质点系动量定理.ppt

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1、我国舰艇上发射远程导弹实验,酒泉基地神舟飞船发射,3.2 质点系动量定理,质点系：,由一群有一定相互关系的质点组成的系统,如果一个复杂物体的运动不能用简化的质点模型处理，例如自转的球、流体的运动、太阳系的运动等等。这时可以把它们视为由很多质点组成的系统。因而在研究方法上可以先弄清楚系统中任意质点的运动规律，再按它们的相互关系推演出系统的整体规律。,（theorem of mometum of a system of particles）,一、质点系及其动量定理,系统成员间的相互作用称为内力；系统与环境间的相互作用称为外力（当然要由系统内某个或某些质点直接承担）。,现在，我们要考察的对象是一个系

2、统，系统之外可称为环境。,为简单计，考虑只有两个质点 m1、m2 组成的系统，有外力 分别对它们作用，同时两质点间还有相互作用。,对质点1,对质点2,两式相加,（由牛顿第三定律，内力等大小、反方向）,由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。,推广到多质点系统，动量定理表达式为：,质点系总动量的增量等于作用于该系统合外力的冲量,其意为：,从这里我们看到，一般情况下，只有外力的作用才能改变质点系的总动量。如果内力的存在使外力发生变化，或外力的产生和变化受内力的影响、制约，这种情况下，内力对质点系的动量、角动量的变化会产生影响。,质点系统动量定理与单质点的动量定理有完全相同的形式。,矿砂从传送

3、带A落入B，其速度4m/s，方向与竖直方向成 30角，而B 与水平方向成15角，其速度2m/s。传送带的运送量为 20kg/s。求：落到 B上的矿砂所受到的力。,解：,例题1*(自学用),作矢量图,在t 内落在传送带B上的矿砂质量为：,这些矿砂的动量增量为：,由动量定理：,逆风行舟,一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑平面上的木块，穿行时间各为 t1、t2，设子弹在木块中受到恒阻力F。求：子弹穿过后，两木块各以多大速度运动？,解：,例题2：,子弹穿过第一木块时，两木块速度相同均为v1,子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2,考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两个状态。,再结合 式，可得结

4、果。,如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的加速度相对杆上爬，才能看上去不下落?,解：,例题3：,用牛顿定律,建坐标,得,受力分析,猴杆系统,解法二用质点系动量定理,得,分析,一根均质链条，长 l，质量m，竖直提起，一端刚刚触地。由静止状态释放，求其对地面的作用力。,解：,例题4：,建坐标,取链条整体为系统,无论何时链条整体受到外力作用,地面部分的动量为,任意时刻，将链条分为两部分,空中部分的动量为,由动量定理,对坐标投影,0,所以,得,即：下落过程中链条对地面的作用力是已经落下部分所受重力的 3 倍。,如果把此题改成一股高压水柱对墙壁的冲击,可以理解,入射水流在单位时间里对墙壁传递的动量为,（由

5、于速度值的变化，必定引起流体的密度变化）,因为墙壁表面没有水的质量积聚，必有,反射水流单位时间内带走的动量为,因而墙壁表面对水柱的作用力一般为,若水流碰到墙壁不再弹回,若水流完全反射,为墙壁给予水柱的作用力,则,因而,实际的情况介于这两个极端情况之间。工业上的水力采煤技术就是基于这个原理。,由质点系的动量定理的微分形式,特别地,若,则,即,此即动量守恒定律,一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换。,二、动量守恒定律,应用动量守恒定律要注意以下几点：,将上式写成分量式，其中x 方向的分量式为：,若：,则有：,如果外力在 x 方向投影的代数和为零，则动

6、量在 x 方向的分量守恒。,内力的存在只改变系统内动量的分配，不能改变系统的总动量。,因而，系统动量守恒时，但每个质点的动量仍可能变化。,在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，由于系统内部相互作用力远大于合外力，往往可忽略外力，系统动量守恒近似成立。,定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的动量之和。,动量守恒是自然界普遍适用的物理定律，它比牛顿定律更为基本。,在微观世界中牛顿定律不再适用，但动量守恒定律仍然正确。,动量守恒定律只适用于惯性系。,人与船质量分别为m 及M，船长为L，若人从船尾走到船首。试求船相对于岸的位移。(初始时刻人与船静止),解：,例题5：,设人相对

7、于船的速度为 u,船相对于岸的速度为 v,由动量守恒:,类似的二体问题有同解,此结果与人的相对速度 u 无关，只要他完成了船上的这段行走，船对地的移动距离都是,这正符合我们从牛顿定律出发建立理论体系的目的：避开运动和相互作用的细节，得到一般性的结论。,这个结果还暗示：动量守恒定律不受机械能是否守恒的影响（人、船之间有内耗），即,动量传递的守恒性，不受运动形式及能量转换的影响，判断动量是否守恒的标准，是系统是否受外力作用。,建立火箭模型：,视火箭为一系统,经dt 时间后,主体,喷出物,火箭系统,三、系统内质量流动问题,t 时刻：,t+dt 时刻：,由质点系动量定理：,喷出物动量,也是主体动量,对

8、于火箭问题 dm 0,主体动量,系统动量,经整理可得：,密歇尔方程,是相对火箭的,改用 标记,t 时刻火箭主体质量,m,t 时刻火箭主体加速度,F,t 时刻作用在火箭主体上的、来自火箭系统外部的力,火箭主体获得的反推力,如果把方程的右边看作是作用在火箭主体上的合力，那么它与牛顿定律就形式相同了。但意义绝不相同。牛顿定律中质点的质量是不变的！而密歇尔方程描述的是变质量运动。,当作用在火箭系统上的外力F 一定时，推力越大，火箭获得的加速度越大。,为火箭发动机的推动力。,这就要求喷气速率vr 大，,排出率 大。,例如：一种火箭的燃烧速率为,理论上产生的推力为,喷出气体的相对速率为,这相当于一艘400

9、0吨海轮所受的浮力！,重力场中，由静止垂直上升的火箭的运行,解：,例题6：,假设火箭喷气速率vr恒为 u,据密歇尔方程,取向上为坐标正向,分离变量积分,得,如何利用此题的思路实现在行星、或星际太空站上“软着陆”？,思考题：,如果考虑空气阻力的因素，设空气阻力正比于速率的平方,则：,一般采用数值计算解。,质量为m 的火箭在遥远星际空间以速度v 飞行。试求：其速度与火箭本体质量之间的关系。,解：,例题7：,据密歇尔方程,分离变量积分,则,飞船在太空中按此原理用离子火箭发动机控制飞行、调整姿态。,取飞行方向为坐标正向,另解：,直接由质点系动量定理,在遥远星际空间，火箭受和外力为零。,即，火箭系统动量

10、守恒,经整理可得：,令火箭的质量比,要想增大单级火箭的末速度，可以采用两个方法：,一是增大排出气体的相对速率；,二是增大火箭的质量比。,近代高能推进剂如液氧加液氢的喷气速率可达4.1km/s。,考虑到火箭主体本身的结构和必要的载荷，火箭的质量比增大有限。目前，单级火箭的质量比可做到15。因此目前在最好的情况下，单级火箭从静止开始，可获得的末速度约为 11km/s。,若采用多级火箭,由于实际从地面发射时，火箭受到地面引力和空气阻力，所以末速度只可能达到 7km/s 左右。,这一速度小于第一宇宙速度（7.9km/s）,所以用单级火箭不可能把人造地球卫星或其它航天器送入地球轨道。,由于技术上的原因，

11、多级火箭一般是三级。,N1=16；vr=2.9km/s；,N2=14；vr=4km/s,N3=12；vr=4km/s,末速度的理论值为28km/s。同样由于引力和空气阻力，实际末速度值要小的多。,例如：发射阿波罗登月飞船的土星五号，起飞质量2800吨，高85m。,我国长征二号E火箭总长49.68米，直径3.35米。总起飞重量461吨，起飞推力，近地轨道运载能力达到9.5吨。,1.整流罩 2.卫星 3.卫星支架（卫星分配器）4.火箭支架 5.ETS固体发动机 6.仪器舱 7.二级氧化剂箱 8.箱间段 9.二级燃烧剂箱 10.级间段 11.二级游动发动机 12.二级主发动机 13.燃气排气孔14.

12、一级氧化剂箱 15.箱间段 16.一级燃烧剂箱 17.尾段 18.一级发动机 19.助推器发动机 20.助推器燃烧剂箱 21.箱间段 22.助推器氧化剂箱 23.助推器端头帽,卫星支架（卫星分配器）,长征二号E,长征二号F 运载火箭是在长二捆火箭的基础上，按照发射神舟载人飞船的要求，以提高可靠性确保安全性为目标研制的运载火箭。火箭上加装了逃逸塔，是目前我国所有运载火箭中起飞质量最大、长度最长的火箭。,落链问题，将空中部分视为主体，再解。,解：,例题8：,由密歇尔方程,则,再加上地面对已静止部分的作用力,落链问题，将地面部分视为主体，再解。,解：,例题9：,由密歇尔方程,装煤卡车（24吨）在水平

13、路面以 2m/s的初速滑行，送料车在其上方随卡车以 1.9m/s 的速率前进，并以 200 kg/s 的泄漏率装车。求：在装煤的 30s 后，卡车的行进速率。,解：,例题10：,由密歇尔方程,以卡车为主体,与 v 方向相反,则,不计阻力,分离变量,积分,得,所以,1.质心,将质点系的动量和动量定理继续作一分析：,质点系统的动量,在牛顿力学中，质点的质量是不变的，因而,令,质点系的质量中心,N个质点的系统（质点系）的质心位置,质量连续分布的系统的质心位置,质心的位矢表达式可写为分量形式,在直角坐标系中有：,质心可能并不在体系中的任何一个质点上，它是由上式定义的一个物理量。这里我们第一次看到，一个

14、有用的物理量，可能并不对应着一个实际的东西。这种具有抽象性质的物理量，在以后的物理学习中，将会越来越多的碰到。,质心的速度,质心的加速度,这是十分有趣的，质点系的动量可以等效为位置在质量中心的一个质点的动量。,继续前面的推理分析：,顺着这条线索自然会想到：也许我们真的能够用对质心运动的描述来代替对质点系整体运动的研究。如果这样的话，那将是十分方便的。,由质点系动量定理,比照牛顿定律。可以赋其名为质心运动定律,至此，我们可以作出这样的结论：,假设有多个外力作用在多粒子系统上，不管这些粒子组成何种复杂的结构（它们可以是刚体，也可以是星云或其它任何东西），我们总可以求出这些力的合力。如果将这些粒子看

15、成一个质量为M的整体，那么整个体系的质量就可以看作集中在质心这个点上，合外力使该点产生一个加速度。,质心运动定律非常有用，若不考虑每个质点运动细节，只考虑体系的质心运动，则其动力学方程与单个质点的动力学方程完全相同。例如：地球绕太阳的运动，可以把它作为质点来处理，虽然地球内部有各种各样的相互作用，都可完全不顾及，只需考虑外力太阳引力的作用就行了。,例如，炮弹在飞行轨道上爆炸时，它的碎片向四面八方飞散。炮弹爆炸的爆炸力是内力，内力可以改变组成炮弹的各个碎片的动量，但不能改变炮弹的总动量，因而不能改变质心的运动。不管炮弹的弹片飞向何方，作为全部弹片的质心所受外力仍然是重力，所以爆炸后质心仍然按原来

16、的抛物线轨道运行。,质心仍作抛物线运动,运动员跳水,球棒抛掷,关于质心运动定律确实令人兴奋，它在物理学发展的过程中具有很重要的作用。,它揭示出，牛顿定律有这样一种独特的性质：,是一个在比较大的尺度范围内也能够自现其身的规律。它使我们能够继续处理尺度越来越大的系统。,这样就有了营造力学理论体系的基础。,已知一半圆环半径为R，质量为M。求：它的质心位置。,解：,例题1：,d,建坐标系如图,取 dl,dm=dl,几何对称性,如图所示，人与船构成质点系，当人从船头走到船尾。求：人和船各移动的距离。,解：,例题2：,在水平方向上，合外力为零。,开始时，系统质心位置,终了时，系统质心位置,解得,船移动距离 S,人移动距离 s,继续探索,