生物医学信号处理.ppt

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1、1,医学信号处理,参考教材：刘海龙编著，生物医学信号处理，化学工业出版社 教师：任小梅,2,本课程主要内容一、随机信号的特征和描述方法；二、随机信号及线性时不变系统；三、信号检测和信号的参数估计；四、功率谱估计；五、自适应滤波；六、匹配滤波；七、维纳滤波和卡尔曼滤波；八、小波变换和小波滤波；,3,第一章 绪论一、生物电现象二、生物医学信号的特点；二、生物医学信号处理系统框图；,4,生物电动作电位(参见电子稿)图示动作电位连续发放，并与噪声叠加形成医学信号。,5,生物医学信号的特点,信号弱噪声强频率低随机性强,6,生物子系统,信号变换子系统,信号放大子系统,信号记录及显示子系统,模数及数模转换子

2、系统,计算机子系统,生物医学信号处理框图,7,第二章 随机信号的 特征 和 描述方法Random signal Representation,8,2.1 基本概念,随机过程：随某些参量变化的随机变量称为随机函数。通常将以时间为参量的随机函数称为随机过程，也称为随机信号。自然界中变化的过程可分为两大类：确定性过程和随机过程确定性过程：就是事物的变化过程可以用一个（或几个）时间t的确定的函数来描述。随机过程：就是事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t的确定的函数来加以描述，是随机地随时间变化的过程。,9,2.1.1 随机过程的分类,1)按照时间和状态是连续还是离散来分类：连续型随机过程 随机过程

3、X(t)对于任意时刻，X(ti)都是连续型随机变量，即时间和状态都是连续的情况，称这类随机过程为连续型随机过程。,连续随机序列 随机过程X(t)在任一离散时刻的状态是连续型随机变量，即时间是离散的，状态是连续的情况，称这类随机过程为连续随机序列。,10,离散随机过程 随机过程X(t)对于任意时刻，X(ti)都是离散型随机变量，即时间是连续的，状态是离散的情况。,离散随机序列 对应于时间和状态都是离散的情况，即随机数字信号。,11,12,2)按照随机过程的分布函数（或概率密度）的不同特性进行分类 按照这种分类法，最重要的就是平稳随机过程和非平稳随机过程。,13,平稳随机过程随机信号的统计特性与开

4、始进行统计分析的时刻无关，如白噪声。否则，就是非平稳随机过程，如脑电信号。平稳随机过程还有弱平稳和强平稳之分。前者只有一、二阶统计特征（如均值、方差、自相关函数、功率谱密度等）具平稳特性；后者则任何阶统计特性都具平稳特性。平稳随机过程又分为各态遍历的随机过程和一般平稳随机过程。,14,各态遍历随机过程所有样本在固定时刻的统计特征和单一样本在全时间的统计特征一致，称为各态遍历随机过程，如投硬币过程；否则就是一般平稳随机过程。非平稳生理信号在一段时间内近似平稳，可把它看成分段平稳的“准平稳”过程，所以，平稳过程的分析方法是研究非平稳过程的基础。信号还可以分为功率信号和能量信号，随机信号一般属于能量

5、无限、功率有限的功率信号。,15,2.1.2 随机信号的性质随机信号是普遍存在的。1、信号中任何一点上的取值都是不能先验确定的随机变量；2、信号可以用它的统计平均特征来表征。,16,2.2 随机信号的表示法,图中每一条曲线代表随机信号的一个样本。,17,为了完成地描述随机信号统计特征需要采用随机信号各个时刻取值的高阶概率密度函数，即 每一时刻一阶概率密度函数p(xi,ti)每一时刻二阶概率密度函数p(xi,xj,ti,tj)每一时刻三阶概率密度函数p(xi,xk,xj,ti,tk,tj),等等。采用阶数越高，描述越完整，但实际很难做到，处理计算太繁琐，很少采用。通常用一阶、二阶统计特征描述，如

6、均值、均方、自相关函数、功率谱等。,18,概率密度函数是随机变量分布函数的导数，表示随机变量取值的统计特性。,2.2.1 概率密度函数,随机过程的概率分布函数1.一维概率分布 对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，设x为任意实数，定义 为随机过程X(t)的一维分布函数。,19,若 的一阶偏导数存在，则定义 为随机过程X(t)的一维概率密度。,20,2.二维概率分布和n维概率分布 对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可构成二维随机变量X1,X2，它的二维分布函数 称为随机过程X(t)的二维概率分布函数。,若 对x1,x2的偏导数存在，则定义

7、 为随机过程X(t)的二维概率密度。,21,对于任意的时刻t1,t2,tn，X(t1),X(t2),X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布，即定义 为随机过程X(t)的n维概率分布函数。,为随机过程X(t)的n维概率密度。,22,随机过程X(t)和Y(t)的四维联合概率密度,23,概率密度函数完整地表现随机变量和随机信号的统计特性，但是信号经处理后往往很难求其概率密度函数。处理后信号也并不需要了解其全部统计特性，这时只需了解随机过程在某一时刻的平均值和实际值相对于这个平均值的分散程度，所以可以引用随机变量的均值、方差等数字特征。,2.2.2 统计特

8、征量,24,1.均值：反映随机过程在各时刻的平均值。对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为随机过程的数学期望，记为mx(t)，即,数学期望就是t时刻所有样本的总体均值，当过程平稳时，均值与时间无关，为常数。如果平稳过程各态遍历，总体均值将等于时间均值，此时均值可根据单样本求得。,25,2.均方值：即全部样本集合在固定时刻的平均平方值。,对各态遍历过程，均方等于时间均方，反映的是随机信号的平均功率。,26,3.方差 对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，称该随机变量X(t)的二阶中心矩为随机过程的方差，记为DX(t)，即,27,28,数字特征表示单一时刻随机

9、变量的特征，自相关函数表征信号在不同时刻取值间的关联程度。,2.2.3 自相关函数和协方差函数,29,自相关函数t1时刻随机变量X(t1)和t2时刻随机变量X(t2)乘积的统计均值。设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，pX(x1,x2;t1,t2)是相应的二维概率密度，称它们的二阶联合原点矩为X(t)的自相关函数，简称相关函数。,30,自相关函数的性质：,对于平稳随机信号，有：,31,自协方差函数把均值（直流分量）除去后做剩余部分的相关函数。设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，称X(t1)和X(t2)的二阶联合中心矩为

10、X(t)的自协方差函数,对于平稳随机信号，有：,32,当 时，当 时，,33,若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0,那么随机过程的任意两个时刻状态间是不相关的。,若RX(t1,t2)=0，则称X(t1)和X(t2)是相互正交的。,34,若 则称随机过程在t1和t2时刻的状态是相互独立的。,35,2.2.4 互相关函数和互协方差,有时需要同时观察几个信号。当研究几组随机信号的相互关系时，需要采用联合统计特征来描述。广义联合平稳如果二维联合概率密度函数f(x,y,t1,t2)不依赖于时间原点的位置，只与时间差=t1-t2有关，则称此两过程是广义联合平稳的。,36,互相关函数说明两个随机

11、信号X、Y在不同时刻取值之间的关联程度。设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个时刻t1和t2的状态分别为X(t1)和Y(t2)，则随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数定义为,互相关函数描述一个信号的取值对另一个信号的依赖程度。,37,互协方差函数从信号X和Y中去掉均值再做互相关函数，所得结果称为互协方差函数。定义两个随机过程的互协方差函数为,38,若对于任意时刻t1和t2，有RXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是正交过程，此时有,若对于任意时刻t1和t2，有CXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是互不相关的，此时有,39,当X(t)和Y(t)互相独立时，满足

12、 则有 当X(t)和Y(t)互相独立时，X(t)与Y(t)之间一定不相关；反之则不成立。,40,2.3 随机信号频域表示,随机信号持续时间往往是无限的，且是非周期信号，其性质上属于功率信号。其自相关函数的傅立叶变换是功率谱密度；互相关函数的傅立叶变换是互谱密度。,41,自相关函数和自谱密度函数构成一对傅立叶变换对。自谱密度函数是从频域对随机过程作统计描述，集中显示了随机过程的频率结构。功率谱的性质：1、功率谱是非负的；2、对称性：对于实数信号，有,自功率谱密度函数,42,互谱密度互相关函数的傅立叶变换为互谱密度。,43,相干函数：从频域上描述两个随机信号各频率成分互相关联的程度。性质：xy()

13、为实函数，且|xy()|1；,44,2.4 离散时间随机信号,随机信号的采样定理：如果随机信号x(t)的功率谱是限带的，其最高频率成分为fmax，当采样间隔Ts1/(2fmax)时，则采样值的加权和,可以保证：,即 在均方误差意义下收敛于x(t)。,45,数学特征是时间n的函数（物理意义）：1：均值（数学期望）2：方差 3：均方值,46,4 自相关函数5 自协方差函数：“集合平均”，该集合平均是由X(n)的无穷样本在相应时刻对应相加（或相乘后再相加）来实现。,47,6 互相关函数 7 互协方差函数 如果 称信号X和Y是不相关的。可得：,48,平稳随机信号的时域特征表示,一个离散随机信号X(n)

14、，如果其均值与时间n无关，其自相关函数和的选取无关，而仅和之差有关，那么，我们称X(n)为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号。则有：均值（数学期望）自相关函数 方差 均方值 自协方差函数 两个平稳随机信号X(n),Y(n)的互相关函数和互协方差函数分别定义为：互相关函数 互协方差函数,49,各态遍历性的平稳随机信号的统计特征,对一平稳随机信号，如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，我们则称为各态遍历信号。各态遍历的随机信号X(n)，其均值、方差、均方值及自相关函数等，均是建立在集合平均的意义上的，如自相关函数,50,为了要精确地求出，需

15、要知道的无穷多个样本，即，这在实际工作中显然是不现实的。因为我们在实际工作中能得到的往往是对的一次实验记录。由于平稳随机信号的均值与时间无关，自相关函数又和时间选取的位置无关，那么，对平稳信号，可以用一次的实验记录代替一族记录来计算的均值和自相关函数。设是各态遍历信号的一个样本函数，对的数字特征可重新定义如下：,51,2.5 常见分布,2.5.1 常见的离散型分布一.两点分布 如果随机变量X的分布为 则称X服从两点分布。当a、b分别为0、1时，称这种分布为01分布。,52,二.二项分布设随机试验E只有两种可能的结果且将E独立地重复n次，那么在n次试验中事件A发生m次的概率为称为二项分布。,53

16、,三.泊松分布设随机变量X的可能取值为0,1,2,且分布密度为则称X服从泊松分布。,54,2.5.2 常见的连续分布一.均匀分布设连续型随机变量X在有限区间a,b内取值，且其概率密度为则称X在区间a,b上服从均匀分布。,55,随机变量X的分布函数为,56,一维高斯分布 高斯变量X的概率密度为：,二.高斯分布,概率分布函数,57,对高斯变量进行归一化处理后的随机变量，称为归一化高斯变量。即令，归一化后的概率密 度为,58,服从标准正态分布N(0,1)的高斯变量X，其特征函数为,服从 的高斯变量Y，其特征函数为,59,（1）已知X为高斯变量，则Y=aX+b（a,b为常数）也为高斯变量，且,特点：,

17、（2）高斯变量之和仍为高斯变量。,60,推广到多个互相独立的高斯变量，其和也是高斯分布。即 若Xi服从，则其和的数学期望和方差分别为,61,若有大量相互独立的随机变量的和 其中每个随机变量Xi对总的变量Y的影响足够小时，则在一定条件下，当 时，随机变量Y是服从正态分布的，而与每个随机变量的分布无关。,（3）中心极限定理,结论：任何物理过程，如果它为许多独立作用之和，那么这个过程就趋于高斯分布。,62,三.分布,1)中心 分布 若n个互相独立的高斯变量X1,X2,Xn的数学期望都为零，方差为1，它们的平方和 的分布是具有n个自由度的 分布。,63,其概率密度为,64,当互相独立的高斯变量Xi的方

18、差不是1，而是 时，Y的概率密度为,性质：两个互相独立的具有 分布的随机变量之和仍为 分布，若它们的自由度分别为n1和n2，其和的自由度为n=n1+n2。,65,2)非中心 分布 若互相独立的高斯变量Xi(I=1,2,n)的方差为，数学期望为，则 为n个自由度的非中心 分布。,66,其概率密度为 称为非中心分布参量,67,例2.1 随机相位正弦序列,式中A,f均为常数，是一随机变量，在02内服从均匀分布，即,显然，对应的一个取值，可得到一条正弦曲线（因为在02内的取值是随机的，所以其每一个样本x(n)都是一条正弦信号）。求其均值及其自相关函数，并判断其平稳性。,68,解 由定义，X(n)的均值

19、和自相关分别是：,69,由于及所以随机相位正弦波是宽平稳的。,70,例2.2 随机振幅正弦序列如下式所示：,式f中为常数，A为正态随机变量，A：N(0,2)，试求X(n)的均值、自相关函数，并讨论其平稳性。,解:均值,对于给定的时刻n，,为一常数，所以,71,自相关函数,由此可以看出，虽然X(n)的均值和时间无关，但其自相关函数不能写成,的形式，也即,和,的选取位置有关，所以随机振幅正弦波不是宽,平稳的。,72,例2.3 讨论例1.1随机相位正弦序列的各态遍历性。(不要求）,解:对,，其单一的时间样本,，,为一常数，对,作时间平均，显然,73,由于上式是对n求和，故求和号中的第一项与n无关，而

20、第二项应等于零，所以,这和例1.1按集合平均求出的结果一样，所以随机相位正弦波既是平稳的，也是各态遍历的。,74,1、设x(n)和y(n)是有限长序列，x(n)=1,0.1,-1,0.1,y(n)=0.1,1,0.1,-1，计算这两个序列的线性相关函数和四点循环相关函数。(循环相关可不做）,作业,75,2、考虑两个谐波信号x(t)和y(t)，A、c为正的常数，为均匀分布的随机变量，其概率密度为B是一个零均值和单位方差的标准高斯随机变量，其分布函数为,76,求（1）x(t)的均值、方差、自相关函数和自协方差函数；（2）若和B相互独立，求x(t)和y(t)的互相关函数和互协方差函数。3、随机信号x(t)具有零均值和功率谱20，求x(t)的自相关函数和功率。4、实验一。,77,产生随机序列并计算统计特征量,在139中随机取出4个以上数据，并将这四个数据作为序号，从数据库中取出这个四个序号对应的四个动作电位波形，将这些波形按照幅度从大到小排序；生成对应四个以上发放率，范围为1050个/s，并按照大小原理赋给相应选取的动作电位波形。计算动作电位波形平均能量，生成长度为3s，采样率为30KHz，幅度大小为波形平均能量的随机白噪声，并对噪声进行20010kHz带通滤波。有关函数：unidrnd、normrnd。,