掌握一些简单的数列求和的方法能应用数列求和解决一些.ppt

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1、2023/8/22,高三数学组刘玉刚,1.掌握一些简单的数列求和的方法.2.能应用数列求和解决一些数列问题.,思考探究 用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？,提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提.一般地，形如(an是等差数列)的数列可选用此法来求.,1.设f(n)2242723n1(nN*)，则f(n)()A.(8n1)B.(8n11)C.(8n21)D.(8n31),解析：f(n)(8n11).,答案：B,2.数列an的前n项和为Sn，若an，则S5 等于()A.1 B.C.D.,解析：anS5a1a2a3a4a5,答案：B,3.数列(1)nn的前2 010

2、项的和S2 010为()A.2 010 B.1 005 C.2 010 D.1 005,解析：S2 010123452 0082 0092 010(21)(43)(65)(2 0102 009)1 005.,答案：D,解析：由于q所以a3a4a5(a2a3a4)()1，a6a7a8(a3a4a5)()3，于是a3a4a5a6a7a8.,4.等比数列an中，已知a1a2a34，a2a3a42，则a3a4a5a6a7a8.,答案：,5.数列1,，前10项的和为.,解析：1(14728)(),答案：,若数列anbncn，且数列bn、cn为等差数列或等比数列，常采用分组转化法求数列an的前n项和，即先

3、利用等差或等比数列的前n项和公式分别求bn和cn的前n项和，然后再求an的前n项和.,求特殊数列的和：Sn1(1)(1)(1).,思路点拨,课堂笔记和式中第n项为an=1+Sn=2=2=2=2n-2+,求1,2,3,4，n 的前n项和.,解：ann1=，Sn(123n)(+,1.一般情况下，若an是等差数列，则2.根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和.,3.常见的裂项技巧有：,特别警示利用裂项相消求和方法时，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相等.,在等差数列an中

4、，a55，S36.(1)若Tn为数列 的前n项和，求Tn；(2)若an1Tn对任意的正整数n都成立，求实数的最大值.,思路点拨,课堂笔记(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，则解得：a11，d1，所以ann，所以,(2)若an1Tn，即n1又 n 24，当且仅当n，即n1时取等号.任意nN*，不等式成立，故4，的最大值为4.,1.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数 列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.2.用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的 情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对 齐

5、”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.,特别警示利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和.若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般分等于1和不等于1两种情况分别求和.,(2009全国)在数列an中，a11，an1(1)设bn，求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.,思路点拨,课堂笔记(1)由已知得b1a11，且即bn1bn，从而b2b1，b3b2，bnbn1(n2)，于是bnb1(n2).又b11，故所求的通项公式bn2,(2)由(1)知，an令Tn于是Tn2TnTn又(2k)n(n1)，所以Snn(n1)4.,=2n,则2Tn,以选择题或填空题的形式考查公式法

6、求和或以解答题的形式考查公式法求和、裂项求和以及错位相减法求和是高考对本节内容的常规考法.09年广东高考将裂项求和与函数、不等式等内容结合考查，是高考命题的一个新方向.,考题印证(2009广东高考)(12分)已知点(1，)是函数f(x)ax(a0，且a1)的图象上一点.等比数列an的前n项和为f(n)c.数列bn(bn0)的首项为c，且前n项和Sn满足SnSn1(n2).(1)求数列an和bn的通项公式；(2)若数列 的前n项和为Tn，问满足Tn的最小正整数n是多少？,【解】(1)点(1，)是函数f(x)ax(a0，且a1)的图象上一点，f(1)a.已知等比数列an的前n项和为f(n)c，则当

7、n2时，anf(n)cf(n1)can(1a1)(2分)an是等比数列，an的公比qa2 a1q(f(1)c)，解得c1，a1故an(n1).(4分),由题设知bn(bn0)的首项b1c1，其前n项和Sn满足SnSn1(n2)，由SnSn1 是首项为1，公差为1的等差数列，即 nSnn2.bnSnSn12n1(n2)，又b11211，故数列bn的通项公式为：bn2n1(n1).(6分),(2)bn2n1(n1)，(8分)(10分)要Tn故满足条件的最小正整数n是112.(12分),自主体验 已知Sn为数列an的前n项和，且Sn2ann23n2，n1,2,3，.(1)求证：数列an2n为等比数列

8、；(2)设bnancosn，求数列bn的前n项和Pn；(3)设Cn 数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn,解：(1)证明：Sn12an1(n1)23(n1)2.Sn2ann23n2an12an2n2即an12(n1)2(an2n)an2n是以q2的等比数列.,(2)a1S12a1132，a14an2n2n，an2n2n讨论()当n为偶数时，Pnb1b2b3bn(b1b3b5bn1)(b2b4b6bn)(212)(2323)(2525)(2n12(n1)(2222)(2424)(2626)(2n2n),(2n _1)+n,()当n为奇数时，Pn=,n为奇数,n为偶数,Tn=c1+c2+cn=,(

9、3)cn=,1.数列 的前n 项和为(),A BC D,答案：B,解析：,an=,Sn=,2.(2010抚顺模拟)已知数列an的通项公式是an，其 前n项和Sn，则项数n等于()A.13 B.10 C.9 D.6,解析：,答案：D,观察可得出n6.,3.(2009广东高考)已知等比数列an满足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，则当n1时，log2a1log2a3 log2a2n1()A.n(2n1)B.(n1)2 C.n2 D.(n1)2,解析：由a5a2n522na，an0，an2n，log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)log2213(2n1)l

10、og22n2n2.,答案：C,2n,4.数列1，的前n项和Sn.,解析：由于an,答案：,5.若数列an是正项数列，且 n2 3n(nN*)，则.,解析：令n1得 4，即a116，当n2时，(n23n)(n1)23(n1)2n2，所以an4(n1)2，当n1时，也适合，所以an4(n1)2(nN*).于是 4(n1)，故 2n26n.,答案：2n26n,6.已知函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2.数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数y f(x)的图象上.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn 对所有nN*都成立的最小正整数m.,解：(1)依题意可设f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由f(x)6x2得a3，b2，f(x)3x22x.又由点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，得Sn3n22n.,当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S1312211615.所以an6n5(nN*).,(2)由(1)得bn故Tn因此，使得(nN*)成立的m必须且仅需满足，即m10，故满足要求的最小正整数m为10.,