弹性力学第九章 薄板弯曲问题.ppt

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1、第九章薄板弯曲问题,第九章 薄板的弯曲问题,9-1 有关概念及计算假定9-2 弹性曲面的微分方程9-3 薄板截面上的内力9-4 边界条件 扭矩的等效剪力,91 有关概念及计算假定,中面：平分板厚度t的平面简称为中面。,薄板：板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。,图91,薄板的弹性曲面：薄板弯曲时，面所弯成的曲面。,挠度：薄板弯曲时，中面内各点在垂直于中面方向的位移。,一、基本概念,91 有关概念及计算假定,薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。,也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。,由几何方程可得,与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截

2、面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。,计算假定：,（1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即,图91,91 有关概念及计算假定,这里与梁的弯曲相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截面，板的弯曲有两个方向，要考虑两个横截面上的应力。,（2）应力分量 和 远小于其余三个应力分量，因而是次要 的，们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需 的，不能不计。所以有：,91 有关概念及计算假定,结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。,由于不计 所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同的。,（92）,91 有关概念及计算

3、假定,（3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：,所以由几何方程可以得出：,也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在 面上投影的形状却保持不变。,92 弹性曲面的微分方程,92 弹性曲面的微分方程,薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，挠度 为基本未知函数。,用 表示其它未知函数：,（1）纵向位移：,（2）主要应变分量：,（3）主要应力分量：,（4）次要应力分量：,（5）更次要应力分量：,怎么表示？利用空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。,92 弹性曲面的微分方程,（1）用挠度 表示纵向位移,由假定（2）知 代入几何方程（78）,移项，积分：,应用假定（3）知，

4、,纵向位移,92 弹性曲面的微分方程,（2）用挠度 表示主要应变分量,把 代入几何方程（78）,（a）,92 弹性曲面的微分方程,（3）用挠度 表示主要应力分量,由物理方程（92）知,（92）,把（a）代入物理方程,（94）,92 弹性曲面的微分方程,（4）用挠度 表示次要应力分量,利用平衡微分方程（71）的前两式（不考虑体力）,把（94）代入上式,92 弹性曲面的微分方程,将上两式积分,利用应力边界条件确定函数,板上下边界的应力边界条件,表达式为：,（95）,92 弹性曲面的微分方程,（5）用挠度 表示更次要应力分量,利用平衡微分方程（71）的第三式（不考虑体力）,（c）,将应力分量（95）

5、代入（c）,上式对z积分,（e）,92 弹性曲面的微分方程,利用板下板面的边界条件确定待定函数,下板面的应力边界条件：求出 代入（e）,（96）,92 弹性曲面的微分方程,下面推导 的微分方程,其中，是薄板单位面积内的横向载荷，包括横向面力和横向体力。,将 的表达式（96）代入式（f）,（97）,（98）,（99）,D：薄板的弯曲刚度，量纲，（98）：薄板的弹性曲面微分方程,92 弹性曲面的微分方程,小结：,（1）推导过程满足空间问题的平衡微分方程、几何方程和上下板面 的只要应力边界条件。,（3）根据（94）（96）求得应力分量。,（4）弹性曲面微分方程（98）侧面的位移边界条件，构成了薄 板

6、弯曲问题按位移求解的一般提法。,93 薄板横截面上的内力,93 薄板横截面上的内力,图（92）,薄板横截面上的内力（薄板内力）,是指薄板横截面的单位宽度上，由应力合成的主矢量和主矩。,取图（92）所示的微元,xz 面上的应力：,yz 面上的应力：,下面就一个一个分析它们合成的主矢量个主矩,93 薄板横截面上的内力,（1）应力分量,由公式（94）知，合成的主矢量为零；,对中面合成的弯矩,把（94）代入上式,（a）,93 薄板横截面上的内力,（2）应力分量,由公式（94）知，合成的主矢量为零；,应力分量 合成横截面内的扭矩,把（94）代入上式,（b）,93 薄板横截面上的内力,（2）应力分量,应力

7、分量 只可能合成横向剪力，在单位宽度上,将（95）的第一式代入，并对z积分,（c）,93 薄板横截面上的内力,同理，在xz面上（y为常量）也分别合成弯矩、扭矩和横向剪力。,93 薄板横截面上的内力,将（99）代入（a）（f）,（99）,（910）,93 薄板横截面上的内力,薄板内力正负方向的规定,图（93）,93 薄板横截面上的内力,利用（a）（f）消去（94）和（95）中的，把（98）代入（96）,（911）,93 薄板横截面上的内力,应力分量 的最大值发生在板面；,应力分量 的最大值发生在板的中面；,应力分量 的最大值发生在板的上面；,（912）,93 薄板横截面上的内力,图（92）,讨论

8、：,（1）内力是作用在薄板单位宽度上的内力，因此，量纲少一个。,（2）弯应力：；扭应力：横向切应力：挤压应力：,（3）弯应力和扭应力在数值上最大主要应力；横向切应力在数值上较小次要应力；挤压应力在数值上更小更次要应力。,93 薄板横截面上的内力,课内作业：,通过微元的受力分析，给出薄板微元的平衡方程（用内力表示）,要求有：微元的受力分析和推导过程,94边界条件 扭矩的等效剪力,94 边界条件 扭矩的等效剪力,图 94,本节讨论的内容：薄板板边的边界条件,与薄板的上、下板面相比，板边是次要边界条件。因此，在板边可以应用圣维南原理，把应力边界条件代替为内力边界条件，即横向剪力和弯矩的条件。同时，板

9、边的位移边界条件也相应替换成中面的挠度及转角的条件。,下面分类讨论：（1）固定边；（2）简支边；（3）自由边；（4）特殊角点。,94 边界条件 扭矩的等效剪力,图 94,（1）固定边（OA）,挠度为零，转角为零。,（913）,94 边界条件 扭矩的等效剪力,图 94,（2）简支边（OC）,挠度 等于零，弯矩 也等于零。,（a）,利用（910），条件（a）可以用 表示,（b）,化简，得到简支边OC的边界条件,（914）,94 边界条件 扭矩的等效剪力,（3）自由边（AB）,图 94,弯矩：,扭矩：,横向剪力：,94 边界条件 扭矩的等效剪力,图95（扭矩等效成剪力的示意图）,齐尔霍夫指出，薄板任一边界上的的扭矩都可以变换成等效的横向剪力，和原来的横向剪力合并。,等效后自由边的边界条件：,（e）,94 边界条件 扭矩的等效剪力,把（910）代入（e）得到用挠度表达的自由边AB边界条件,（915）,（917）,同理，自由边BC的边界条件,94 边界条件 扭矩的等效剪力,角点B点的补充条件,（919）,如果B点有支座，阻止挠度发生,（920）,作业讲评,注意：内力是单位宽度上的力。,