弹性力学04平面问题的极坐标解答 .ppt
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1、第四章 平面问题的极坐标解答,要点:,(1)极坐标中平面问题的基本方程:,平衡微分方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件,(2)极坐标中平面问题的求解方法及应用,应用:,圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。,4-1 极坐标中的平衡微分方程,4-2 极坐标中的几何方程与物理方程,4-3 极坐标中的应力函数与相容方程,4-4 应力分量的坐标变换式,4-5 轴对称应力与相应的位移,4-6 圆环或圆筒受均布压力,4-7 压力隧洞,4-8 圆孔的孔口应力集中,4-9 半平面体在边界上受法向集中力,4-10 半平面体在边界上受法向分布力,主 要 内 容,4-1 极坐标中的平
2、衡微分方程,1.极坐标中的微元体,体力:,应力:,PA 面,PB 面,BC 面,AC 面,应力符号规定:,正应力 拉为正,压为负;,剪应力 r、的正面上,与坐标方向一致时为正;,r、的负面上,与坐标方向相反时为正。,2.平衡微分方程,考虑微元体平衡(取厚度为1):,将上式化开:,两边同除以:,两边同除以,并略去高阶小量:,剪应力互等定理,两边同除以,当 dr,dq 0 时,有,于是,极坐标下的平衡微分方程为:,(41),方程(41)中包含三个未知量,而只有二个方程,是一次超静定问题,需考虑变形协调条件才能求解。,4-2 极坐标中的几何方程与物理方程,1.几何方程,(1)只有径向位移,无环向位移
3、。,径向线段PA的相对伸长:,(a),径向线段PA的转角:,(b),线段PB的相对伸长:,(c),环向线段PB的转角:,(d),径向线段PA的相对伸长:,(a),径向线段PA的转角:,(b),环向线段PB的相对伸长:,(c),环向线段PB的转角:,(d),剪应变为:,(e),(2)只有环向位移,无径向位移。,径向线段PA的相对伸长:,(f),径向线段PA的转角:,(g),环向线段PB的相对伸长:,环向线段PB的转角:,(h),(i),剪应变为:,(j),径向线段PA的相对伸长:,(f),径向线段PA的转角:,(g),环向线段PB的相对伸长:,(h),环向线段PB的转角:,(i),剪应变为:,(
4、j),(3)总应变,整理得:,(42),极坐标下的几何方程,2.物理方程,平面应力情形:,平面应变情形:,(43),(44),由于极坐标与直角坐标均为正交坐标,故物理方程具有同样形式:,位移边界条件:,应力边界条件:,为边界上已知的位移分量。,为边界上已知的面力分量。,3.边界条件,特别地,对r=常数的边界,应力边界条件简化为:,对q=常数的边界,应力边界条件简化为:,取半径为 a 的半圆分析,由其平衡得:,弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程:,平衡微分方程:,几何方程:,物理方程:,(平面应力情形),边界条件:,位移边界条件:,应力边界条件:,(1)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力
5、分量,(48),4-4 应力分量的坐标变换式,(2)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量,(49),4-3 极坐标中的应力函数与相容方程,1.直角坐标下应力分量与变形协调方程(相容方程),无体力情形下:,应力函数表示的相容方程,(1)极坐标下应力分量 与应力函数 的关系;,(2)极坐标下应力函数 表示的相容方程的形式。,本节要点:,(1)极坐标与直角坐标间的关系:,(2)应力分量的坐标变换:,2.极坐标下的应力分量与变形协调方程(相容方程),(a),(b),(c),再由应力分量的坐标变换式:,比较以上两组表达式后,立即可得:,(45),可以证明:式(45)满足体力为零时的平衡微分方程(
6、41)。,(3)相容方程的坐标变换:,极坐标下应力分量 与应力函数 的关系:,直角坐标下Laplace 算子,在极坐标下Laplace 算子的形式?,(a),(b),将式(a)与(b)相加,得,(3)相容方程的坐标变换:,得到极坐标下的 Laplace 微分算子:,极坐标下的相容方程为:,(46),方程(46)为体力为零情形的相容方程。,注意:,极坐标下应力函数表示的相容方程,弹性力学平面问题的极坐标求解归结为:,小结:,(1),由问题的条件求出满足式(46)的应力函数,(46),(2),由式(45)求出相应的应力分量,(45),(3),位移边界条件:,应力边界条件:,对多连体,有时须考虑位移
7、单值条件。,(4),轴对称应力问题:,(46),由式(45)和(46)得应力分量和相容方程为:,(410),应力分量:,相容方程:,四阶变系数的常微分方程,4-5 轴对称应力与相应的位移,(411),轴对称应力问题的应力函数,其中:A、B、C、D 为待定常数。,1、应力分量,将方程(4-11)代入应力分量表达式,(412),轴对称应力的表达式,对上式积分四次,得:,2.位移分量,对于平面应力问题,有物理方程,(a),积分式(a)中第一式,有,故应力轴对称时,形变也是轴对称的。,(b),为待定函数,将式(b)代入式(a)中第二式,得,将上式积分,得:,(c),为待定函数,将式(b)(c)代入式(
8、a)中第三式,得,或写成:,要使该式成立,两边须为同一常数。,(4-13),(d),(e),式中F 为常数。由式(d)有:,(f),对式(e)两边求导,其解为:,(g),(h),将式(f)(g)(h)代入式(b)(c),最后得,(b),(c),其中 H 为常数。,应力轴对称问题小结:,(411),(1),应力函数,(2),应力分量,(412),(3),位移分量(平面应力),(4-13),式中:A、B、C 由应力边界条件、位移单值条件确定,H、I、K 由位移边界 条件确定(H、I、K 项为刚体位移)。,若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的,则称为轴对称问题。这时,物体内的应力、位移都是轴
9、对称的。,(3),位移分量(平面应力),(4-13),由式(4-13)可以看出:,应力轴对称时位移不一定是轴对称的。,仅当,这时由式(4-13)知轴对称位移为:,4-13(a),轴对称位移的特征为:,时,位移才轴对称。,4-6 圆环或圆筒受均布压力,1.圆环或圆筒受均布压力,已知:,求:应力分布。,轴对称应力分量的表达式:,边界条件:,(a),将式(4-12)代入,有:,(b),式中有三个未知常数,二个方程不能确定。,对于多连体问题,位移须满足位移单值条件。,要使位移单值,须有:B=0,代入式(b),解得,将其代回应力分量式(4-12),有:,(4-14),(1)若:,(压应力),(拉应力),
10、讨论:,特别地,若,具有圆形孔道的无限大弹性体。,应力状态:,(2)若:,(压应力),(压应力),问题:,厚壁圆筒埋在无限大弹性体内,受内压 q 作用,求圆筒的应力。,1.分析:,与以前相比较,相当于两个轴对称问题:,(a)受内压 q、外压 p 作用的厚壁圆筒;,(b)仅受内压 p 作用的无限大弹性体。,确定压力 p 的条件为,在接触面 r=b 上有:,径向位移连续:,径向应力连续:,2.求解,4-7 压力隧洞,注意:本例为平面应变问题。,2.求解,(1)圆筒的应力与边界条件,应力:,(a),边界条件:,(2)无限大弹性体的应力与边界条件,应力:,(b),边界条件:,将式(a)、(b)代入相应
11、的边界条件,得到如下方程:,4个方程不能解5个未知量,,再考虑位移连续条件:,上式也可整理为:,(c),(d),利用:,(e),要使对任意的 成立,须有,(f),对式(f)整理,有,(g),式(g)中:,将式(g)与式(c)(d)联立求解,(4-16),当 n 1 时,应力分布如图所示。,讨论:,(1),压力隧洞问题为最简单的接触问题(面接触)。,完全接触:,接触面间既不互相脱离,也不互相滑动。接触条件为,应力:,位移:,(2),非完全接触:(例如光滑接触),应力:,位移:,接触条件:,由于弹性体中存在小孔,使得孔边的应力远大于无孔时的应力,也远大于距孔稍远处的应力,,4-8 圆孔的孔口应力集
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