（视为质点），,受力分析：,质点在上升过程中受力有重力mg、,由,有,筒壁的法向反力FN、,筒壁的切向反力FS。,解得,已求得滚筒转速为,当=0 时，铁球将落下，此时 FN=0，得,讨论：,若n n0，则0，,若n n0，则0，,对离心浇铸，则要求 n ncr。,即铁球在低处落下；,即铁球在高处落下；,若 时，=0，,则铁球不再脱离筒壁落下。,例题5 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。,解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。取火箭(质点)为研究对象,建立坐标如图示。火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。,则在任意位置时的速度,即：,可见，v 随着 x 的增加而减小。若则在某一位置x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若时，无论x多大（甚至为）,火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去不返 时（）的最小初速度,（第二宇宙速度）,第九章结束,