自动控制理论概述.ppt
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1、自动控制理论_第五章,下一张,最后一张,结束授课,返回首页,参考教材绪论主要参考资料第一章 自动控制系统绪论第二章 自动控制系统的数学模型第三章 自动控制系统的时域分析第四章 根轨迹法第五章 频率法分析第六章 控制系统的综合校正第七章 非线性控制系统分析第八章 线性离散控制系统,第五章 控制系统的频率法分析第一节 频率特性的基本概念第二节 极坐标图第三节 对数坐标图第四节 系统稳定性分析第五节 闭环系统频率特性第六节 闭环频率特性与时域性能分析第七节 系统传递函数的实验确定法本章小节、重点和练习题,第02页,第五章 频率响应法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,频率响应法是二十世纪三
2、十年代发展起来的一种经典工程实用方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图解方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设计。频率法用于分析和设计系统有如下优点:,第一节 频率特性的基本概念,从讨论系统在正弦信号作用下的稳态响应出发,把握频率特性的基本概念。一、对正弦输入信号的稳态输出 设r(t)为正弦信号,作用于线性定常系统(s),输出响应为c(t)。,r(t)Rsin(t),拉氏变换为:,(1)不必求解系统的特征根,采用较为简单的图解方法就可研究系统的稳定性。(2)系统的频率特性可用实验方法测出。(3)用频率法设计系统,可以忽略噪声的影响。本章主要讨论频率响应法的基本概念、典型环节及系统频率
3、特性的求法、频率特性与时域响应的关系和闭环系统的频率特性等。,第03页,利用拉氏变换法可求出系统响应的稳态值为:,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,可见,系统输入为正弦信号时,输出的稳态响应(正弦稳态响应)也是一个正弦信号。其频率与输入信号相同,幅值等于输入信号的幅值R与|(j)|的乘积;而初相角则等于输入信号的初相角与系统相角的叠加,相角的变化与输入正弦信号角频率有关。,【例5-1】某单位反馈控制系统得开环传递函数为G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=sin t时系统的稳态输出 解 首先求出系统的闭环传递函数(s),令s=j 得,如=2,则(j2)=0.35-4
4、5o,则系统稳态输出为:c(t)=0.35sin(2t-45o),第04页,二、频率特性的定义,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,式中,A()是稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比,称为幅频特性。()是稳态输出信号的相角与输入信号相角之差(相移),称为相频特性。(j)则称为幅相频率特性。(j)的幅值和相位均随输入正弦信号角频率的变化而变化。在系统闭环传递函数(s)中,令s=j,即可得到系统的频率特性。有开环频率特性与闭环频率特性之分。,1、频率响应 在正弦输入信号作用下,系统输出的稳态值称为系统的频率响应,记为c(t)2、频率特性 系统频率响应c(t)与输入正弦信号r(t)的复数比
5、称为系统的频率特性,是随输入正弦信号角频率变化而变化的复变函数,记为(j),即,第05 页,三、频率特性表示法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,频率特性可用解析式或图形来表示。(一)解析表示,系统开环频率特性可用以下解析式表示,幅频-相频形式:指数形式(极坐标):三角函数形式:实频-虚频形式:,(二)系统频率特性常用的图解形式 1.极坐标图奈奎斯特图(Nyqusit)系统频率特性为幅频-相频形式,当在0变化时,相量G(j)H(j)的幅值和相角随而变化,与此对应的相量G(j)H(j)的端点在复平面 G(j)H(j)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或 Nyqusit曲线。画有 Nyqus
6、it曲线的坐标图称为极坐标图或Nyqusit图。,第06 页,【例5-2】绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的幅相频率特性图。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,解 写出频率特性的表达式,可以证明,G(j)H(j)的实部和虚部满足下式:,上式表明,系统幅相频率特性曲线是G(j)H(j)平面上以(1/2,0j)为圆心,1/2为半径的下半圆(因相角总小于零)。绘制出的幅相频率特性曲线如右图所示。,第07 页,2.对数坐标图伯德图(Bode),第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,对数相频特性记为,单位为分贝(dB),对数幅频特性记为,单位为弧度(rad),【例5-3】绘制G
7、(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的对数幅频和对数相频特性曲线(Bode图)。,解 由,得,如将系统频率特性G(j)的幅值和相角分别绘在半对数坐标图上,分别得到对数幅频特性曲线(纵轴:对幅值取分贝数后进行分度;横轴:对频率取以10为底的对数后进行分度)和相频特性曲线(纵轴:对相角进行线性分度;横轴:对频率取以10为底的对数后进行分度),合称为伯德图(Bode图)。,第08页,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,当从0变化到 时,分别绘制Bode图如下:,工程实践中,一般采用分段直线(渐近线)来绘制系统对数幅频特性曲线L(),用取有限个频率点计算相角并描绘曲线的方法绘制()曲线。必要时
8、在一些特殊频段进行修正。例如前例中,当1/T时,L()近似为平行于横轴,高度为0dB的一条直线;当 1/T时,L()=20lg T,是一条频率每增加10倍,幅值就下降20dB的直线。该直线的斜率记为-20dB/dec。,=1/T时,前述两条直线相交,=1/T称为转折频率。用上述近似方法产生的最大误差为-3.03dB,发生在转折频率处。,第09页,第二节 极坐标图 本节主要讨论典型环节以及一般开环系统的极坐标(Nyqusit)图的画法。一、典型环节的极坐标图,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1.比例环节 幅相频率特性是一个与频率无关的常量,幅值为K(实轴上一点),相角为零。2.积分环
9、节 幅相频率特性与负虚轴重合,由0到变化时,幅值由到零,相角始终为-90o。3.微分环节 幅相频率特性与正虚轴重合,由0到变化时,幅值由0到,相角始终为90o。4.惯性环节 幅相频率特性为一个下半圆,当 由0到变化时,幅相特性起于实轴上K点,终止于坐标原点。5.一阶微分环节 幅相频率特性是一条平行于正虚轴的射线,当由0到变化时,幅相频率特性起于 10点指向 90o。6.振荡环节 幅相频率特性图为一不规则的圆弧。当由0到变化时,频率特性起于正实轴上(1,0j)点,终止于坐标原点。圆弧线随由1到0时幅值变大,当=1/T=n时,交虚轴于1/2处。,第10页,7.二阶微分环节 幅相频率特性为起于实轴上
10、1 0o点,由0到变化时,频率特性向左上方延伸指向180o处。8.滞后(延迟)环节 幅相频率特性为圆心在坐标原点、半径为1的单位圆。当由0到变化时,特性曲线由10o点顺时针方向旋转,相角(为负值)不断增加而幅值恒为1。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,表5-1给出了典型环节及其极坐标图。,第11 页,续表,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,第12页,二、开环控制系统的极坐标图,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1.将系统开环传递函数按典型环节分解为,Gi(S)(i=1,2,)除K/sv外的其他典型环节。,2.确定幅相曲线的起点和终点 幅相曲线的起点为G(j0+)
11、H(j0+),终点为G(j)H(j)。,(1)起点=0+(即低频段),除比例、积分和微分环节外,其他典型环节的频率特性在起点处有Gi(j0)H(j0+)=1ej0+。故与系统的类型有关,见右图。一般有,一般工业控制系统都是由多个环节组成的,若逐点计算绘图将十分繁琐,以下介绍工程常用的绘制概略幅相曲线的方法,主要步骤为:,第13 页,幅相特性曲线的起点有以下结论:,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,有时需要求取幅相特性的低频渐近线,(2)终点(即高频段),此时频率特性的幅值与分子和分母多项式的阶次差(n-m)值有关。对于实际物理系统总有nm,由式(4-4)可得,n1,m1为开环传函中正
12、实部零极点数,第14 页,3确定幅相曲线与实轴、虚轴的交点及中频段的其他特征点,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(1)曲线与实轴交点坐标的求取,令虚部为零,即 或,求出,代入实部ReG(j)H(j)中,可得幅相曲线与实轴的交点坐标。,(2)曲线与虚轴交点坐标的求取。同理令ReG(j)H(j)=0,可确定曲线与虚轴的交点坐标。,(3)列表计算一些中、高频段的频率点坐标,(4)逐点描绘幅相特性曲线,系统幅相特性曲线与负实轴的交点坐标是判定系统稳定的关键因素,而与实轴的交点可用于确定中频段的位置,中频段的形状主要由频率特性的分子、分母中各因子的时间常数决定。,第15 页,【例5-4】设系
13、统开环频率特性为 试绘制系统的极坐标图,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,解 本系统m=0,n-m=3,=1 低频段0+时,G(j)H(j)=-90o,具有-2.5的低频渐近线。高频段 时,G(j)H(j)=0-90o 3,中频段:令ImG(j)H(j)=0,求出=10,取=10 代入ReG(j)H(j)=-0.4可知与实轴交点坐标为(-0.4,j0)。由ReG(j)H(j)=0,可得=,表明幅相特性曲线仅在坐标原点处与虚轴相交。,将以上特征点概略地绘制如右图,第16页,第三节 对数坐标图,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,一、对数坐标图(Bode图)及其特点 对数频率特性
14、图(Bode图)将幅频和相频特性分别画出,并按对数分度或运算,使系统的分析和设计变得十分简便。,1.伯德(Bode)图的构成 对数幅频特性图的横坐标是对取以10为底的对数进行分度的,而纵坐标是对幅值分贝(dB)数进行分度,用L()表示。则有,对数相频特性图的横坐标分度方法同对数幅频特性,而纵坐标则对相角进行线性分度,单位为度(o),仍用()表示。上述方法构成的半对数坐标如下,本节介绍典型环节以及一般开环系统的对数坐标(Bode)图的画法。,第17页,2Bode图法的特点 Bode图在控制工程设计和综合中,具有以下优点。,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(1)横坐标按频率取对数分度,
15、低频部分分辨率高,而高频部分分辨粗略。与对实际控制系统(一般为低频系统)的频率分辨要求吻合。(2)幅频特性取分贝数20Lg|G(s)H(s)|后,使各因子间的乘除运算变为加减运算,在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加,大大简化了作图过程,使系统设计和分析变得容易。(3)可采用由直线段构成的渐近特性(或稍加修正)代替精确Bode图,使绘图十分简便。(4)在控制系统的设计和调试中,开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状,只会使幅频特性曲线作上下平移。,二、典型环节的对数坐标图 1.比例环节(K),第18页,2.积分环节(1/s),第一张,上一张,下一张,最后一张
16、,结束授课,3.微分环节(s),第19 页,4.惯性环节(,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,),(1)对数幅频特性 a.低频段近似特性为:L()=0 dB;b.高频段近似特性为:L()=-20 lg T;c.=1/T处的近似特性为:L(1/T)=0 dB,精确特性为-3.03dB。,(2)对数相频特性 a.精确相频特性为:()=-arctg(T);b.近似特性分为三段:低频段:10/T,()=-90o;中频段为一条过(1/T)=-45o的斜线。,第20 页,与arc tg 的对照表,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,5一阶微分环节(TS1),与一阶惯性环节的幅频特性、相频
17、特性对称于频率轴。L()的高频段斜率为+20dB/dec。,第21 页,6二阶振荡环节(,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,),(1)对数幅频特性,1)低频段T1,L()0(dB),2)高频段T1,L()-20lg(T)2=-40lg T(dB),这两条线的交点为T=1,一般可用上述两条直线近似表示L()曲线,3)中频段(0.1T10)形状与 密切相关,必要时可根据图4-16(a)精确绘出。,第22页,(2)二阶振荡环节的相频特性,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1)低频段T1,()0 o,2)高频段T1,()-180 o,3)中频段(0.1T10),(1/T)=-90
18、o,形状与 密切相关,越小,陡度越大,可根据右图精确绘制。,第23页,7.二阶微分环节(,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,与二阶振荡系统Bode图对称于频率轴。,),8延迟(滞后)环节(1e-TDs),第24页,三、开环系统Bode图的绘图方法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,控制系统一般由多个环节组成,在绘制系统Bode图时,应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式,再逐步绘制。常用方法有三种。,(一)环节曲线叠加法 绘制步骤概括如下:(1)将系统开环频率特性写为各个典型环节乘积形式,确定各环节的转折频率(如果有的话);(2)将各环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别
19、画于半对数坐标纸上;(3)将各环节幅频特性曲线进行叠加(在各转折点处各环节幅值数相加),求得开环对数幅频特性曲线;(4)将各环节相频特性曲线进行叠加(选取若干个值,将各环节在此处的相频数值叠加),求得开环对数相频特性曲线;(5)如需要精确对数幅频特性,则可在各转折频率处加以修正。,【例5-5】设系统开环传递函数为:,试绘制其开环对数频率特性图。,第25 页,解(1)系统开环频率特性可写为,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(2)将以上五个环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别绘于右图,(3)将L1()L5()叠加,求得开环对数幅频特性曲线L(),(4)将1()5()叠加,得开环对数相频
20、特性曲线(),第26 页,(二)顺序斜率叠加法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(1)将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式,确定各环节的转折频率(如果有的话),并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上;,本方法不必将各个典型环节的L()绘出,而使用从低频到高频逐次变换斜率的方法绘出L()曲线,()曲线可用前述办法或计算法绘制,【例5-6】设系统开环传递函数为,试绘制开环系统对数频率特性曲线。,绘制步骤概括如下:,(2)绘制L()的低频段渐近线;a.如为0型系统,低频段平行于频率轴,高度为20lgK;b.如为I型以上系统,则低频段(或其延长线)在=1处的幅值也为20lg
21、K,斜率为-20 dB/dec;,(3)按转折频率由低频到高频的顺序,在低频渐近线的基础上,每遇到一个转角频率,根据环节的性质改变渐近线斜率,绘制渐近线,直到绘出转折频率最高的环节为止。最后一段渐近线的斜率应为-20(n-m)dB/dec,可用该公式验证变换过程;,(4)必要时应对L()曲线进行修正。,第27 页,解(1)先将传递函数化成Bode图的标准式,则原系统开环传递函数变为:,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(2)将各环节的转角频率由低到高依次标于轴上,如下图所示。,(3)绘制低频渐近线。由于是I型系统,=1处的幅值为20lgK=17.5(dB)。以此点为基准绘制系统低频部
22、分渐近线,是一条斜率为-20dB/dec的直线。,(4)由低频到高频顺序绘出对数幅频特性渐近线。在低频渐近线的基础上,每遇到一个环节的转折频率,根据该环节的性质作一次斜率变化,直至最后一个环节完成为止。,(5)必要时对渐近线进行修正,画出精确的对数幅频特性。,第28页,(三)计算法,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,四、最小相位系统和非最小相位系统,根据系统开环频率特性G(j)H(j),写出相应的对数幅频和相频特性表达式L()和(),依次代入若干个值(一般从最低转折频率的1/10开始到最高转折频率的10倍取值),分别计算不同的L()和()值,逐点描绘,即可绘制出系统的对数频率特性曲线
23、。该方法常用于计算和绘制()曲线。,(1)如果系统开环传递函数在右半S平面上没有极点和零点,则称该系统为最小相位系统,如,(2)系统的开环传递函数在右半S平面上有一个(或多个)零、极点,则该系统称为非最小相位系统。这意味着开环系统不稳定,第29页,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,(4)非最小相位一般由两种情况产生:系统内包含有非最小相位元件(如延迟因子);内环不稳定。,(5)最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系(波德定理),(3)具有相同幅值的两个系统,最小相位系统的相角变化范围最小。由0时,一个最小相位系统的相角变化范围为(-90o)到(n-m)(-90o),而非最小相
24、位系统的相角变化范围则较大。如,第30页,五、系统开环对数频率特性与闭环系统稳态误差的关系,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,1.0型系统,2.I型系统,对右下图I型系统Bode图,低频段渐近线斜率为-20dB/dec。有两种情况:(1)低频段或低频段延长线与0dB线相交,则交点处的频率=Kv;(2)低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为20lg Kv。,前述已知,在一定输入信号作用下,控制系统的稳态误差与系统结构(类型)及开环放大系数K值有关。通过分析给定的开环对数幅频特性曲线(Bode图),可确定系统的误差系数,从而求出稳态误差。由拉氏变换的初值定理可知,控制系统的稳态性能
25、应从频率特性的低频段去求取。,对类似右图所示的0型系统的Bode图,通过低频段高度L(0)=20lgKp(dB),可求出Kp=10L(0)/20,计算出系统稳态误差。,第31 页,3.II型系统,第一张,上一张,下一张,最后一张,结束授课,下图所示为II型系统Bode图,低频段渐近线的斜率为-40dB/dec,也有两种不同情况:(1)低频段渐近线或低频段渐近线的延长线与0dB线相交,则交点处的频率=Ka1/2;(2)低频段或低频段的延长线在=1时的幅值为20lg Ka,第32页,【例5-7】有 I型系统如下图所示。试证明:(1)斜率为-20dBdec的起始线(或,第一张,上一张,下一张,最后一
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