空间向量法解决立体几何问题全面总结.ppt

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1、利用空间向量解决立体几何问题,数学专题二,学习提纲,二、立体几何问题的类型及解法,1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系;(2)直线与平面的位置关系;(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。,1、直线的方向向量；2、平面的法向量。,一、引入两个重要空间向量,一.引入两个重要的空间向量,1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是,2.平面的法向量,如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于

2、平面,记作n,这时向量n叫做平面的法向量.,n,3.在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?如图,设a=(x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na=0且nb=0,则n.,a,b,n,(1)求平面的法向量的坐标的一般步骤:,第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na=0且nb=0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.,例1在棱长为2的正方体ABCD-A1

3、B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.,A,B,C,D,O,A1,B1,C1,D1,z,x,y,解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z),那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2),取z=1,解得:,得:,由=（-1，-1，2），=（-1，1，2）,(2)求平面的法向量的坐标的特殊方法:,第一步:写出平面内两个不平行的向量 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),第二步:那么平面法向量为,二.立体几何问题的类型及解法,1.判定直线、平面间的位置关系(1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直

4、线a,b的方向向量分别为a,b.若ab,即a=b,则ab.若ab,即ab=0,则ab,a,b,a,b,例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求证:C C1BD,A1,B1,C1,D1,C,B,A,D,证明：设 a,b,c,依题意有|a|=|b|，于是 a b=c(a b)=ca cb=|c|a|cos|c|b|cos=0 C C1BD,(2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,且L.若an,即a=n,则 L 若an,即an=0,则a.,n,a,n,a,L,L,例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,

5、E分别是AC,CC1的中点,求证:(1)A1E 平面DBC1;(2)AB1 平面DBC1,A1,C1,B1,A,C,B,E,D,z,x,y,解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则A(-1,0,0),B(0,0),E(1,0,1),A1(-1,0,2),B1(0,2),C1(1,0,2).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得，取z=1得n=(-2,0,1)(1)=-n,从而A1E 平面DBC1(2),而 n=-2+0+2=0AB1 平面DBC1,(3)平面与平面的位置关系平面的法向量为n1,平面的法向量为n2 若n1n2,即n1=n2,则若n1n

6、2,即n1 n2=0,则,n2,n1,n1,n2,例4 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:平面AED平面A1FD,证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz,平面AED平面A1FD,解得：,于是，,设：正方体的棱长为2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2),F(1,2,0),D(0,2,0),2.求空间中的角,(1)两异面直线的夹角利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了.,例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是

7、AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_.,z,y,B1,C1,D1,A1,C,D,解:以A为原点建立如图所示的直角坐标系A-xyz,设正方体的棱长为2,那么 M(1,0,0),C(2,2,0),B1(2,0,2),D(0,2,0),cos=|cos|,设DB1与CM所成角为,与 所成角为,于是：,(2)直线与与平面所成的角若n是平面的法向量,a是直线L的方向向量,设L与所成的角,n与a所成的角 则=-或=-于是,因此,n,n,a,a,例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为，求AC1与侧面ABB1A1所成的角。,解:建立如图示的直角坐标系,则A(,0,0),B(0,0)

8、A1(,0,).C(-,0,)设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)得 由，解得，取y=,得n=(3,0)，设 与n夹角为而故：AC1与侧面ABB1A1所成的角大小为30.,（3）二面角设n1、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.,例7 在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.,解：建立如

9、图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由 得 n1=(1,1,2).而面SAD的法向量n2=(1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小满足 二面角A-SD-C的大小为.,3.求解空间中的距离,(1)异面直线间的距离两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公

10、垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.,例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.,z,x,y,A,B,C,D,D1,C1,B1,A1,解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得 n=(-1,-1,2).,异面直线AC1与BD间的距离,(2)点到平面的距离A为平面外一点(如图),n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH.=.于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的

11、数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.,n,A,B,H,例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距离.,z,x,y,C,C1,A1,B1,A,B,解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则 C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(-,0,1).,或,或,可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.,会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例10四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,

12、ABC=60,侧棱PA底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面PED间的距离.,z,y,P,B,E,A,D,C,F,解:以A为原点、AB为x轴、ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F为CD的中点,于是A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).设面BED的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(1,2).n 2+6-8=0，故PC面BED,PC到面BED的距离就是P到面BED的距离,.,空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题。这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处。,