自控第5章频率特性.ppt

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1、Automatic Control Theory,自 动 控 制 原 理,第 五 章 线性系统的频域法,5-1 频率特性5-2 典型环节和开环系统频率特性5-3 频域稳定性判据5-4 稳定裕度5-5 频域性能指标,本章主要内容,5-1 频率特性,4,一、频率特性,1、RC电路的正弦稳态输出,A()称幅频特性，()称相频特性。二者统称为频率特性。,把幅值和相位写成一个式子,输出稳态分量的幅值和相位,2、一般系统正弦信号作用下的稳态输入输出,输入信号：,其拉氏变换式,拉氏反变换得,同理,其中,则输出的稳态分量中，幅值和相位为,从而可以看出，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率

2、的正弦信号。,令,二、频率特性的定义,线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。,频率特性表达式为,上述RC网络,其传递函数,频率特性,三、频率特性的几种表示方法,1、幅频特性、相频特性、幅相特性,，,为系统的幅频特性。,为系统的相频特性。,RC网络的幅频特性和相频特性,RC网络的幅相特性曲线,对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线。,对数幅频特性：,对数相频特性:,2、对数频率特性,对数坐标图,对数分度与线性分度,5-2 典型环节和开环频率特性,一、典型环节,1、典型环节的分类,比例环节

3、：K，K0 积分环节：1/s 微分环节：s 惯性环节：1/(Ts+1)，T0 一阶微分环节：(Ts+1)，T0,（1）、最小相环节,分为两大类：最小相环节和非最小相环节。,二阶振荡环节：,（2）、非最小相环节,21,二阶微分环节：,比例环节：K，K0 惯性环节：1/(Ts+1)，T0 一阶微分环节：(Ts+1)，T0,二阶振荡环节：,二阶微分环节：,2、典型环节的性质,22,若系统开环传函可以分成N个典型环节,且每个典型环节频率特性可以表示为,则我们可以看到：,二、典型环节的频率特性,1、各典型环节频率特性图概览,23,（1）幅相曲线,-k,24,惯性环节的幅相曲线,一阶微分环节的幅相曲线,2

4、5,二阶振荡环节的幅相曲线,二阶微分环节的幅相曲线,（最小相位）,（最小相位）,26,二阶振荡环节和二阶微分环节的幅相曲线,（非最小相位）,比例环节,比例环节的频率特性是 G(j)=K K0或K0,对数幅频特性：L()=20lg|G(j)|=20lgK 对数相频特性：()=0,（2）对数频率特性曲线,积分环节,对数频率特性：L()=-20lg()=-90o,微分环节,L()=20lg,()=90o,对数频率特性：,惯性环节,非最小相位惯性环节,0.1,(dB),1,10,0,20,-20,1/T,1jT 的对数坐标图,(o),90,-90,0,0.1,1,10,一阶微分环节,非最小相一阶微分环

5、节,1jT,1+jT,1-jT,振荡环节、非最小相位振荡环节,10,1,10,振荡环节的对数坐标图,/n,0.1,(dB),1,0,40,-20,(o),180,-180,0,0.1,/n,20,32,二阶微分环节非最小相位二阶微分环节,10,1,10,二阶微分环节的对数坐标图,/n,0.1,(dB),1,0,40,-20,(o),180,-180,0,0.1,/n,20,2、典型环节的对数频率特性的性质,33,（1）最小相与其对应的非最小相环节,（2）传函互为倒数的典型环节,比例环节最小相与非最小相幅频特性相同，相频特性差180，即一个0，一个-180；其他环节最小相与非最小相幅频特性相同，

6、相频特性符号相反（关于0线对称），复数幅相曲线关于实轴对称。,对数幅频特性符号相反（关于0dB线对称），相频特性符号相反（关于0线对称）。,（3）振荡环节和二阶微分环节,34,；相频特性从0 单调递减到-180；当 时，。,35,在 附近，出现峰值点：,定义 或对数形式 为谐振峰值，为谐振频率。,36,不同阻尼下二阶振荡环节的对数频率特性图,37,；相频特性从0 单调递增到180；当 时，。,对于二阶微分环节：,在 附近，出现负峰值点：,当 时，函数：,当 时，函数在 单调增。,38,（4）对数幅频特性渐近线,38,对于一阶、二阶各环节对数幅频特性进行渐近化简。,一阶各环节：惯性，微分,一阶惯

7、性、微分环节的渐近线,二阶各环节：振荡，微分,三、开环频率特性,1、开环幅相曲线的绘制,40,对控制系统而言，,幅相曲线起始点,幅相曲线终点,42,（1）系统开环幅相的特点,当频率 0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。当频率 时，若nm，G(j)|=0相角为(m-n)/2。若G(s)中分子含有s因子环节，其G(j)曲线随 变化时发生弯曲。G(j)曲线与负实轴的交点，是一个关键点。此点对应值称穿越频率，记为x。,43,（2）当系统开环传递函数不包含积分 环节和微分环节,系统开环幅相特性曲线,44,（3）当系统开环传递函数分子有一阶微分环节,取m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线,

8、开环幅相特性曲线出现凹凸,45,（4）当开环传递函数有积分环节时,含有积分环节时的开环幅相特性曲线,频率趋于零时，幅值趋于无穷大,2、开环对数频率特性曲线的绘制,46,系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。,系统开环对数幅频与对数相频表达式为（4个典型环节）,例5-1 系统开环传递函数,47,绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。,解：,48,若开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。,49,绘制开环系统的波特图：,将写成典型环节之积；找出各环节的转角频率；画出各环节的渐

9、近线；在转角频率处修正渐近线得各环节曲线；将各环节曲线相加即得波特图。,例5-2,50,五个基本环节,令,系统稳定。,一般的近似对数幅频曲线有如下特点(重点掌握)：,（2）在等于1时，最左端直线或其延长线(当w1的频率范围内有交接频率时)的分贝值是20 1gK。,（3）在交接频率处，曲线斜率发生改变,改变多少取决于典型环节种类。在惯性环节后,斜率减少20dB/dec;而在振荡环节后,斜率减少40dB/dec。,（1）最左端直线斜率为-20 dB/dec,这里是积分环节数。,例5-3 已知系统开环传递函数为,解：绘出开环对数渐近幅频曲线如下。,四、最小相角系统和非最小相角系统的区别,1、定义,幅

10、频特性相同，但对数相频曲线却不相同。,最小相角系统的幅频特性和相频特性能一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。,最小相角(相位)系统的零点、极点均在s平面的左半闭平面，在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。,2、由相频特性写其最小相系统传函,59,例5-4 已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。,61,5-3 频域稳定性判据,1、辅助函数,一、引言,闭环传递函数,记辅助函数,反馈控制系统中，G(s)和H(s)是两个多项式之比,如果G(s)和H(s)无极点和零点对消,则系统开环传递函数,(1)幅角原理,在F平面上任选一条闭合曲线，且不通过F(s)

11、的任一零点和极点，从闭合曲线上任一点A起，顺时针沿运动一周，再回到A点，则相应地，F(s)平面上亦从点F(A)起，到F(A)点亦形成一条闭合曲线F。为讨论方便，取F(s)为下述简单形式：,67,b)、零点和极点个数相同;,c)、F(s)和 G(s)H(s)只差常数 1。,式中 zi 和 pi 分别为 F(s)的零点和极点。,由上,辅助函数 F(s)具有如下特点:,a)、其零点和极点分别是闭环和开环特征根;,物理系统中开环传递函数分子的最高次幂必小于分母的最高次幂,故 F(s)可改写为,1,68,辅助函数 F(s)和 G(s)H(s)关系曲线,F(s),G(s)H(s),-1,j,2、幅角原理,

12、69,若R为负,表示F(s)曲线绕原点顺时针转过的圈数。,如果封闭曲线 内有Z个F(s)的零点，有P个F(s)的极点，则s依 顺时针转一圈时，在F(s)平面上，F(s)曲线绕原点逆时针转的圈数R为P和Z之差，即RPZ,例5-5 设系统开环传递函数为,试绘制系统开环概略幅相曲线。解：系统开环频率特性为,74,二、乃奎斯特稳定判据,1、判据推理,上式确定了系统开环频率特性和闭环特征式之间的关系。,（1）幅角原理中，如果把 s 平面虚轴和半径 为无穷的右半圆取为闭曲线 s,那么 s 就扩大为包括虚轴的整个右半 s 平面.幅角原理中的 P和 Z 则分别表示辅助函数 F(s)位于右半 s 平面的极点和零

13、点数.,76,（2）鉴于辅助函数 F(s)的第三个特点,F(s)曲线绕原点逆时针转过的圈数 R 就是开环传递函数 G(s)H(s)曲线绕(-1,j0)点逆时针转过的圈数.,奈氏定理 当 时，系统开环幅相特性曲线 GH 逆时针包围 点的圈数R是位于s右半闭平面开环特征根数P与位于s右半闭平面闭环极点N之差。,当，开环幅相特性曲线 GH称作是Nyquist曲线,2、稳定性判据,77,奈氏判据（2）：若开环系统稳定性(P=0),则闭环系统的稳定性的充要条件是：系统开环幅相频率特性曲线不包围(-1,j0)点，否则闭环系统不稳定。,奈氏判据（1）：反馈控制系统稳定的充要条件是奈氏曲线逆时针包围临界点的圈

14、数 R 等于开环传递函数右半 s 平面的极点数 P,即 R=P;否则闭环系统不稳定,闭环正实部特征根个数 Z 可按下式确定,78,奈氏判据有如下特点:,应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性.开环频率特性曲线可以按开环频率特性绘制,也可以全部(或部分)由实验方法绘制;,便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响;,很容易研究包含延迟环节系统的稳定性;,奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。,例5-5 一单位反馈系统,其开环传递函数,79,试用奈氏判据判断系统稳定性,解:开环频率特性为,开环福相曲线为图中的下半圆,当 时为图中的上半圆,今P=1,R=1,故系统稳定.,3、开环系统临界稳定

15、时奈氏判据的应用,80,若开环传递函数G(s)H(s)包含虚轴上的极点,则闭曲线 s 应稍作变动,使其不过此极点.例如G(s)H(s)包含积分环节时,习惯上以半径 趋于零的半圆在原点右侧绕过这一极点,小半圆通过G(s)H(s)映射到G(s)H(s)平面的象是半径趋于无穷的半圆.,0,81,用奈氏判据判断反馈系统稳定性时,一般只需绘制 从 0 到 时的开环幅相曲线,然后按其包围临界点圈数 N(逆时针方向包围时,N 为正;顺时针方向包围时,N 为负)和开环传递函数在右半 s 平面上的极点数 P,根据公式,确定闭环特征方程正实部根的个数.如果 Z 为零,闭环系统稳定;否则,闭环系统不稳定.,如果开环

16、传递函数G(s)H(s)包含积分环节,且假定个数为 v,则绘制开环幅相曲线后,应从与频率 0+对应的点开始,逆时针方向补画 v/4 个半径无穷大的圆.,例5-6 一单位反馈系统，其开环传递函数(5-19),82,试确定使系统稳定性的K值范围。,令,试探法,例5-7 已知稳定的开环系统G(s)如图(a)所示，其奈 奎斯特曲线如图(b)。问（1）闭环系统稳定吗？（2）定量确定使闭环系统稳定的K值范围。,解（1）开环系统G(s)在s右半平面无极点。（2）K的稳定区域为：25K10000,K10,例5-7 一单位反馈系统，其开环传递函数,87,解:系统的开环福相曲线如图示.图中,虚线是按 v=2 从福

17、相曲线 为 0+点逆时针方向补画的半圆.,由福相曲线看到,曲线顺时针包围(-1,j0)点一圈,即N=-1,而开环传递函数右半 s 平面的极点数为零,即 P=0.因此,闭环特征方程正实部根个数,故闭环系统不稳定.,试用奈氏判据判断系统稳定性。,三、对数频率稳定判据,1、对数频率特性曲线与Nyquist图的对应,88,对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同,只不过它按对数幅频和对数相频曲线的相互关系来确定 N 而已.,幅相曲线对临界点包围的圈数与正负穿越次数差相对应.,Nyquist幅相曲线自上而下(相角增加)穿越负实轴区间(-,-1)称为正穿越,用 N+表示,自实轴区间(-,-1)上开始向下称为半次

18、正穿越;幅相曲线自下向上(相角减小)穿越负实轴区间(-,-1)称为负穿越,用 N-表示,自实轴区间(-,-1)上开始向上为半次负穿越;则,89,增大时,相角增加的穿越为正穿越(从-1800 线开始的正穿越为半次正穿越),以 N+表示;相角减小的穿越为负穿越(从-1800线开始的负穿越为半次负穿越),以 N-表示.,90,当开环传函G(s)H(s)包含积分环节时,在对数相频曲线 为 0+的地方,应该补画一条从相角 到 的虚线,其中 v 是积分环节数.计算正、负穿越时,应将补上的虚线看成对数相频曲线的一部分.,例5-8 一反馈控制系统，其开环传递函数,91,解:G(s)H(s)有两个积分环节,故在

19、对数相频曲线 为 0+处,补画了00到-1800的虚线,作为对数相频曲线的一部分.显见,根据,P=0.由于,该系统不稳定,闭环特征方程在右半 s 平面的根数为 2.,2、对数频率稳定判据,92,一个反馈控制系统,其闭环特征方程正实部根个数 Z,可以根据开环传递函数右半 s 平面极点数 P 和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内,对数相频曲线与-1800线的正、负穿越数之差 N=N+-N-确定,Z 为零,闭环系统稳定;否则,不稳定.,四、条件稳定系统,1、系统参数变化对稳定性影响,93,若开环增益增加到足够大,以致,那么,系统就由稳定状态变为不稳定状态;如果开环传递系数减到足够小,以致于,那么

20、,闭环系统也由稳定状态变为不稳定状态.,一个反馈系统,若开环传递函数右半 s 平面的极点数 P=0,开环频率特性曲线在开环传递系数(即开环增益)改变时,闭环系统的稳定性将发生变化.,2、条件稳定,94,只有开环传递系数在一定范围内时,N 才等于零,闭环系统才稳定.这一系统的稳定是有条件的,称为条件稳定系统.,对于条件稳定系统来说,输入信号过大时往往会出现不稳定现象.这是由于输入信号过大会引起输出饱和现象发生,导致系统开环传递系数下降.,5-4 稳定裕度,一、临界稳定,一般情况下,我们考虑开环稳定的系统,则P=0。那么在Nyquist曲线只有不包围(-1,j0)时系统闭环稳定。当幅相曲线经过这点

21、时，系统临界稳定。,定义：使得幅相曲线穿越实轴的频率g为穿越频率。幅频特性为1的频率为截止频率。,G(jx)H(jx)=-180|G(jc)H(jc)|=1,二、稳定裕度,97,其中，g为穿越频率。其定义的含义：如果系统的开环传递系数增大到原来的h倍，则系统处于临界稳定状态。,h称为幅值裕度,98,其中，c为系统截止频率。其定义的含义：如果系统对频率为截止频率的信号的相角滞后再增大度，则系统处于临界稳定状态。,系统稳定，则 h1、0。,称为相位裕度,5-5 闭环频率特性,100,一、闭环频率特性曲线绘制的方法,等M圆和等N圆尼柯尔斯曲线,注意：尼柯尔斯图是根据单位负反馈结构绘制的，若系统不是单位反馈结构，则必须进行适当的变换之后才能运用此图。,如何利用闭环频率特性分析动态响应时域指标估算中利用的对应关系,二、时域性能指标与频域性能指标的关系,本章作业,103,5-2、5-3、5-45-6、5-11（1）（3）5-9、5-14（1）（2）（3）5-215-23,