自动控制原理控制系统的时域分析与综合.ppt

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1、1,第三章 控制系统的时域分析与综合,3.1 引言,控制系统设计的两个主要任务,控制系统的分析,控制系统的综合,2,分析,计算控制系统的各项性能指标，,判断其是否满足设计要求。,综合,寻求改进系统性能并使它满足设计要求的方法。,3,本章所采用的方法和步骤：,给出闭环控制系统的传递函数；,用公式 求出系统输出信号的拉氏变换式，,根据 分析系统的稳定性、动态过程品质和稳态误差，,得出系统性能是否满足设计要求的判断；,4,从步骤3的分析中可以看出系统性能和传递函数之间的关系，,从而可以省去步骤2，,根据控制系统的设计要求，推导出系统传递函数应该具有的形式以及参数的适当取值范围，,从而得出改进系统性能

2、的方法。,5,3.2 典型输入信号,控制系统在实际工作时，其输入信号不是预知的。,典型输入信号用来对控制系统性能评价提供一个参考标准。,典型输入信号应具有以下特点：,能够反映控制系统在某一方面的性质，如,快速性、平稳性、稳态精度；,具有简单的函数形式，并且易于产生，以便于控制系统的实验和测试；,6,它的拉氏变换应具有简单的形式，以便于求得系统的输出信号。,常用的典型输入信号有以下几种：,单位阶跃函数,7,单位阶跃信号的拉氏变换：,系统的单位阶跃响应能够反映系统的快速性和动态过程的平稳性。,8,单位匀速函数,表达式：,拉氏变换：,又称单位斜坡信号。,9,系统的单位斜坡响应能够反映系统在跟踪匀速变

3、化信号时的性能。,10,单位加速度函数,表达式：,拉氏变换：,11,单位加速度信号,12,单位脉冲函数,又称理想脉冲函数。,表达式：,13,拉氏变换：,用单位脉冲函数作为输入信号可以反映出系统受到冲击或瞬时干扰情况下的品质。,近似的单位脉冲函数,14,正弦函数,表达式：,拉氏变换：,正弦信号具有无穷阶连续导数。,15,3.3 一阶系统的时域分析,3.3.1 一阶系统的数学模型,液位系统的例子,系统的输入信号（电压）：,系统的输出信号（液位）：,系统的被控制量。,16,由上图画出系统的方块图：,17,各变量之间的关系：,差动放大器,流量调节阀,水位,水池横截面积,反馈电位计,18,根据方块图求出

4、闭环系统的传递函数：,19,本节研究具有普遍意义的一阶系统：,时间常数,研究其在典型输入信号作用下的响应，,设系统的初始条件为零。,20,3.3.2 一阶系统的单位阶跃响应,当输入信号为单位阶跃信号 时，,一阶系统的输出信号 称为一阶系统的单位阶跃响应。,其拉氏变换为,21,求拉氏反变换得：,22,23,一般认为，当 的值与其稳态值的差小于一定的允许值后，便可认为动态过程结束。,减小时间常数。,24,只要极点在复数平面的左半平面，,系统即是稳定的。,极点离虚轴越远，系统的快速性越好。,有两种方法求得系统的时间常数：,25,3.3.3 一阶系统的单位脉冲响应,当输入信号为单位脉冲信号 时，,一阶

5、系统的输出信号 称为一阶系统的单位脉冲响应。,其拉氏变换为,求拉氏反变换得：,26,27,28,29,线性定常系统,30,3.3.4 一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡信号，,其拉氏变换,输出信号的拉氏变换：,31,求拉氏反变换，得输出信号：,32,33,34,一阶系统的单位斜坡响应的稳态值为：,一阶系统在跟踪单位斜坡信号时具有稳态误差，,其数值等于系统的时间常数T。,对一阶系统而言，减小时间常数T，既可以提高系统的快速性，又可以减小系统对斜坡信号的跟踪误差。,35,3.3.5 一阶系统的单位加速度响应,单位匀加速信号：,其拉氏变换：,输出信号的拉氏变换：,36,求拉氏反变换，得输出信号：,37

6、,系统的跟踪误差：,38,系统的跟踪误差随着时间的增大而增大，直至发散。,对一阶系统而言，不能实现对加速度信号的跟踪。,39,3.3.6 线性定常系统的一个重要特性,40,上述关系不仅适用于一阶系统，而且也适用于其他阶次的系统。,线性定常系统的一个重要特性,41,本次课内容总结,典型输入信号,一阶系统的时域分析,一阶系统的数学模型,一阶系统的单位阶跃响应,一阶系统的单位脉冲响应,一阶系统的单位斜坡响应,一阶系统的单位加速度响应,线性定常系统的一个重要特性,42,3.4 二阶系统的时域分析,3.4.1 二阶系统的数学模型,电动伺服系统原理图,43,上述电动伺服系统的输入信号是：,输入电位计的转角

7、,输出信号是：,机械负载的转角,误差信号是：,44,输入电位计的电压：,输出电位计的电压：,放大器的输入电压：,放大器的输出电压：,45,直流电机电枢的电压-电流方程：,反电势系数,电枢绕组电阻,电枢绕组电感,46,通常很小，,可以忽略，,直流电机电枢的电压-电流方 程可简化为：,直流电机的力矩平衡方程式：,折算到电机轴上的转动惯量,折算到电机轴上的阻力系数,直流电机的力矩系数,47,电机转角和负载转角的关系为：,减速器的传动比,综合以上关系，可得方块图：,48,49,系统的开环传递函数为,其中,50,系统的闭环传递函数为,51,二阶系统的标准传递函数为,开环传递函数,52,(rad/s),（

8、无量纲）,结合前面例子中的电机伺服系统，有：,53,标准形式二阶系统的特征方程为：,它的两个根（闭环极点）是：,54,3.4.2 二阶系统的单位阶跃响应,欠阻尼情形,两个闭环极点是一对共轭虚数，即：,55,系统的闭环传递函数可写为：,56,在单位阶跃信号作用下，,输出的拉氏变换为：,57,求拉氏反变换，,考虑到：,于是可得：,58,求得二阶系统的单位阶跃响应为,暂态分量,稳态分量,59,其中,或,第I象限角,60,无阻尼情形,此时二阶系统的单位阶跃响应为,这是一个等幅振荡，表示无阻尼振荡频率。,61,此时二阶系统的闭环极点为,62,临界阻尼情形,此时二阶系统的闭环极点为,63,求拉氏反变换，得

9、：,在单位阶跃信号作用下，,输出的拉氏变换为：,这是一个单调连续上升过程。,64,类似于一阶系统的单位阶跃响应。,但是在 处的切线斜率不同，,先对二阶系统的单位阶跃响应求导，得：,当 时，切线斜率为零。,65,过阻尼情形,此时二阶系统的闭环极点为两个不相等的负实数：,66,在单位阶跃信号作用下，,输出的拉氏变换为：,67,其中,68,输出的拉氏反变换为：,69,此阶跃响应包含两个指数衰减项，,两个闭环极点,70,此时该二阶系统的响应可近似为一阶系统的响应：,忽略了极点 及其相应的衰减项以后的结果,71,相应地，该二阶系统的闭环传递函数也可以近似为一阶传递函数：,忽略与极点有关的项,72,另一方

10、面，,73,从数学上可以证明，当 时有,而且 的值越大，两者越接近。,于是,即,74,于是,其中,当 时，这种近似有满意的结果。,75,负阻尼情形,此时二阶系统的单位阶跃响应为,其中,第II象限角,76,77,为比较在不同的 值（）下，二阶系统的单位阶跃响应曲线，先对二阶系统的闭环传递函数作如下处理：,二阶系统的单位阶跃响应比较,78,令，,则闭环传递函数可以改写为,单位阶跃响应曲线如下图所示。,79,80,3.4.3 动态过程的性能指标,动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，是指在输入信号的作用下，系统的输出由初态达到终态的响应过程。,通常情况下，以单位阶跃信号作为输入，来衡量系统响应的动态过程

11、品质。,81,82,第一次达到稳态值所需时间，反映系统的快速性。,上升时间,对于过阻尼系统，也可采用 从稳态值的10%上升到90%所需的时间。,83,过阻尼系统的上升时间,84,峰值时间,超调量,定义：,超调量反映系统动态过程的平稳性。,一阶系统和过阻尼二阶系统无超调量。,85,调整时间,单位阶跃响应达到并保持在稳态值5%或2%的范围内所需的最短时间。,即,5%或2%,以后，即可认为动态过程结束。,反映系统快速性的重要指标。,86,87,振荡次数,在动态过程持续时间内，单位阶跃响应的振荡次数。,在动态过程持续时间内，单位阶跃响应曲线穿越其稳态值的次数的一半。,振荡次数反映系统动态过程的平稳性。

12、,88,在上述5项指标中，最常用的是 和。,超调量，反映平稳性。,调整时间，反映快速性。,89,3.4.4 欠阻尼二阶系统的动态过程指标,研究动态性能指标与传递函数的关系。,上升时间 的计算,当 时，,令,得,90,91,结论：,当阻尼比一定时，上升时间与无阻尼振荡频率 有关。,峰值时间 的计算,对时间 求导数，,并令导数 为零，可得：,92,由于 对应于 的第一个峰值，,故,93,超调量 的计算,94,95,最终得,超调量只与阻尼比有关，而与无阻尼振荡频率无关。,阻尼比越小，超调量越大；反之则越小。,结论：,当 0.4，0.8 时，,相应地 25%，2.5%,96,调整时间 的计算,对于欠阻

13、尼二阶系统，其单位阶跃响应为,这是一个衰减的正弦振荡曲线。,其包络线方程为：,如下图所示。,97,98,包络线的衰减速率取决于，,则,99,按照其包络线计算，有,则,100,101,当 时，,102,当 时，,对于欠阻尼二阶系统，当 时，,可得简化近似式,103,振荡次数 的计算,振荡次数 等于在 时间内系统单位阶跃响应 的振荡次数。,其振荡角频率为,104,其振荡周期为,振荡次数 为：,105,当 时，,同理,当 时，,106,最终可得振荡次数的计算式：,用上式计算得到的振荡次数一般为非整数，,此时振荡次数取整数即可。,107,重要结论,二阶系统具有满意的性能指标,增大，可以提高系统的平稳性

14、，使超调量和振荡次数减少。,增大，可以提高系统的响应速度。,108,举例,对于上一例的电机伺服系统来说，,调整 的值显然是矛盾的，,109,本次课内容总结,二阶系统的单位阶跃响应；,动态过程的性能指标；,欠阻尼二阶系统的动态过程指标。,110,例3-1,已知二阶系统的闭环传递函数为,其中，。,计算系统单位阶跃响应的特征量：,、。,111,解,单位：s,单位：s,112,单位：s,当 时,当 时,单位：s,113,114,例3-2,已知系统的方块图，,要求具有性能指标：，,确定系统参数 和，,115,解,先求得闭环传递函数,其次，,根据,解出,根据,解出,116,根据,解出,计算单位阶跃响应的特

15、征值,117,当 时,当 时,118,例3-3,已知系统的方块图，,该系统能否正常工作？,如果要求，,系统应如何改进？,119,解,根据系统的方块图,求得闭环传递函数,显然，,系统无阻尼，,120,单位阶跃响应,121,这是一个等幅振荡，,不能反映控制信号的规律，,系统不能正常工作。,122,如果要求，,改进后的闭环传递函数：,123,求得反馈系数为,现在，阶跃响应已经变成阻尼比为 的减幅振荡。,超调量为：,124,结论,微分负反馈提高了系统的阻尼程度。,125,3.4.5 二阶系统的单位脉冲响应,系统的单位脉冲响应一般记为：,126,无阻尼（）情形,等幅正弦振荡,127,欠阻尼（）情形,衰减

16、正弦振荡,128,临界阻尼（）情形,129,先单调增、后单调衰减的曲线。,非振荡曲线！,130,过阻尼（）情形,131,可求得,则,132,133,134,对于欠阻尼二阶系统，,135,令，得：,136,得,下面求单位脉冲相应的最大值,137,等于1,代入 的值,138,139,单位阶跃响应的峰值时刻,单位阶跃响应的峰值,欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应,140,单位阶跃响应,单位脉冲响应,欠阻尼二阶系统,141,从上述分析可知：,结论,都是系统的一种数学模型。,所以系统单位脉冲响应和传递函数一样，,142,3.4.6 二阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡信号 的拉氏变换为,二阶系统的单位斜坡响应 的

17、拉氏变换为,可求得,143,的拉氏反变换为,欠阻尼（）情形,144,将、代入,145,上式右边的后两项是衰减项，,其稳态响应为。,结论,二阶系统在跟踪斜坡信号时存在稳态误差。,稳态误差为常值。,146,临界阻尼（）情形,过阻尼（）情形,147,3.5 高阶系统的时域分析,求解高阶控制系统对各种典型输入信号的响应是十分困难的，,一般来说需借助计算机求取数值解。,本节根据高阶系统的单位阶跃响应，找出高阶系统动态响应的特点，进而寻找简化计算的近似方法。,148,3.5.1 高阶系统的阶跃响应,高阶系统的闭环传递函数为,也可以写成零极点的形式,149,它们可以是实数或共轭虚数,假设闭环系统有 对共轭虚

18、数极点，,150,则高阶系统的闭环传递函数还可写为：,151,则高阶系统单位阶跃响应的拉氏变换为,152,求上式的拉氏反变换可得单位阶跃响应：,适当的常系数,153,稳态分量,指数衰减暂态分量,振荡衰减暂态分量,高阶系统的单位阶跃响应由三部分构成：,154,高阶系统单位阶跃响应的特点：,若高阶系统的闭环极点全部具有负实部，,即所有闭环极点全部位于复平面的左半平面，,则单位阶跃响应的暂态分量最终一定衰减为零。,在暂态分量中，,或者说极点离虚轴的远近，,负实部的绝对值越大，或者说极点离虚轴越远，,则这一项暂态分量衰减越快。,155,高阶系统的单位阶跃响应中，,而且也和闭环零点有关。,在复平面上，,

19、如果某一闭环极点靠近某一零点，,而且又与其他极点相距较远，,则相应衰减项系数较小，,对暂态分量的影响也较小。,如果某一对闭环极点、零点非常靠近，,则称为一对偶极子。,156,如果某一闭环零点附近没有极点，,并且离虚轴较近，,则相应项的系数较大，,对暂态过程的影响也较大。,157,3.5.2 高阶系统的闭环主导极点,离虚轴较近的闭环极点,离虚轴较远的闭环极点,对应项的系数较大；,衰减较慢；,对动态过程影响较大。,对应项的系数较小；,衰减较快；,对动态过程影响较小。,极点附近有零点时，,相应项的系数较小，,对动态过程的影响也较小。,158,闭环主导极点,离虚轴最近，,159,高阶系统的动态过程主要

20、取决于闭环主导极点，,所以对于存在闭环主导极点的高阶系统，,160,3.6 用MATLAB做线性系统的时域分析,3.6.1 用MATLAB求解系统的单位阶跃响应,MATLAB给出了下列几种求取单位阶跃响应的方式：,y=step(G,t),要计算的时间点所构成的向量,与时间点相对应的响应值构成的向量,161,y,t=step(G),由系统自动产生,y,t,X=step(G),系统的状态向量,step(G),直接画响应图,162,举例,分析下列系统的单位阶跃响应,编写下列MATLAB文件：,a=1,7,24,24;b=1,10,35,50,24;G=tf(a,b);t=0:0.1:10;y=ste

21、p(G,t);plot(t,y,r-);grid;Y_sd=dcgain(G),163,运行结果如下：,单位阶跃响应曲线,164,step_01Y_sd=1,MATLAB的工作空间,165,3.6.2 用MATLAB求解系统的单位脉冲响应,MATLAB给出了下列函数,impulse(num,den);,impulse(G);,impulse(G,t);,在0,t时间内作出单位脉冲响应曲线,166,举例,给定系统的闭环传递函数,求系统的单位脉冲响应。,编写下列MATLAB文件：,sys=tf(5,8,1,6,10,8);impulse(sys,r-);grid;axis(0,6,-0.1,0.9

22、);,167,运行结果如下：,168,3.6.3 用MATLAB求解系统对任意输入的响应,MATLAB给出了下列函数,Lsim(sys,u,t);,举例,169,编写下列MATLAB文件：,t=0:0.01:5;u=t;sys1=tf(1,1,1,1);sys2=tf(1,1,0.6,1);lsim(sys1,u,t);hold on;lsim(sys2,u,t);grid;legend(sys1,sys2);,170,运行结果如下：,171,本次课内容总结,172,3.7 改善控制系统动态性能的方法,本节只介绍两种简单的时域综合方法，,3.7.1 速度反馈,典型二阶系统的开环传递函数为,如果

23、可以对输出量 的速度信号进行测量，,并将输出量的速度信号反馈到系统的输入端与偏差比较,173,则构成带有速度反馈的二阶系统。,如图,174,系统的闭环传递函数为,其中,引入速度反馈以后，系统的阻尼比比原来的大。,175,从而可以提高系统的各项性能指标。,例3-4,二阶系统的方块图如下,要求闭环系统的超调量，,求放大器的放大倍数和速度反馈系数。,176,解,系统的开环传递函数为,系统的闭环传递函数为,由此可得,177,根据题目给定的性能指标,可以求得，,根据前面得到的,求得，,178,3.7.2 比例+微分控制（PD控制）,179,PD控制器的传递函数,微分信号具有预测作用，有助于改善系统的动态

24、性能。,180,以欠阻尼二阶系统为例，,假设上图中,在没有PD控制作用的情况下，,闭环传递函数为：,即,181,引入PD控制器后的闭环系统传递函数为,182,求得,183,和 属于PD控制器的参数，,只要适当的选取参数 和，,使系统的快速性和平稳性都得以改善。,184,采用PD控制以后，引入了一个闭环零点,闭环零点为：，,在选择参数 和 时，,如果能够保证这个零点 远离虚轴，,则校正后的闭环极点就成为系统的主导极点。,此时可按照标准二阶系统来估算动态性能指标。,185,例3-5,采用PD校正的控制系统如图所示，,要求系统的动态过程指标为：,求PD校正参数 和。,186,解,在没有校正的情况下，

25、,系统的闭环传递函数为,相应的参数为：,可求出相应的指标为，。,可见，动态过程的指标不满足要求。,187,采用PD校正后，系统的闭环传递函数为,其中,相应的参数为：,为了满足指标要求,188,按照标准二阶系统计算，可得,解出,选择,可求得,189,注释,采用PD校正后，系统必然会引入一个零点，,具有零点的二阶系统，,只能作近似估算，,通过仿真来确定参数。,190,3.8 线性系统的稳定性,本节只研究线性定常系统的稳定性。,3.8.1 稳定的基本概念,硬杆摆的例子,平衡点,191,对于线性定常系统,其运动微分方程为,当 时，,其输出及其各阶导数都为零，,则系统会静止在 点。,192,如果对系统施

26、加一个瞬时冲击作用，,其输出信号 最终能够达到，,则认为该线性定常系统是稳定的，,否则认为该线性定常系统是不稳定的。,判断线性定常系统是否稳定的依据是：,单位脉冲响应,193,3.8.2 线性定常系统稳定的充分必要条件,线性定常系统的单位脉冲响应的拉氏变换为,194,相应的闭环极点为,共有 个闭环极点。,195,当且仅当系统的闭环极点全部具有负实部时，,单位脉冲响应,系统是稳定的。,若系统的闭环极点至少有一个具有正实部，,则,系统是不稳定的。,196,若系统的闭环极点至少有一个具有零实部，,则 趋于常数或者是等幅正弦振荡，,系统是临界稳定的。,线性定常系统的稳定性取决于闭环传递函数的极点，,1

27、97,定理,线性定常系统稳定的充分必要条件是：,闭环系统特征方程的根全部具有负实部。,闭环系统传递函数的极点全部位于s平面的左半平面。,在工程上是无意义的。,198,线性定常系统的稳定性取决于系统本身的结构，,是系统的固有属性，,与输入信号无关。,199,3.8.3 劳斯(Routh)稳定判据,劳斯稳定判据的优点在于无需求解高次代数方程，,而直接根据方程的系数来判断其根的分布情况。,闭环系统的特征方程：,如果特征方程同时满足下列3个条件，,劳斯稳定判据,则闭环系统是稳定的。,200,即方程按降幂排列不缺项；,特征方程的各项系数全部都是正实数；,（注：各项系数全部都是负实数的情况可以变换成正实系

28、数方程。）,将特征方程的各项系数排列成劳斯列表，,表中的第一列各元全部大于零。,201,劳斯列表,第一列,202,其中,203,204,劳斯列表的性质,在计算劳斯列表时，,不影响稳定性的判断结果，,劳斯列表第一列各元自上而下符号改变的次数等于,闭环系统特征方程中具有正实部的根的个数。,205,例3-6,控制系统的特征方程为,用劳斯判据判定该系统的稳定性。,解,显然，本例满足劳斯判据的前两条，,下面计算劳斯列表,206,1,3,5,2,4,0,1,5,0,-6,0,5,自上而下符号改变2次，有2个正实部根，系统不稳定。,207,例3-7,控制系统的特征方程为,用劳斯判据判定该系统的稳定性，,解,

29、该特征方程不满足劳斯判据的第二条，,所以系统不稳定。,为了确定正实部根的数目，,必须列出劳斯列表：,208,-6,30,-14,0,30,自上而下符号改变2次，有2个正实部根，系统不稳定。,209,计算劳斯列表时出现的特殊情况,劳斯列表某一行的第一个元为零，,在计算下一行时，会出现分母为零的现象。,解决的方法之一：,令，,构成以为未知数的代数方程，,这个代数方程正实部根的个数与原特征方程的一样。,210,例3-8,控制系统的特征方程为,用劳斯判据判定该系统的稳定性。,解,对原特征方程列写劳斯表：,0,5,以下无法计算,211,令，,得,对此方程列写劳斯表。,212,列写劳斯表：,-1,2,5,

30、2,自上而下符号改变2次，有2个正实部根，系统不稳定。,213,解决的方法之二：,任意正实数,214,在上例中，,对此方程列写劳斯列表。,215,2,9,-5,5,11,5,自上而下符号改变2次，有2个正实部根，系统不稳定。,216,劳斯列表某一行所有元均为零,解决方法,用全零行的上一行系数构造一个辅助方程,并将此方程对s求导数，,然后继续编排劳斯列表。,217,例3-9,控制系统的特征方程为,用劳斯判据判定该系统的稳定性。,解,按照D(s)=0列写劳斯列表：,218,用 行构造一个辅助方程,对s求导数得,继续列写劳斯列表,2,219,劳斯列表的第一列各元全正，,但不能说明系统稳定。,所以系统

31、是临界稳定的。,220,例3-10,例3-10,系统的特征方程为,求该系统正实部特征根的数目。,解,因为特征方程各项的系数有正有负，,所以系统不稳定。,列写劳斯列表：,221,-5,-5,10,各元均除以5,0,0,辅助方程,求导得,-4,-2,2,各元均乘以2,-1,4,-18,4,变号2次，说明有2个正实部特征根。,222,说明特征方程还有一对纯虚根。,223,本次课内容总结,224,3.8.4 用MATLAB分析控制系统的稳定性,用MATLAB判断系统的稳定性是十分方便的，,在MATLAB软件中通过求解特征方程的根即可：,Roots(den),225,例3-11,给定系统的特征方程,判断

32、系统的稳定性。,解,在MATLAB中输入下列命令,den=1,2,8,12,20,16,16;roots(den),226,运行结果,ans=-0.0000+2.0000i-0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i 0.0000+1.4142i 0.0000-1.4142i,存在共轭纯虚根，,系统临界稳定。,227,eig(sys),例3-12,求取如图所示系统的闭环极点，,并判断其稳定性。,228,解,在MATLAB中编写下述m文件,G=tf(1,1,2,4);H=tf(1,1,1);sys=feedback(G,H);p=eig(sys),运

33、行结果,p=-0.8389+1.7544i-0.8389-1.7544i-1.3222,229,3.9 求取保证系统稳定的条件,虽然通过MATLAB软件可以直接求出系统的闭环极点，,比用劳斯判据更加简捷，,为系统设计和调试提供参考。,230,3.9.1 确定某个参数的取值范围,例3-13,某系统的方块图如图所示，,确定参数 的取值范围，,使闭环系统稳定。,231,例3-14,某控制系统的特征方程为,使闭环系统稳定。,确定参数 和 的取值范围，,232,3.9.2 确定某些参数之间的相互关系,例3-15,某单位负反馈系统的开环传递函数为,为使闭环系统稳定，,和 应满足什么关系？,在K-T直角坐标

34、系中画出使闭环系统稳定的区域。,若闭环系统处于临界稳定，,持续振荡频率为1rad/s，,求 和 的值。,233,234,3.9.3 保证系统稳定并且闭环极点远离虚轴,例3-16,某系统的方块图如图所示，,要求闭环系统的极点全部位于直线 的左侧，,试确定参数 的取值范围。,235,本次课内容总结,236,3.10 线性控制系统的稳态误差,控制系统的稳态误差是表征系统性能的一项重要指标。,它表示动态过程结束后，系统的被控制量能否达到期望值或按期望的规律变化。,稳态误差,237,物理元件产生稳态误差的例子,本节只研究系统设计中的原理性稳态误差。,注,只有稳定的控制系统，研究其稳态误差才有意义。,23

35、8,3.10.1 控制系统的误差和稳态误差,负反馈控制系统方块图,239,误差信号的定义：,期望输出,实际输出,在理想的情况下，我们希望,期望反馈,输入信号,240,根据上述方块图可得,期望输出,期望反馈,241,根据上述方块图可得,242,误差信号的拉氏变换为,偏差信号的拉氏变换,243,即,误差,偏差,244,考虑单位负反馈控制系统,245,结论,对于一般的负反馈控制系统,对于单位负反馈控制系统,误差信号等于偏差信号,246,对于单位负反馈控制系统,247,稳态误差的定义：,对于单位负反馈控制系统,248,结论,对于一般的负反馈控制系统,对于单位负反馈控制系统,这两种情形下误差都与系统的数

36、学模型有关。,249,3.10.2 终值定理和稳态误差的计算,考虑单位负反馈控制系统，,开环传递函数为,250,偏差闭环传递函数为,251,单位负反馈系统的误差为,根据稳态误差的定义及拉氏变换的终值定理,252,若典型输入信号拉氏变换 的分母阶次,则上述极限为零，,即：,此时系统也称为 阶无静差系统。,253,单位阶跃输入的稳态误差,定义 为静态位置误差系数。,254,根据,得静态位置误差系数：,255,单位阶跃输入的稳态误差公式,256,结论,的单位负反馈系统，,的单位负反馈系统，,257,在开环传递函数中，,的系统称为0型系统；,的系统称为I型系统；,的系统称为II型系统。,的值对控制系统

37、的稳态误差起着重要作用。,I型系统可以无静差地跟踪阶跃信号。,258,单位斜坡输入的稳态误差,单位斜坡输入,稳态误差,259,定义 为静态速度误差系数。,根据,得静态速度误差系数：,260,单位斜坡输入的稳态误差公式,261,结论,的单位负反馈系统，,的单位负反馈系统，,II型系统可以无静差地跟踪斜坡信号。,262,单位加速度输入的稳态误差,单位加速度输入,稳态误差,定义 为静态加速度误差系数。,263,根据,得静态加速度误差系数：,264,单位加速度输入的稳态误差公式,265,结论,的单位负反馈系统，,266,对比总结,各种典型输入下单位反馈系统的稳态误差,267,系统的三个静态误差系数、,

38、在系统的型别与输入信号的类型相一致的情况下，,就等于系统的开环放大倍数。,静态误差系数与开环放大倍数的关系,系统的型别与输入信号类型一致性的对照,268,通常情况下，稳态误差与开环放大倍数成递减关系。,必须在保证系统稳定的前提下，,269,无论是提高系统的开环放大倍数，还是提高系统的型别，都必须在不对系统的稳定性和动态性能产生不良影响的前提下进行。,如果输入信号是几种典型信号的合成：,根据线性系统的叠加原理，,稳态误差为：,稳态误差与系统的模型及输入信号均有关。,270,3.10.3 干扰信号作用下的稳态误差,线性系统的稳态误差,+,线性系统的叠加原理,输入单独作用下的稳态误差,干扰单独作用下

39、的稳态误差,这两种稳态误差可以单独分离进行研究。,271,在考虑干扰 引起的稳态误差时，,可以令：,在单位反馈系统情形下，,误差等于偏差。,272,干扰,干扰引起的偏差,273,根据拉氏变换的终值定理，可得：,由此就可计算由干扰引起的稳态误差了。,274,例3-18,控制系统如图，,（1）当，时，,求稳态误差；,（3）若要减少，应如何调整 和？,（4）如果分别在扰动点之前和之后加入积分环节，,对系统的稳态误差有何影响？,275,结论,在扰动点之前加入串联积分环节，,在扰动点之后加入串联积分环节，,276,本次课内容总结,干扰信号作用下的稳态误差:,线性控制系统的稳态误差；,终值定理和稳态误差的

40、计算；,各种典型输入下单位反馈系统的稳态误差。,277,例3-19,单位反馈系统的开环传递函数为：,若输入信号为,和 为正常数，,欲使系统的稳态误差（正常数），,求系统各参数应满足的条件。,278,3.10.4 动态误差系数,利用拉氏变换的终值定理求取稳态误差有一定的局限性。,必须满足终值定理的应用条件；,只能求得 时的稳态误差值，,弄不清楚稳态误差是怎样随时间而变化。,有时我们希望搞清楚稳态误差随时间而变化的规律，,动态误差系数法可以解决这一问题。,279,对于单位负反馈系统,其偏差信号就等于误差信号：,其中偏差闭环传递函数：,280,在 的邻域内将 展成Taylor级数：,记为,其中,称为

41、动态误差系数。,281,动态误差系数,282,偏差信号的拉氏变换可以写成：,283,例3-20,控制系统的闭环偏差传递函数为,求动态误差系数。,284,动态误差系数与静态误差系数的关系,0型系统,I型系统,II型系统,285,只要用,代替,即可。,286,例3-21,单位反馈系统如图，,同时存在输入和干扰：,用动态误差系数法计算该系统的稳态误差。,287,例3-22,单位反馈系统的开环传递函数为,求当输入信号为,时的稳态误差。,288,注释,幂函数形式的 只有有限阶导数，,若 为正弦或余弦信号，,它有无穷阶导数，,这种情况下需要求出无穷个动态误差系数，,289,3.11 减小和消除稳态误差的方

42、法,290,3.11.1 增大开环放大倍数,减小输入信号作用下的稳态误差,知识要点回顾,291,增大开环放大倍数 可以,减小0型系统在阶跃输入作用下的稳态误差；,减小I型系统在斜坡输入作用下的稳态误差；,减小II型系统在加速度输入作用下的稳态误差。,注释,增大开环放大倍数不能改变稳态误差的性质。,292,对于稳态误差为0或 的情形，,293,例3-23,单位反馈系统的开环传递函数为,在 和 两种情况下，,294,减小干扰信号作用下的稳态误差,增大，可以减小；,增大，对 无影响。,295,结论,应注意正确地选取增大放大倍数的部位；,如果能增大，,同时减小，,适当地增大开环放大倍数。,296,3.

43、11.2 增加串联积分环节,在开环传递函数中加入串联的积分环节，,用这种方法可以改变稳态误差的性质，,从而有效地减小稳态误差。,297,减小或消除输入信号作用下的稳态误差,采用PI或PID控制是加入串联积分环节的常用方法。,PI,PID,298,PI控制器,PI控制器的传递函数为：,299,PID控制器,PID控制器的传递函数为：,300,上述两种控制器的共同点：,301,减小或消除干扰信号作用下的稳态误差,在干扰信号作用点以前加入一个串联积分环节，,可以使系统对干扰信号的稳态误差提高一级型别。,在干扰信号作用点以后加入一个串联积分环节，,干扰信号引起的稳态误差没有影响。,302,3.11.3

44、 顺馈控制,顺馈控制又称为前馈控制。,是把系统的外部作用信号（输入或干扰）通过另外,一条支路引入控制系统，,包括稳态误差。,303,减小或消除输入信号作用下的稳态误差,系统的输入-偏差传递函数为,304,若取,则有,即,在输入信号作用下完全没有误差。,但是实现这种关系 是很困难的，,因为有时会出现分子阶次高于分母的现象，,这种传递函数在工程上是难于实现的。,305,若取 为一阶微分或二阶微分形式，,则可以提高系统对稳态误差的型别。,306,例3-24,如图所示，,在没有顺馈控制的情况下，系统为I型，,若加入顺馈控制，如何选取，,307,例3-25,要求该系统在 输入作用下，,稳态误差为零。,求参数 和。,308,结论,不改变原闭环系统的稳定性。,309,减小或消除干扰信号作用下的稳态误差,如果干扰信号可以测量，,如图所示。,利用补偿原理来减小或消除干扰引起的稳态误差。,310,所谓顺馈补偿，,在没有顺馈的情况下，,311,引入顺馈通道以后，,若取,则干扰引起的输出信号为零，,即，干扰对输出不产生影响，,实现了完全补偿。,312,例3-26,如图所示，,其中，,试确定顺馈通道的传递函数，,使干扰信号对输出不产生影响。,313,结论,工程中有时难以实现。,314,本次课内容总结,减小和消除稳态误差的方法,增大开环放大倍数；,增加串联积分环节；,顺馈控制。,