误差分析课件动态测试数据处理基本方法.ppt

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1、动态测试数据处理基本方法,第一节 动态测试的基本概念,表示物理现象或过程的任何数据都可以分为：确定性的和随机性的 分类依据：是否能够用明确的数学关系式描述的数据 确定性的：刚体的位移 随机性的：随机振动、环境噪声,1 确定性数据,周期数据：经过一定时间间隔重复出现的数据,正弦周期数据其幅度随时间做正弦周期波动，其函数形式如下：,式中，A为振幅；f为频率，f=1/T,T为周期,为初相角,周期数据：经过一定时间间隔重复出现的数据,复杂周期数据 由不同频率的正弦周期数据叠加而成，其频率为有理数，其图形是由基波的整数倍波形叠加而成的。若基波频率为f1，各组成项的频率为nf1,n=1,2，则复杂周期数据

2、可以展开为傅立叶级数，如下式：,式中,上式还可以写成如下形式：,式中,由上式可见，复杂周期数据是有一个静态分量A0和无线多个谐振分量组成，谐振分量的频率都是基波频率f1的整数倍。,返回,非周期数据：能用明确的数学关系式描述，但是又不是周期性的数据。,准周期数据 由彼此的频率比不全为有理数的两个以上的正弦数据叠加而成的数据，其表达式为：,瞬态数据 除准周期数据外的非周期数据，其特点是不能用离散频谱表示。,式中的任一频率成分fn和另一频率成分fm之比不全为有理数。,2 随机性数据,不能用明确的数学表达式来描述。若在一个动态实验中，不能再合理的试验误差范围内预计未来时刻的测试结果数据，则可认为此动态

3、试验数据是随机性数据。,2 随机性数据,随机性数据只能用概率统计的特征量来描述,第二节 随机过程及其特征,随机过程理论 研究随机性表现为一个过程的随机现象的学科，通常它是研究动态测量过程及其测量结果的理论依据。,随机变量 重复测量一个不变的物理量，由于被测量、测量仪器或测量条件的随机因素，造成所测得一系列测量结果包含随机误差，其中每次测量结果都是取得一个随机的、但是唯一的测量值，因而测量结果是一个随机变量。,随机函数 由于自动化生产和科学研究的发展，被测量可能是随时间而变化，或者是随空间而连续变化的过程，因此，测量过程和测量结果都是一个随机的但是连续变化的函数，称为随机函数。这种函数，对于自变

4、量的每一个给定值，结果是一个随机变量。,用x(t)表示随机函数样本的集合（总体），则,随机函数x(t)包含如下内容:,1 把x(t)看作是样本集合时，x(t)一位这一组时间函数x1(t),x2(t),xn(t)的集合2 把x(t)看作诗一个样本时，x(t)意味着一个具体的时间函数3 若t=t1时，则x(t)意味着一组随机变量的x1(t1),x2(t1),xn(t1)的集合,随机过程的特征值,随机变量通常用它的概率分布函数、算数平均值和标准差作为特征量来表示，表现为一个确定的数，随机过程也有它的特征量，表现为一个函数。,随机过程的特征量有以下四种：,1 概率密度函数2 均值、方差和方均值3 自相

5、关函数4 谱密度函数,1 概率密度函数,概率密度函数是描述随机数据落在给定区间内的概率。一个随机过程的概率密度函数f(x)可以表示为,概率密度函数是概率相对于振幅的变化率。对概率密度函数积分可得概率分布函数，二者互为微积分的关系：,2 均值、方差和方均值,随机函数x(t)的均值是一个时间函数mx(t)对于自变量t的每一个给定值，mx(t)等于随机函数x(t)该t值时所有数值的平均值（数学期望），即 mx(t)=Ex(t)其实质上是x(t)的一阶原点矩,随机函数的方差也是一个时间函数Dx(t)，对于自变量t的每一个给定值，Dx(t)等于该随机函数在t值时数值对均值偏差平方的平均值（数学期望），即

6、实质上是随机函数的二阶中心矩随机函数方差开平方就是标准差。方差和标准差都是非随机的时间函数，确定了随机函数所有现实相对于均值的分散程度。,随机过程的均方值就是随机函数x(t)的二阶原点矩，即均方值既反映随机过程的中心趋势，也反映随机过程的分散度。,3 自相关函数,自相关函数是与随机函数在t与t+r两个时刻的值有关，反映随机过程中不同时刻之间的相关程度，定义为在实际应用中，还可表示为 称为标准自相关函数。,自相关函数具有以下性质：,A 当t=t+r时，即r=0时，自相关函数等于随机函数的方差，此时，标准自相关函数等于1。B 自相关函数是对称的。即交换t与t+r，函数值不变。C 在随机函数上加上一

7、个非随机函数时，它的均值（数学期望）也要加上同样的非随机函数，但它的自相关函数不变。D 在随机函数上乘以非随机引资f(t)时，它的均值也应该乘上同一因子，但是自相关函数应该乘以f(t)f(t+r)。特别是当f(t)=常数C时，它的自相关函数应乘以C的平方。,4 谱密度函数,在实际应用中，我们不仅关心作为随机过程的数据的均值和相关函数，而且往往更加关心随机数据的频率分布情况。对于确定性数据和函数，可用一定的频率-振幅图，但对于随机函数，它的振幅和相位是随机的，不能作出确定的频谱图。随机过程的频谱不能用频率f上的振幅来描述，而使用频率范围内的均方值来描述。,当随机过程的长度趋于正无穷，而频率元素

8、趋于零时，描述随机过程的阶梯曲线趋于光滑曲线Gx(f),则有 变化为定积分形式则有,Gx(f)描述了过程的强度沿f轴的分布密度，称为随机过程的频谱密度或谱密度。由于Gx(f)是定义在零到正无穷的频率范围上，因此被称为“单边”谱密度，但谱密度也可以定义在负无穷到正无穷的频率范围上，称为“双边”谱密度，记为Sx(f)。因随机过程的总功率不变，所以有,谱密度具有以下的性质：,A 谱密度Sx(f)是非负的实偶函数。B 谱密度函数与自相关函数互为傅立叶变换 这两个式子统称为维纳-辛钦公式,谱密度函数的作用,随机数据的谱密度函数是用来建立数据的频率结构，分析其频率组成和每种频率成文的大小，为动态测试误差分

9、析从频率上提供依据。在几何量和机械量的测量中，频谱分析方法已经得到重视和应用。,第三节 随机过程特征量的实际估计,如前所述，随机过程分为平稳随机过程和非平稳随机过程。平稳过程又可以分为个太历经过程及非各态历经过程。由于随机误差的存在及测量次数有限，对一个随机过程做一系列动态测试后也不可能求得随机过程特征量的真值，而只能通过有限的样本作出估计。,在工程实际中，随机过程大多是平稳随机过程，对于具有N个样本的平稳随机过程通常采用总体平均法（几何平均法）求其特征量的估计，而对于各态历经随机过程，则可采用时间平均法求其特征量的估计值。下面介绍这些实际估计方法及其精度。,1 平稳随机过程及其特征量,A 平

10、稳随机过程 如果随机过程x(t)的所有特征量与t无关，即其特征量不随t的推移而变化，则称x(t)是平稳的随机过程。否则，则称x(t)是非平稳随机过程。,由定义可见，随机过程是“平稳”的第一个条件是其均值为常数：,但是这个条件并不是本质的,第二个条件是其方差为常数，即,但是，对于有些随机过程，虽然其均值为常数，但过程的分散程度随着时间t的推移有明显的增加，因此也不是平稳的。,满足“平稳”的第三个条件是随机函数的自相关函数应不随t的位置推移而变化，即与t无关：,平稳随机过程的自相关函数只依赖于时间间隔，即自相关函数只是一个自变量 的函数。,广义（宽）平稳随机函数,当不考虑随机函数的概率密度等其他特

11、征值，而只满足均值为常数和自相关函数仅与 有关这两个条件时，这样的随机函数成为宽屏问随机函数或广义平稳随机函数。,B 平稳随机过程的特征量a 平稳随机过程的均值和方差 按照平稳过程的定义可知，t=t1，t2，的均值不变，即，同时，平稳过程的方差为 平稳随机过程的均值和方差都是常数，且方差等于 为零的自相关函数值。,b 平稳随机过程的自相关函数,因为平稳随机过程的均值为常数，它的自相关函数就可直接用中心化的自相关函数式表达：表示成标准自相关函数：,平稳随机过程的自相关函数主要性质如下：,当 时，自相关函数取得最大值，且等于其方差。平稳过程的自相关函数是偶函数。均值为零的平稳随机过程，若 时，不相

12、关，则其相关函数趋于零。平稳随机过程x(t)如果含有周期成分，则它的自相关函数亦含有周期成分，且其周期成分与过程的周期相同。,C 平稳随机过程特征量的实验估计,上面给出了描述平稳随机过程的特征量的各个定义，若知道随机函数的类型，便可知其特征量。但工程实际中，更多的情况是预先不知道随机数据的函数形式，而是通过实验测得随机函数样本集合，再由实验结果来求特征量。具体方法如下：,对N各连续的记录采样（采集断续的数字样本），取等间距的，截取图7-12的连续记录，得函数值，如表7-2所示。,采样数目的确定：,若图7-12的记录长度为T，首先将T等分成等间距的n等分，即，为了可靠地计算均值和自相关函数，n要

13、取足够大，具体确定办法可参考采样定理。,采样数目的确定：,采样数目确定后，计算平稳随机过程的特征量，就不必用积分形式运算，而可以用代数和估计，即,式中，,这样，就可以从实验结果有限个现实的总体中，按照不同时刻 求出随机数据个特征量的估计值。就是所谓的总体平均法，或称集合平均法。,2 各态历经随机过程及其特征量,各态历经随机过程的概念 在一次实验中，对足够长的时间内的不同t值观察的随机过程，等价于在许多次实验中，对同一t值观察的随机过程。具有这种性质的平稳随机过程成为各态历经随机过程。各态历经性又称历遍性或埃尔古德性，即Ergodic的音译。,各态历经性的判定方法,具有各态历经性的平稳随机过程的

14、充分必要条件是其相关函数当增加时趋于零，即：而非各态历经的平稳随机过程的相关函数当增加时趋于某一常数。由此可判定被研究的平稳过程是否各态历经。,各态历经随机过程的特征量,任取一个现实x(t),在0,T区间内计算，有 这种对随机过程x(t)的一个样本，在它的整个时间轴上求平均的估计方法称为时间平均法。,实验研究表明，大多数平稳随机的物理现象都具有各态历经性。,实际中，常用代数和式代替积分式：,3 非平稳过程的随机函数,实际应用中，常常碰到一些非平稳的过程，他们可以比较简单的用平稳随机函数加上某一定的非随机的规律性函数表示。这种随机函数称为可化为平稳过程的随机函数，表示为 y(t)=f(t)x(t)+g(t)式中，y(t)为非平稳随机函数，x(t)为平稳随机函数，f(t)和g(t)为非随机实函数。,这时随机函数y(t)的均值、方差和自相关函数分别为,