周培源力学竞赛辅导1.ppt
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1、能量原理,1-1 引言,分析、求解杆件的应力、变形和位移:,(一)应用平衡方程、变形协调(几何方程)、物理方程,(二)能量法(既满足平衡,又满足变形协调与连续),能量法的优点:分析过程简单、应用范围广、具体为:,(1)可确定任意一点、任意方向的位移,(2)可确定位移函数,(3)既可求解位移,又可求解内力、应力,(4)既适用于线弹性问题,又适用于非线弹性问题,(5)直接用于求解超静定问题,(6)容易扩展到二维和三维问题,1-2 基本概念,(一)广义力与广义位移(用F 表示),广义力可以是集中力、分布力、力偶、分布力偶、体力、面力,广义位移是广义力作功时所对应的位移(线位移与角位移),(二)广义应
2、力与广义应变,广义应力正应力与切应力广义应变线应变与切应变,(三)虚位移,满足约束条件和变形协调、连续条件一切可能的微小位移,能量原理,例1 判断下列各个位移是否是虚位移,功和余功互补,为常力作功,(四)功和余功,(五)应变能和余应变能,应变能和余应变能互为余函数,例2 杆件的应变能和余应变能的计算,(六)虚功 外力虚功与内力虚功,力在虚位移上作的功虚功,例3 虚功,能量原理,1-3 互等定理,1)功的互等定理,两个不同的广义力系 作用在相同的两个构件上,若在线性小变形条件下,有下列重要结论,力系 在力系 引起的位移上所做的功,等于力系 在力系 引起的位移上所做的功(见图),能量原理,1-3
3、互等定理,2)位移互等定理,两个不同的广义力(各自只有1个力)作用在 相同的两个构件上,若在线性小变形条件下,有下列重要结论,广义力 在广义力 引起的位移上所做的功,等于广义力 在广义力 引起的位移上所做的功,若,广义力 在点 i引起的与 相对应的广义位移,在数值上等于广义力 在点 j引起的与 相对应的广义位移,能量原理,1-3 互等定理,2)位移互等定理(图),广义力 在点 i引起的与 相对应的广义位移,在数值上等于广义力 在点 j引起的与 相对应的广义位移,若广义力 称为广义单位力,则,能量原理,1-4 用于弹性体的虚位移原理,对于处于平衡状态的弹性体,自平衡位置令其有一微小的虚位移,则作
4、用在弹性体上的外力在虚位移所做的功(外力虚功),等于弹性体的内力在相应的虚位移所做的功(内力虚功)。即,弹性体平衡,弹性体平衡,理论力学的虚位移原理:具有双面、定常、理想约束的质点系,在给定位置平衡的必要和充分条件是:主动力系在质点系的任意虚位移上所做的元功之和等于零。即,能量原理,不同的虚位移模式:,1-4 用于弹性体的虚位移原理,可以是与真实位移无关的任意位移,可以是真实位移的增量,此时,外力虚功全部转变为 应变能增量,即,弹性体平衡,可以是某一部分或某些部分真实位移的增量,而不是全 部真实位移的增量(见图),可以是另一个与之相关系统的真实位移(见图),注意:以上讨论的虚位移原理不涉及材料
5、的应力应变关系,能量原理,系统应变能对某一真实位移的偏导数,在数值上等于在这一真实位移处所施加的与之相对应的外力,1-5 虚位移原理的应用,例4 EI为常量,用虚移原理求解梁的挠曲线,例5 用虚移原理导出卡式第一定理,需要指出,以上阐述虚位移原理和推证卡式第一定理,均以梁的弯曲为例;其实对于任何变形均成立,能量原理,1-5 虚位移原理的应用,例6 三铰二杆(线弹性材料)组成的结构ABC,加载后不能在原来位置上保持平衡,而在变形后的位置平衡。于是二杆的受力与点B的位移有关。此时,若通过二杆的伸长变形来确定点B的位移,则所得到的位移与载荷不满足线性关系。若已知二杆的抗拉刚度为EA,杆长为 l,载荷
6、为F,试用卡式第一定理求解点B的位移。,解得,能量原理,1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用,虚位移原理:,虚力原理:,是讨论弹性体变形协调的充要条件,即保持位移不变,使力有一个改变,称为虚力,从而导出虚力原理应用于弹性体的表达式,并由此派生出卡式第二定理。,是讨论弹性体平衡的充要条件,即保持力不变,使真实位移产生一虚位移,从而导出虚位移原理应用于弹性体的表达式,并由此派生出卡式第一定理。,虚力在真实位移上做的功,称为虚余功。,能量原理,1-6 虚力原理及其在弹性杆件中的应用,1)虚力原理的表述:,对于弹性体,保持变形协调的充分和必要条件是外虚余功等于内虚余功,即,可用虚位移原理证明虚力原理
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