研究生学位课电力系统潮流计算.ppt

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1、,North China Electric Power University,Department of Electrical Engineering,Baoding,电力系统分析,第一章 电力系统潮流计算,一概述,二潮流计算问题的数学模型,三潮流计算的几种基本方法,四保留非线性潮流算法,五最小化潮流算法,六潮流计算中的自动调整,七最优潮流问题,八交直流电力系统的潮流计算,九几种特殊性质的潮流计算问题简介,前面介绍的潮流计算可归结为求解非线性代数方程组问题，通过结合电力系统的物理特性，提出了多种求解该方程组的算法。但在实际计算中，对于一些病态系统（如重负荷系统等），往往出现计算过程振荡甚至不收

2、敛的现象。这时人们很难判定这是由于潮流算法不够完善而导致计算失败，还是从一定的初值出发，在给定的运行条件下，从数学上来讲，非线性的潮流方程组本来就是无解的（或者无实数解）。,五.最小化潮流算法,后来人们提出了潮流计算问题在数学上可以表示为求一个由潮流方程构成的函数（称为目标函数）最小值问题。这就形成了采用数学规划的方法，称之为非线性规划潮流计算法。这种方法的一个显著特点是从原理上保证了计算过程不会发散。在给定的运行条件下，只要潮流问题有解，则目标函数最小值就迅速趋近于零；如果潮流问题无解，则目标函数先是逐渐减小，但最后却停留在一个不为零的正值上。为给定条件下潮流问题的有解与无解提供了一个明确的

3、判断途径。,五.最小化潮流算法,早期的应用数学规划方法的非线性规划潮流算法在内存需求量和计算速度方面都无法和前面介绍的各种潮流算法竞争，因而未得到实际推广应用。以后，对非线性规划方法进行了改进，将数学规划原理和常规牛顿潮流算法有机结合起来，形成了一种新的潮流计算方法-带最优乘子的牛顿算法，通常简称为最优乘子法。这种算法能有效地解决病态电力系统的潮流计算问题，并已得到广泛使用。,五.最小化潮流算法,一 潮流计算和非线性规划 将潮流计算问题概括为求解如下非线性代数方程组(l-145)构造标量函数(l-147),五.最小化潮流算法,若 的解存在，则 最小值应该为零。若此最小值不能为零，则说明不存在能

4、满足原方程组 的解。这样，就把原来的解代数方程组的问题转化为求，从而使 的问题。从而将潮流计算问题转化为非线性规划问题。由于没有附加的约束条件，因此在数学规划中属于无约束非线性规划的范畴。,五.最小化潮流算法,按照数学规划的方法，通常由下述步骤求出 的极小点：(1)确定初始估计值；(2)置迭代次数；(3)从 出发，按照能使目标函数下降的原则，确定寻优方向；,五.最小化潮流算法,(4)沿着 的方向确定使目标函数下降最多的一个点，即决定移动的步长。由此得到新的迭代点(l-149)式中，为步长因子，其数值的选择应使目标函数下降最多，即(1-150)可见,当 决定以后，是 的一元函数。通过求 对 的极

5、值得到最优步长因子。,五.最小化潮流算法,(5)校验 是否成立。如成立，则 就是所求的解；否则，令，转向步骤(3)，重复循环计算。,五.最小化潮流算法,图1-11 求目标函数最小点示意图,五.最小化潮流算法,由上可见，为了求得问题的解，关键要解决两个问题：(1)确定下一次迭代的搜索方向；(2)确定下一次迭代的最优步长因子。确定迭代的搜索方向 常用的方法有：梯度法(最速下降法)、Powell方法 牛顿法、DFP算法、BFGS算法等.,五.最小化潮流算法,确定最优步长因子：确定最优步长因子用一维搜索法，通过一维搜索法确定最优步长因子常用的方法有：解析法、插值法、黄金分割法等。早期的研究工作中，为确

6、定 和 采用的非线性规划算法由于所需的内存量和计算速度都不能和牛顿法等常规潮流计算方法相比，因此作为一种潮流算法，没有被普遍采用。,五.最小化潮流算法,非线性规划的计算过程能对收敛过程加以控制，迭代过程总是使目标函数下降，永远不发散，这些特点是牛顿法等常规潮流算法所没有的。,五.最小化潮流算法,二 带最优乘子的牛顿潮流算法 1)为了改进非线性规划潮流算法，首先在决定搜索方向 上，人们提出了利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出的修正量向量(1-151)作为搜索方向，称之为目标函数在 处的牛顿方向。,五.最小化潮流算法,由于牛顿法的雅可比矩阵高度稀疏并且已有了一套行之有效的求解修正方程式的方法，因此

7、在决定 时可以充分利用原来牛顿潮流算法在内存和计算速度方面的优势。,五.最小化潮流算法,2)接着决定最优步长因子。已知对确定的，目标函数 是的一元函数(l-152)现在的问题是写出这个一元函数的解析表示式。如果有了这样的式子，则 可以通过下式求得(l-153),五.最小化潮流算法,应用本章前面的式(1-77)，可以得到计算 的有效方法。由式(1-77)，采用直角坐标的潮流方程的泰勒展开式可以精确地表示为(l-154)引入标量乘子 调节变量 的修正步长，上式可写为(l-155),五.最小化潮流算法,为表达简明起见，分别定义三个向量(1-156),五.最小化潮流算法,于是式(1-155)可简写为(

8、1-157)代入式(1-146)，则目标函数可写为(1-158),五.最小化潮流算法,将 对 求导，并令其等于零，由此可以求得最优乘子(1-159)展开可得(1-160)其中(1-161),五.最小化潮流算法,可用牛顿法求解,以上介绍了从搜索方向 和最优步长因子 两个方面对非线性规划潮流算法作的改进。不难看到经过改进的算法实质上是常规牛顿潮流算法和计算最优乘子这部分算法的结合。因此对于现有的采用直角坐标的牛顿法潮流程序，只需增加计算最优乘子的部分，就可以改造成为应用非线性规划原理的算法，使得潮流计算的收敛过程能有效地得到控制。,五.最小化潮流算法,计算 的原理框图,牛顿潮流法第k次迭代修正量的

9、计算公式为：上式左边为，等号右边为，也就是在k次迭代后，已求得，为了求，只要计算 即可。,五.最小化潮流算法,3）最优乘子法计算量的讨论,如果进一步推导，还可看出第（K+1）次潮流方程的偏差量（）可不必按 直接计算，可方便地用第k次迭代中已经求得的计算 而得。即：（证明见书p36）,五.最小化潮流算法,这样，每次迭代，从原来要计算 简化为仅计算进一步减少了计算量。分析可见，为了计算最优乘子而增加的计算量是很少的。,五.最小化潮流算法,三、带有最优乘子的牛顿潮流算法具体应用：可分为以下三种不同的情况讨论：(1)从一定的初值出发，原来的潮流问题有解。用带有最优乘子的牛顿潮流算法求解时，目标函数 下

10、降为零，经过几次迭代以后，稳定在1.0附近。,五.最小化潮流算法,(2)从一定的初值出发，原来的潮流问题无解。这种情况下使用这种算法求解时，目标函数开始时逐渐减小，但迭代到一定的次数以后即停滞在某一个不为零的正值上，不继续下降。的值则逐渐减小，最后趋近于零。趋近于零是所给的潮流问题无解的标志，这说明 有异常变化，只是由于存在着一个趋于零的，才使得计算过程不致发散。,五.最小化潮流算法,(3)有别于上两种情况，当采用这个方法计算时，不论迭代多少次，的值始终在1.0附近摆动，但目标函数却不能降为零或不断波动。的值趋近于1.0说明了解的存在，而目标函数不能继续下降或产生波动可能是由于计算的精度不够所

11、致，这时若改用双精度计算往往能解决问题。,五.最小化潮流算法,可见，采用带有最优乘子 的牛顿潮流算法以后，潮流计算不会发散，即从算法上保证了计算过程的收敛性，从而有效地解决了病态潮流的计算问题。而通过 的具体数值，提供了在给定的运算条件下，潮流问题是否存在解的一个判断标志。,五.最小化潮流算法,前面介绍的各种潮流算法，构成了潮流程序的核心部分。除此之外，一些实用的潮流程序往往还附有模拟实际系统运行控制特点的自动调整计算功能。这些调整控制大都属于所谓的单一准则控制，即调整系统中单独的一个参数或变量以使系统的某一个准则得到满足。这方面的具体例子有：(1)自动调整有载调压变压器的分抽头以保持变压器某

12、侧节点或某个远方节点的电压为规定的数值。,六潮流计算中的自动调整,(2)自动调整移相变压器的移相抽头以保持通过该移相变压器的有功功率为规定值。(3)自动调整互联系统中某一个区域的一个（或数个）节点的有功出力以保持本区域和其它区域间的净交换有功功率为规定的数值。,六潮流计算中的自动调整,（4）此外，节点的无功功率越界、节点的电压越界的自动处理，负荷静态特性的考虑等也属于潮流计算中自动调整的范畴。,六潮流计算中的自动调整,为了在潮流计算中引入自动调整，对于单一准则控制问题，通常有两类方法：第一类方法：按照所要保持的系统状态量 和当前的计算值 的差值大小，不断地在迭代中改变控制参数 的大小。大小的改

13、变按照偏差反馈的原理进行，即(1-164)式中，对减少迭代次数，保证收敛有很大影响。,六潮流计算中的自动调整,这一类方法不改变原来的潮流计算方程，算法的迭代矩阵以及变量的组成均无变化。由于加入了调整，往往使得达到收敛所需的迭代次数和无调整的潮流计算相比有较多的增加，有的达到2-3倍。,六潮流计算中的自动调整,第二类方法：则要改变原来潮流方程的构成，如增加或改写其中的一些方程式，为此待求变量的组成以及迭代矩阵（如雅可比矩阵等）的结构也有变化。属于这一类的一些比较成功的自动算法能使达到收敛所需的迭代次数非常接近无调整的算法。,六潮流计算中的自动调整,各种潮流计算方法，往往要根据算法本身的特点，以不

14、同的方式引入自动调整。本节介绍在牛顿法潮流算法中实现自动调整的有关方法。,六潮流计算中的自动调整,一 节点无功功率越界和 节点电压越界的处理 发电机节点及具有可调无功电源的节点，常被指定为 节点。在潮流计算过程中，它们的无功出力 可能会超出其出力限制值（包括上界及下界）。为此，潮流程序必须对 节点的无功出力加以监视并在出现越界时加以处理。,六潮流计算中的自动调整,对于用牛顿算法的程序，当在迭代过程中发现无功功率越界时，即将这一节点转化为给定无功功率 的 节点。显然，这种节点类型的改换将导致修正方程结构的变化。对采用极坐标形式的修正方程将增加一个与 对应的方程式。而在采用直角坐标形式时，则用与

15、对应的方程式代替原来与 对应的方程式。,六潮流计算中的自动调整,由干牛顿法每次迭代都要重新形成雅可比矩阵，因此就每一次迭代来说，采用这种节点形式转换的处理方法并不增加多少计算量。在随后的迭代过程中，若出现该节点的电压又高于（对应于原来 越上界）或低于（对应于原来 越下界）节点的规定电压值 时，则该节点在下一次迭代中应重新转换成 节点。,六潮流计算中的自动调整,节点的电压越界（包括越上界及下界）可以通过将该节点转换成 节点的办法来处理，即将该节点的电压固定在电压的上界或下界上。但这种处理方式的前提是该节点必须具有足够的无功调节能力（即有可调的无功电源，包括无功补偿设备），因而不是所有的节点都可以

16、这样处理。,六潮流计算中的自动调整,在迭代过程中，这种节点由 节点再复原为 节点的判据是节点的实际无功功率计算值 和原来给定的无功功率 的差出现正或负值（分别对应于原来节点电压越上界和越下界）。无论是哪一种越界处理，都要待迭代收敛过程趋于平稳时才进行，对牛顿法来说，一般在第二次迭代结束以后才进行。,六潮流计算中的自动调整,二 带负荷调压变压器抽头的调整 带负荷调压变压器抽头的调整可以将变压器某一侧节点或某个远方节点的电压保持为指定的数值。因此在潮流计算中，这种变压器的变比 是按照上述要求而决定的可调节变量，可以用两类不同的方法来进行这种调整的潮流计算。,六潮流计算中的自动调整,第一种方法，在计

17、算开始前对这类变压器预先选择一个适当的变比值，用通常的牛顿法迭代2-3次，目的是使迭代过程趋于平稳后再引入调整，避免计算过程的振荡。然后在后继的每两次迭代中间，插入变压器变比选择计算。具体做法是根据所要保持的节点 的电压，以及该次迭代（设为第 次）求得的电压，根据公式(1-165)计算变比 在 次迭代时所取的新值。式中：为常数，通常可取为1。,六潮流计算中的自动调整,这样重复计算直到前后两次迭代所求得的 值的变化小于给定的很小的数并且潮流收敛为止。的选择，应满足条件(1-166)式中：分别为变压器变比的上下限值。这种方法仅在两次迭代中间，插入以式(1-165)表示的变压器变比的调整计算，方法简

18、单，但引入调整后，达到收敛所需的迭代次数往往比无调整的计算要增加一倍以上。,六潮流计算中的自动调整,第二类自动调整算法下面结合一个简单系统介绍调整带负荷调节变压器变比的第二类自动调整算法，它能使有调整潮流解所需的迭代次数和无调整的情况基本相同。,六潮流计算中的自动调整,图1-13 简单系统示例,六潮流计算中的自动调整,图l-13中节点1为 节点，节点24 为 节点，节点5为平衡节点。潮流计算中带负荷调压变压器的变比应自动选择调整，使节点3的电压维持为给定值。对于该系统，用常规牛顿法求解的修正方程式为,六潮流计算中的自动调整,六潮流计算中的自动调整,(1-167),为了要维持，在计算中将原来的变

19、量 看成是等于 的一个常量，而以变压器变比 为变量，于是式(1-167)变为如下形式：,六潮流计算中的自动调整,(1-168)其中(l-169),六潮流计算中的自动调整,变比 为变量后，根据非标准变比变压器的等值电路，与变压器支路端点、对应的节点自导纳 以及互导纳 将是 的函数，从而节点功率方程组中变压器端点 及 的节点功率表示式也包含变量。因此新的雅可比矩阵的结构有以下特点：,六潮流计算中的自动调整,当网络中不存在支路 时，固然等于零。而且只要支路 不是用来调整节点 电压的变压器支路时，也等于零。从而在式(1-168)中，与被调整节点 的电压变量（现在是变压器变比）所对应的一列内，除了对角元

20、素之外，只有一组非零非对角元素。,六潮流计算中的自动调整,用式(1-168)进行牛顿迭代的过程中，为防止每次的变比调整量 太大，以致 超过其规定的上下限值。可以采用限制每次的 不超过一个控制值（如)的方法，以防止因对变比过量的校正而引起发散或振荡。,六潮流计算中的自动调整,在迭代过程中当变比 超过其限值或又退回其限值范围以内时，应仿照上一小节、节点类型相互转换的办法，及时作式(1-167)及式(1-168)的相互转换，然后继续求解。式(1-167)即对应于变比 固定在其上限或下限值上，而 则为变量。,六潮流计算中的自动调整,三 互联系统区域间交换功率控制 互联系统区域间交换功率控制，也称联络线

21、控制。在对由几个区域组成的互联系统进行研究时，往往要求其潮流解必须满足各区域间交换的净有功功率等于预先规定值这一约束条件。计及区域间交换功率约束的潮流计算，也可以采用两种不同类型的方法。,六潮流计算中的自动调整,第一种方法，在互联系统的每一个区域内（含有整个互联系统平衡节点的那个区域除外），都指定一台发电机作为调节发电机，通过这些发电机有功出力的调节保证本区域的净交换有功功率为规定值。这些发电机在潮流计算中作 节点处理，并分别给定一个有功出力作为其计算初值。具体计算步骤如下,六潮流计算中的自动调整,图1-14 互联系统示意图-区域调节发电机；-整个互联系统的平衡机,六潮流计算中的自动调整,(1

22、)进行常规潮流计算。由解得的节点电压计算各联络线的潮流，并由此求得各个区域的交换净有功功率值。以图l-14为例，区域和其它区域交换的第 次迭代净有功功率可由下式求得(l-170)(2)求出每个区域实际交换功率和该区域规定的交换功率之差（含整个系统平衡节点的区域除外）。如对区域，有(l-171),六潮流计算中的自动调整,(3)确定在下一次迭代中各区域调节发电机有功出力的新估计值。如对区域 的调节发电机，其有功功率为(1-172)对收敛较快的牛顿法，可取为1。(4)转步骤(1)，重复上述过程，直到各区域间的有功交换功率偏差 小于或等于事先规定的误差允许值为止。,六潮流计算中的自动调整,这种方法仅在

23、原有潮流算法的两次迭代之间插入式(l-170)(l-172)所表示的区域调节发电机有功出力的调整计算，简单而容易实现。但比起无调整解来，达到收敛所需的迭代次数可能多达3倍或甚至有时不收敛。,六潮流计算中的自动调整,区域间有功交换的第二种方法以极坐标形式表示的支路潮流方程为(1-173)互联系统中某区域经过若干联络线和其它区域交换的净有功功率为(1-174),六潮流计算中的自动调整,潮流解应该满足 这一条件，即(1-175)新算法用式(l-175)取代原来潮流方程组中已作 节点处理的区域 调节发电机节点 的有功功率偏差方程式(l-176)但待求变量仍取。这就保留了原来的变量，方程式的数目也相同，

24、但潮流方程组中却引入了区域控制的精确表示式。,六潮流计算中的自动调整,然后用通常的牛顿法求解。但要用相应于式(l-175)的略去高阶项的泰勒展开式来代替修正方程组中原来对应于调节发电机的方程式 这个算法可使计及区域间交换功率控制的潮流计算所需的迭代次数大大减少。,六潮流计算中的自动调整,需注意，用式(l-175)替代式(l-176)后，如果被指定为区域调节发电机的节点 不是本区域和其它区域的联络线端点时，由于保持恒定的区域间交换净有功功率 的表示式(l-174)中仅包含各联络线端节点的电压相角变量而没有，因此雅可比矩阵的这一行将出现对角元 的情况，使求解修正方程的高斯消元过程发生困难。解决这个

25、问题的办法是重新安排消元顺序，使得在该行消元时，在原来零元素的位置上，已注入了非零元素。,六潮流计算中的自动调整,四 负荷静态特性的考虑 电力系统的负荷从系统吸取的有功及无功功率一般要随着其端电压的变化而改变。因此在进行潮流计算时，各节点所给定的负荷功率严格地讲只在预定的电压下才有意义。为使潮流计算的结果能正确反映系统的实际情况，应计及节点负荷的电压特性或静态特性(1-178),六潮流计算中的自动调整,由于负荷的组成成份及特性千变万化，要精确地写出各节点负荷的负荷-电压特性表示式是困难的。因此，在潮流计算中，可采用下述近似模型。(1)指数函数(l-179)(2)多项式(l-180),六潮流计算

26、中的自动调整,前两式中，下标 表示正常值；分别表示节点电压为 时的节点有功、无功功率给定值。式(l-179)和式(l-180)中的常数 应由现场试验测定。在缺乏具体数据的情况下，可近似地取经验数据，如取 和 等。,六潮流计算中的自动调整,无论采用何种负荷静态特性模型，进行潮流计算时，原来潮流方程式(l-28)和式(l-29)中（以采用极坐标的为例）具有定值的 要用式(l-179)或式(l-180)中有关表示式代替。如采用多项式模型，潮流方程式(l-28)和式(l-29)将改写成(1-181),六潮流计算中的自动调整,因此雅可比矩阵元素 的表示式将不同于式(1-34)-式(1-38)，但其它元素

27、的表示式和计算步骤与不计负荷特性时无大差别，所以计及负荷静态特性并不会给潮流计算带来特殊的困难。一般说来，潮流计算中计及负荷静态特性对计算的收敛性是有利的。,六潮流计算中的自动调整,最优潮流与潮流计算的区别前面介绍的潮流计算，可以归结为针对一定的扰动变量（负荷情况），根据给定的控制变量（发电机的有功出力、无功出力或节点电压模值等），求出相应的状态变量（节点电压模值及角度）.,七.最优潮流问题（OPF）-概述,通过一次潮流计算得到电力系统的一个运行状态。这种潮流计算称为常规潮流计算。常规潮流计算的结果满足潮流方程式或者变量间的等式约束条件(1-182),七.最优潮流问题（OPF）,常规潮流计算存

28、在以下两种问题:1.常规潮流计算决定的运行状态可能由于某些状态或者作为 函数的其它变量超出了它们的运行限值，因而在技术上是不可行的。对此实际上常用的方法是调整某些控制变量的给定值，重新进行基本潮流计算，这样反复进行，直到所有的约束条件都满足为止。这样便得到了一个技术上可行的潮流解。,七.最优潮流问题,2.对某一种负荷情况，理论上存在众多的、技术上都能满足要求的可行潮流解。这里每一个可行潮流解对应于系统的一个特定的运行方式，具有相应总体的经济上或技术上的性能指标（如系统总的燃料消耗量、系统总的网损等）。,七.最优潮流问题,为了优化系统的运行，需要从所有可行潮流解中挑选出上述性能指标最佳的一个方案

29、。而这就是本节要讨论的最优潮流问题。所谓最优潮流，就是当系统的结构参数及负荷情况给定时，通过控制变量的优选，找到的能满足所有指定的约束条件，并使系统的性能指标或目标函数达到最优的潮流分布。,七.最优潮流问题,最优潮流和基本潮流比较，有以下不同点。（1）基本潮流计算时控制变量 事先给定；而最优潮流中 则是待优选的变量，因此在最优潮流模型中必然有一个作为 优选准则的目标函数。（2）最优潮流计算除了满足潮流方程这一等式约束条件之外，还必须满足与运行限制有关的大量不等式约束条件。,七.最优潮流问题,（3）基本潮流计算是求解非线性代数方程组；而最优潮流计算从数学上讲是一个非线性规划问题，因此需要采用最优

30、化方法来求解。（4）基本潮流计算完成的只是一种计算功能，即从给定的 求出相应的；而最优潮流计算是根据特定目标函数并满足相应约束条件的情况下，自动优选控制变量，具有指导系统进行优化调整的决策功能。,七.最优潮流问题,最优潮流与经济调度的区别 建立在严格数学基础上的最优潮流模型首先是由法国的Carpentier于20世纪60 年代提出的。由于基于协调方程式的经典经济调度方法虽然具有方法简单，计算速度快，适宜于实时应用等优点，但协调方程式在处理节点电压越界及线路过负荷等安全约束的问题上却显得无能为力。,七.最优潮流问题,随着电力系统规模的日益扩大以及一些特大事故的发生，电力系统运行安全性问题被提到一

31、个新的高度上来加以重视。因此，人们越来越迫切要求将经济和安全问题统一起来考虑。而以数学规划问题作为基本模式的最优潮流在约束条件的处理上具有很强的能力。,七.最优潮流问题,最优潮流能够在模型中引入能表示成状态变量和控制变量函数的各种不等式约束，将电力系统对于经济性、安全性以及电能质量三方面的要求，完美地统一起来。,七.最优潮流问题,40多年来，广大学者对最优潮流问题进行了大量的研究。这些研究工作，除了提出了采用不同的目标函数和约束条件，因而构成不同应用范围的最优潮流模型之外，更大量的是从改善收敛性能、提高计算速度等目的出发而提出的最优潮流计算的各种模型和求解算法。,七.最优潮流问题,本节主要内容

32、,七.最优潮流问题,解耦最优潮流,一 最优潮流的数学模型 最优潮流的变量 在最优潮流的算法中，常将所涉及的变量分成状态变量 及控制变量 两类。通常由调度人员可以调整、控制的变量组成；确定以后，就可以通过潮流计算确定下来。,七.最优潮流问题数学模型,一般常用的控制变量有：（1）平衡节点以外发电机的有功出力；（2）所有发电机节点（包括平衡节点）及具有可调无功补偿设备节点的电压模值；（3）带负荷调压变压器的变比。,七.最优潮流问题数学模型,状态变量由需经潮流计算才能求得的变量组成。常见的有：(1)除平衡节点外，其它所有节点的电压相角；(2)除发电机节点以及具有可调无功补偿设备节点之外，其它所有节点的

33、电压模值。,七.最优潮流问题数学模型,有时也采用发电机节点及具有可调无功补偿设备节点的无功出力作为控制变量，则它们相应的节点电压模值就要改作为状态变量。需要指出的是在某些最优潮流的文献中，往往将凡可以通过潮流计算而求得的作为状态变量 及控制变量 函数的其它变量，也统称为状态变量。,七.最优潮流问题数学模型,最优潮流的目标函数 最优潮流的目标函数可以是任何一种按特定的应用目的而定义的标量函数，目前常见的目标函数如下。（1）全系统发电燃料总耗量（或总费用）(1-183),七.最优潮流问题数学模型,式中：为全系统发电机的集合，其中包括平衡节点的发电机组；为发电机组的耗量特性，可以采用线性、二次或更高

34、次的函数关系式。由于平衡节点 的电源有功出力不是控制变量，其节点注入功率必须通过潮流计算才能决定，是节点电压模值及相角的函数，于是有(1-184),七.最优潮流问题数学模型,式中：为注入节点 而通过与节点 相关的线路输出的有功功率；为节点 的负荷功率。所以式(1-183)可写为(1-185),七.最优潮流问题数学模型,（2）有功网损(1-186)式中：表示所有支路的集合。采用有功网损作为目标函数的最优潮流问题，除平衡节点外，其它发电机的有功出力都认为是给定不变的。因而对于一定的负荷,平衡节点的注入功率将随网损的变化而改变，于是平衡节点有功注入功率的最小化就等效于系统总的网损的最小化。,七.最优

35、潮流问题数学模型,因此可以直接采用平衡节点的有功注入作为有功网损最小化问题的目标函数，即有(1-187)除此之外，最优潮流问题根据应用场合不同，还可采用其它类型的目标函数，如偏移量最小、控制设备调节量最小、投资及年运行费用之和最小等。,七.最优潮流问题数学模型,可见，最优潮流的目标函数不仅与控制变量有关，同时也和状态变量有关，因此可用简洁的形式表示为(1-188),七.最优潮流问题,（三）等式约束条件 最优潮流是经过优化的潮流分布，为此必须满足基本潮流方程。这就是最优潮流问题的等式约束条件。用式(1-182)表示的基本潮流方程式由于扰动变量 即负荷一般都是给定的，所以该式可进一步简化表示为(1

36、-189),七.最优潮流问题数学模型,（四）不等式约束条件 最优潮流的内涵包括了系统运行的安全性及电能质量，另外可调控制变量本身也有一定的容许调节范围，为此在计算中要对控制变量以及通过潮流计算才能得到的其它量（状态变量及函数变量）的取值加以限制。这就产生了大量的不等式约束条件，如：(1）有功电源出力上下限约束；,七.最优潮流问题数学模型,(2）可调无功电源出力上下限约束；(3）带载调压变压器变比调整范围约束，(4）节点电压模值上下限约束；(5）输电线路或变压器等元件的最大电流或视在功率约束，(6）线路的最大有功或无功潮流约束；(7）线路两端节点电压相角差约束，等等。不等式约束条件可以统一表示为

37、(1-190),七.最优潮流问题数学模型,（五）最优潮流的数学模型 综上所述，电力系统最优潮流的数学模型可以表示为(1-191),七.最优潮流问题数学模型,通过以上讨论可以看到，目标函数 及等式、不等式约束 及 中的大部分约束都是非线性函数，因此电力系统的最优潮流计算是一个典型的有约束非线性规划问题。采用不同的目标函数并选择不同的控制变量，再和相应的约束条件相结合，就可以构成不同应用目的的最优潮流问题。例如：,七.最优潮流问题数学模型,（1）目标函数采用发电燃料耗量（或费用）最小：以除去平衡节点以外的所有有功电源出力及所有可调无功电源出力（或用相应的节点电压），还有带负荷调压变压器的变比作为控

38、制变量，就是对有功及无功进行综合优化的通常泛称的最优潮流问题,七.最优潮流问题数学模型,（2）若目标函数同（1），仅以有功电源出力作为控制变量而将无功电源出力（或相应节点电压模值）固定，则称为有功最优潮流。,七.最优潮流问题数学模型,(3）目标函数采用系统的有功网损最小 将各有功电源出力固定而以可调无功电源出力（或相应节点电压模值）及调压变压器变比作为控制变量，则称为无功优化潮流。以上这三种是目前用得最多的最优潮流问题。,七.最优潮流问题数学模型,二 最优潮流计算的简化梯度算法 由于电力系统的规模日益扩大，其节点数可以成百上千，最优潮流计算模型中包含的变量数及等式约束方程数极为巨大，至于不等式

39、约束的数目则更多，兼以变量之间又存在着复杂的函数关系，这些因素都导致最优潮流计算跻身于极其困难的大规模非线性规划的行列。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,虽经将近30年的努力，但继续寻找能够快速、有效地求解各种类型的大规模最优潮流计算问题，特别是能够满足实时应用的方法，对广大研究者来说，仍然是一个巨大的挑战。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,下面介绍最优潮流计算的简化梯度法。这个算法在最优潮流领域内具有重要的地位，是最优潮流问题被提出后，能够成功地求解较大规模的最优潮流问题并被广泛采用的第一个算法，它直到现在，仍然还被看成是一种成功的算法而加以引用。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,最优潮流计

40、算的简化梯度算法以极坐标形式的牛顿潮流算法为基础。下面先讨论：仅计及等式约束条件时算法的构成；讨论计及不等式约束条件时的处理方法。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,(一)仅有等式约束条件时的算法 对于仅有等式约束的最优潮流计算，根据式(1-191)，问题可以表示为(1-192)应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束 中方程式数同样多的拉格朗日乘子，则构成拉格朗日函数为(1-193),七.最优潮流问题-简化梯度算法,采用经典的函数求极值的方法，将 分别对变量 及 求导并令其等于零，即得到极值所满足的必要条件为(1-194)(1-195)(1-196),七.最优潮流问题-简化梯度算法,这是三个非

41、线性代数方程组，每组的方程式个数分别等于向量的维数。最优潮流的解必须同时满足这三组方程。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,联立求解这三个极值条件方程组,可以求得此非线性规划问题的最优解。但由于方程数目众多及其非线性性质，联立求解的计算量非常巨大，有时还相当困难。这里采用的是迭代下降算法，其基本思想是从一个初始点开始，确定一个搜索方向，沿着这个方向移动一步，使目标函数有所下降，然后由新的点开始，再重复上述步骤，直到满足一定的收敛判据为止。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,这个迭代求解算法的基本要点如下。（1）令迭代计数；（2）假定一组控制变量；（3）由于式(1-196)是潮流方程，所以通过潮流计

42、算可由已知的 求得相应的；（4）观察式(1-194)，是牛顿法潮流计算的雅可比矩阵，利用求解潮流时已经求得的潮流解点的 及其 三角因子矩阵，可以方便地求出(1-197),七.最优潮流问题-简化梯度算法,（5）将求得的 及 代入式(1-195)，则有(1-198)（6）若，则说明这组解是最优解，计算结束。否则，转入下一步；（7）这里，为此必须按照能使目标函数下降的方向对 进行修正(1-199)然后回到步骤（3）。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,重复上述过程，直到式(1-195)得到满足，即 为止，这样便求得了最优解。可以证明式(1-195)中的 是在满足等式约束条件即式(1-196)的情况下目

43、标函数对于控制变量 的梯度向量。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,通过潮流方程，变量 的变化可以用控制变量 的变化来表示，是在满足等式约束条件下目标函数在维数较小的 空间上的梯度，所以也称为简化梯度(Reduced gradient）。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,在前述的迭代算法中，必须仔细研究第（7）步中当 时如何进一步对 进行修正，也就是如何决定式(1-199)的 的问题，这是该算法极为关键的一步。由于某一点的梯度方向是该点函数值变化率最大的方向，因此若沿着函数在该点的负梯度方向前进时，函数值下降最快，所以最简便的办法就是取负梯度作为每次迭代的搜索方向，即取(1-206),七.最优潮

44、流问题-简化梯度算法,在非线性规划中，这种以负梯度作为搜索方向的算法，也称梯度法或最速下降法。式(1-206)中步长因子的选择对算法的收敛过程有很大影响，选得太小将使迭代次数增加，选得太大则将导致在最优点附近来回振荡。最优步长的选择正如在本章第七节中曾经讨论过的，是一个一维搜索问题，可以采用抛物线插值等方法。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,（二）不等式约束条件的处理 最优潮流的不等式约束条件数目很多，按其性质的不同可分成两大类：第一类是关于自变量或控制变量的不等式约束，第二类是关于因变量即状态变量以及可表示为和的函数的不等式约束条件，这一类约束通称为函数不等式约束。以下分别讨论这两类不等式约

45、束在算法中的处理方法。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,1 控制变量不等式约束 控制变量的不等式约束比较容易处理。若按照 对控制变量进行修正，如果得到的 使得任一个 超过其限值 或 时，则该越界的控制变量就被强制在相应的界上，即(1-207),七.最优潮流问题-简化梯度算法,控制变量按这种方法处理后，按照库恩-图克定理，在最优点 简化梯度的第个分量 为(1-208)式中，后面两个式子可以这样理解，即对 没有上界或下界的限制而容许继续增大或减小时，目标函数能进一步减小。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,2 函数不等式约束 函数不等式约束 无法采用和控制变量不等式约束相同的办法来处理，因而处理起来

46、比较困难。目前比较通行的一种方法是采用罚函数法来处理。罚函数法的基本思路是将约束条件引入目标函数而形成一个新的函数，将有约束最优化问题的求解转化成一系列无约束最优化问题的求解。具体做法如下。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,（1）将越界不等式约束以惩罚项的形式附加在原来的目标函数 上，从而构成一个新的目标函数（即惩罚函数）(1-209)式中：为函数不等式约束数；为指定的正常数，称为罚因子，其数值可随着迭代而改变；,七.最优潮流问题-简化梯度算法,附加在原来目标函数上的第二项 或，称为惩罚项。如对于状态变量 的惩罚项为(1-210),七.最优潮流问题-简化梯度算法,对于要表示成变量函数式的不等式

47、约束 的惩罚项为(1-211)(2)对这个新的目标函数按无约束求极值的方法求解，使得最终求得的解点在满足上列约束条件的前提下能使原来的目标函数达到最小。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,图1-15 惩罚项的意义,七.最优潮流问题-简化梯度算法,（三）简化梯度最优潮流算法及原理框图 在采用罚函数法处理函数不等式约束以后，原来的式(1-193)将用下式代替(1-212)相应的极值条件(1-194)(1-196)变为(1-213)(1-214)(1-215),七.最优潮流问题-简化梯度算法,式(1-197)将变成(1-216)而简化梯度(1-217)图1-16是简化梯度法最优潮流算法的原理框图。,七

48、.最优潮流问题,（四）简化梯度最优潮流算法的分析 简化梯度最优潮流算法是建立在牛顿法潮流计算的基础上的。利用已有的采用极坐标形式的牛顿法潮流计算程序加以扩充，便可得到这种最优潮流计算程序。这种算法原理简单，程序设计也比较简便。,七.最优潮流问题-简化梯度算法,这种算法也有一些缺点。首先是因为采用梯度法或最速下降法作为求最优点的搜索方向，最速下降法前后二次迭代的搜索方向总是互相垂直的，因此迭代点在向最优点接近的过程中，走的是曲折的路，即通称的锯齿现象。而且越接近最优点，锯齿越小，因此收敛速度很慢。,七.最优潮流问题,另一个缺点是采用罚函数法处理不等式约束带来的。罚因子数值的选择是否适当，对算法的

49、收敛速度影响很大。过大的罚因子会使计算过程收敛性变坏。,七.最优潮流问题,四、最优潮流牛顿法,略,七.最优潮流问题,许多文献提出了改进算法，如在求无约束极小点的搜索方向上，提出采用共轭梯度及拟牛顿方向。另外，每次迭代用牛顿法计算潮流，耗时很多，为此提出可用快速解耦法进行计算。,七.最优潮流问题,四 解耦最优潮流计算 常规潮流汁算中快速解耦算法的成功促使人们联想到在最优潮流计算问题中也可以引入有功、无功解耦技术，从而产生另一类最优潮流计算模型，称之为解耦最优潮流（Decoupled OPF）。即把最优潮流问题分解成为有功优化和无功优化两个子优化问题。,七.最优潮流问题,有功优化和无功优化这两个子

50、优化问题可以独立地构成并求解，实现单独的有功或无功优化；也可以组合起来交替地迭代求解，实现有功、无功的综合优化。按照与有功及无功问题的关联，首先将控制变量 分成 及 两组，状态变量也分成 及 两组。其中，为除平衡节点外，其它发电机的有功出力。为除平衡节点外，其它所有节点的电压相角。,七.最优潮流问题,为所有发电机（包括平衡节点）及具有无功补偿设备节点的电压模值，另外还有调压变压器变化；为除上述 中所列的节点以外的其余节点的电压模值。此外，等式及不等式约束也分成 及 两组。于是，两个子优化问题的数学模型分别如下。,七.最优潮流问题,（一）有功子优化问题 通常用全系统的发电燃料总耗量或总费用即式(