证明三角形全等的基本思路.ppt

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1、6.如图M12-5，点B，E，C，F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，请将下面证明ABCDEF的过程和理由补充完整.证明：BE=CF（），BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在ABC和DEF中,AB=（），=DF（），BC=（），ABCDEF（）.,已知,DE,已知,AC,已知,EF,已证,SSS,7.如图M12-6，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，B点的坐标为(2，1)，则D点的坐标为_.8.如图M12-7，ACBC，ADDB，下列条件中，能使ABCBAD的有_.（填序号）ABD=BAC；DAB=CBA；AD=BC；DAC=CBD,(1，2),9.(2017武

2、汉)如图M12-8，点C,F,E,B在一条直线上，CFD=BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论.,解：CDAB，CD=AB.证明：CE=BF，CE-EF=BF-EF.CF=BE.在DFC和AEB中，CF=BE,CFD=BEA,DF=AE,DFCAEB(SAS).CD=AB，C=B.CDAB.,10.(2017广州)如图M12-9，点E，F在AB上，AD=BC，A=B，AE=BF.求证：ADFBCE.,证明：AE=BF，AE+EF=BF+EF.AF=BE.在ADF和BCE中，AD=BC,A=B,AF=BE,ADFBCE(SAS).,11.已知，如图M12-10

3、，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为AB边上一点求证：ACEBCD.,证明：ABC和ECD都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE.ACB=DCE=90，ACE+ACD=BCD+ACD.ACE=BCD.在ACE和BCD中，AC=BC,ACE=BCD,CE=CD,ACEBCD（SAS）.,12.(1)如图M12-11，DCE和ACB均为等腰直角三角形，求证：AE=BD；(2)如图M12-11，DCE和ACB均为等腰直角三角形，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图M12-11中四对全等的直角三角形.,(1)证明：ACB和DCE都是等腰直角三角形，ACB=D

4、CE=90，AC=BC，DC=EC.ACB+ACD=DCE+ACD.BCD=ACE.在ACE与BCD中，AC=BC,ACE=BCD,CE=CD,ACEBCD(SAS).AE=BD.,(2)解:AC=DC，AC=DC=EC=BC.又ACB=DCE=90,ACBDCE(SAS).AB=DE.由(1)可知,AEC=BDC，EAC=DBC,DOM=AON=90.AEC=CAE=CBD，EMCBNC(ASA).CM=CN,DM=AN.AONDOM(AAS).AO=DO.AB=DE，AO=DO，RtAOBRtDOE(HL).四对全等的直角三角形为RtACBRtDCE,RtEMCRtBNC,RtAONRtD

5、OM,RtAOBRtDOE.,考点2角的平分线的性质,1.如图M12-12，OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是点C，D，则下列结论错误的是()A.PC=PD B.CPO=DOPC.CPO=DPO D.OC=OD2.(2017台州)如图M12-13，点P是AOB平分线OC上一点，PDOB，垂足为点D，若PD=2，则点P到边OA的距离是()A.2B.3C.D.4,B,3.如图M12-14所示，在AOB的两边上截取AOBO，OCOD，连接AD,BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是()APCBPD；ADOBCO；AOPBOP；OCPODP.A.B.C.D.,A,4.如图M12

6、-15，在RtABC中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是()A.15 B.30C.45 D.60,B,5.如图M12-16，AC平分BAD，CMAB于点M，CNAN，且BMDN，则ADC与ABC的关系是()A.相等 B.互补C.和为150 D.和为1656.已知ABC中，A=60，ABC,ACB的平分线交于点O，则BOC的度数为_.,B,120,7.如图M12-17，ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，40，其三

7、条角平分线的交点为O，则=_.8.如图M12-18，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是_.,234,4,9.如图M12-19，已知AD=CD，BD 平分ADC，A=C吗？试证明.,解：A=C.证明:BD 平分ADC,ADB=CDB.在ABD和CBD中,AD=CD,ADB=CDB,BD=BD,ABDCBD(SAS).A=C.,10.如图M12-20，RtABCRtDBF，ACBDFB90，D28，求GBF的度数.,解：RtABCRtDBF，AD，ABDB，BCBF.AFDC.又AFGDCG90，AFGDCG.FGCG.又GFFB

8、，GCCB，BG平分ABD.D28，ABD90D62.GBFABD31.,11.如图M12-21，BE=CF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，且DB=DC，求证：AD是EAC的平分线,证明：DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，BED=CFD.BDE与CDE是直角三角形.在RtBDE和RtCDF中,EBCF,BDCD,RtBDERtCDF（HL）.DE=DF.DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，AD是BAC的平分线,12.如图M12-22，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和39，求EDF的面积.,解：如答图M12-1，作DM=

9、DE交AC于点M，作DNAC交AC于点N.DE=DG，DM=DG.AD是ABC的角平分线，DFAB，DNAC，DF=DN.在RtDEF和RtDMN中，DF=DN,DE=DM,RtDEFRtDMN(HL).EDF=MDN.,FAD+ADF=NAD+ADN=90,FAD=NAD,ADF=ADN.又ADF=ADE+EDF,ADN=ADM+MDN,ADE=ADM.在ADE和ADM中，EAD=MAD,AD=AD,ADE=ADM,ADEADM(ASA).ADG和AED的面积分别为50和39，,考点3全等三角形的应用,1.有长为3 cm，4 cm，6 cm，8 cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3 cm和

10、4 cm的木条各一根，再取第三根木条时要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为()A.一个人取长为6 cm的木条，一个人取长为8 cm的木条 B.两人都取长为6 cm的木条 C.两人都取长为8 cm的木条 D.B，C两种取法都可以,B,2.如图M12-23，两棵大树间相距13 m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90，且EA=ED.已知大树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，则小华走的时间是()A.13 s B.8 s C.6 s D.5 s,B,3.如图M12-24，两根长度为12

11、m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD间的关系是()A.BDCD B.BDCD C.BDCD D.不能确定,C,4.如图M12-25，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是()A.带去B.带去C.带去D.带和去 5.如图M12-26，把两根钢条AA，BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，若测得AB5 cm，则内槽宽为cm.,6.如图M12-27，要测量河岸相对的两点A,B之间的距离，先从点B处出发，沿与AB成90角方向，向前走50 m到点C处立一根标杆，然后继

12、续朝前走50 m到点D处，在点D处右转90，沿DE方向再走17 m，到达点E处，使点A，C，E在一条直线上，那么测得点A，B间的距离为_m.,17,7.有一座锥形小山，如图M12-28，要测量锥形小山两端A,B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长为50 m，你能求出锥形小山两端A,B间的距离吗？,解：在DEC和ABC中，CD=CA，DCE=ACB，CE=CB，DECABC(SAS).AB=DE=50(m).,8.小强为了测量一幢高楼AB的高，在旗杆CD与楼之间选定一点P.在P点仰望旗杆顶

13、点C和高楼顶点A（身高忽略不计），测得视线PC与地面夹角DPC=36，视线PA与地面夹角APB=54，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10 m，量得旗杆与楼之间距离为DB=36 m.利用这些数据小强计算出了楼高，请问楼高AB是多少米？,解：在PCD和APB中，PCD=90-36=54=APB,PBCD，CDP=90=PBA，PCDAPB(ASA).AB=PD.AB36-10=26.答：楼高AB是26 m.,三角形全等证明的解题思路,全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等图形变换方式来描述，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于证明三角形全等.,A,B,

14、C,E,F,D,A,C,B,D,D,C,B,A,D,E,D,E,如图，点B、E、C、F在同一直线上，如果AB=DE，BE=CF，ABDE，求证：ACDF.,证明：ABDEABCDEFBECFBEECCFECBC=EF,在ABC和DEF中AB=DEABC=DEFBC=EFABCDEF(SAS)AC=DF,如图A、B分别为OM、ON上的点,点P在AOB的平分线上,且PAMPBN,求证:AO BO,证明：PAMPBNPAOPBO点P在AOB的平分线上MOPNOP,在AOP和BOP中PAOPBOMOPNOPOPOPAOPBOP(AAS)AO BO,如图,已知四边形ABCD中,ABCD且ABCD,连接B

15、D,在BD上截取BEDF,连接AE,CF.求证:AECF,证明：ABCDABECDF在ABE和CDF中,AB=CDABE=CDFBE=DFABECDF(SAS)AECF,两个待证的全等三角形如果位置较为特殊，我们可以从平移、翻折、旋转等角度找用于证明全等的等边或等角，同时要根据有利条件选择合适的证明方法.,三角形全等证明的解题思路,与全等三角形相关的问题中，有一类问题表现为三条线段间的和差关系，这类问题通常需要运用“截长补短”法添加辅助线，将其转化为证明线段相等的问题.,如图，已知ABC中，BAC90，ABAC，点P为BC边上一动点(BPCP)，分别过B、C作BEAP于E，CFAP于F.,等线

16、段代换,求证：EFCFBE；,如图，已知ABC中，BAC90，ABAC，点P为BC边上一动点(BPCP)，分别过B、C作BEAP于E，CFAP于F.,求证：EFCFBE；,证明：BAC90BAECAF90BEAEBAEABE90CAFABECFAP，BEAEAEBCFA,在ABE和CAF中ABECAFAEBCFAABAC,ABECAFCFAE，AFBEEFAEAFCFBE,二 截长补短法,如图，在四边形ABCD中，ADBC，A与B的平分线交于点E，点E在CD上，求证：ADBCAB,如图，在四边形ABCD中，ADBC，A与B的平分线交于点E，点E在CD上，求证：ADBCAB,证明：在AB上截取线

17、段AFAD，12 AEAEADEAFE(SAS)D=5ADBCDC180,而56180，6C又34BEBEBCEBFE(AAS)BFBCADBCAFBFAB.,截长补短法是两种不同的辅助线方法，在具体问题中根据有利条件合理选择.添加辅助线的关键是添加后能否构造全等三角形或其它特殊图形，从而对相等的线段进行转化，得到线段间的和差关系.,动态变化中的全等三角形,全等三角形的证明中，有的相关三角形是动态的，那么这样的三角形还会全等吗？我们来探究一下，掌握其中的解题规律.,已知：ABBD，EDBD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足BCDE，ABCD.试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的

18、结论.,已知：ABBD，EDBD，垂足分别为B、D，点C为BD上一动点且满足BCDE，ABCD试猜想线段AC与CE的数量关系，并证明你的结论.,解：ACCE，理由如下：ABBD，EDBDBD90在ABC和CDE中,BCDE，BDABCDABCCDEACCE.,已知，如图，EF分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E点，BFAC于F点，若ABCD，AFCE，BD交AC于M点，求证：MBMD，MEMF；当E、F两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由.,已知，如图，EF分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E点，BFAC于F点，若ABCD，AFCE，BD

19、交AC于M点，求证：MBMD，MEMF；,证明：DEAC，BFACABCD，AFCE，ABMCDEBFDE由DEAC，BFAC得BFMDEM,又BMFDMEBFDEBFMDEMMBMD，MEMF,当E、F两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由.,解：仍然成立.理由如下：DEAC，BFACABCD，AFCE，ABFCDEBFDE由DEAC，BFAC得,BFMDEM90又BMFDMEBFDEBFMDEMMBMD，MEMF,以上例题中，虽然动点引起了相关线段大小、角度大小、图形位置的变化，但对应边相等、对应角相等的条件并没有改变，因而相应的三角形仍然全等.,

20、动态变化中的全等三角形,我们将全等三角形中的某个三角形进行平移、翻折、旋转等变换，所得三角形还会全等吗？,如图1，A、B、C、D在同一直线上，ABCD，DEAF，且DEAF，求证：AFCDEB如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由.,一、平移,如图，A、B、C、D在同一直线上，ABCD，DEAF，且DEAF，求证：AFCDEB,如图，A、B、C、D在同一直线上，ABCD，DEAF，且DEAF，求证：AFCDEB,证明：DEAFADABCDABBCCDBC即ACBD,在AFC和DEB中AC=BDA=D

21、DEAFAFCDEB,A,E,D,B,C,F,如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图2，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由.,解：成立，理由如下：DEAFADABCDABBCCDBC即ACBD,在AFC和DEB中AC=BDA=DDEAFAFCDEB,二、旋转,已知，在ABC中，ABAC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAPBAC，连接BQ、CP，若点P在ABC内部，求证BQCP；若点P在ABC外部，以上结论还成立吗？,已知，在ABC中，ABAC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAPBAC，连接BQ、CP，

22、若点P在ABC内部，求证BQCP；,证明：QAPBACQAPBAPBACBAP即QABPAC另由旋转得AQAP,在AQB和APC中AQAPQABPACABACAQBAPCBQCP,若点P在ABC外部，以上结论还成立吗？,证明：QAPBACQAPBAPBACBAP即QABPAC另由旋转得AQAP,在AQB和APC中AQAPQABPACABACAQBAPCBQCP,三、翻折,如图所示，ABE和ADC是ABC分别沿着AB、AC边翻折180形成的，若BAC150，则的度数是_.,如图所示，ABE和ADC是ABC分别沿着AB、AC边翻折180形成的，若BAC150，则的度数是_.,解：由题意得BACBAEDACEBAABC,ACBACD根据三角形内角和定理得ABCACB180BAC18015030EBCDCB2(ABCACB)23060.,平移、翻折、旋转全等三角形中的一个，所得三角形与另一个三角形仍然全等.,