物质波及统计解释.ppt

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1、第二章 波函数和 Schrdinger 方程,本 章 要 求1 理解和掌握波函数的统计解释和量子力学的第一条基本假定2 掌握态迭加原理3 掌握薛定谔方程和量子力学的第二条基本假定4 掌握定态、定态薛定谔方程、哈密顿算符、本征方程、本征 值和本征函数等概念,本 章 要 求：,5 掌握求解一维定态Schrdinger 方程的基本步骤;6 了解能量量子化,束缚态,零点能,分立谱,连续谱,厄密多项式等概念。,第二章 波函数和 Schrodinger 方程,2.1波函数的统计解释2.2 态迭加原理2.3 薛定谔方程2.4 定态薛定谔方程2.5 一维无限深势阱2.6 线性谐振子,一、物质波二、电子双缝干涉

2、实验三、物理对波函数的要求,2.1 物质波 波函数的统计解释,物质波-实物粒子的波粒二象性,一 光的波粒二象性,关于光的产生和转化的一个启发性观点,（2）粒子性：（光电效应等）,（1）波动性：光的干涉和衍射.,1.光的波粒二象性,物质波-实物粒子的波粒二象性,光子：,思想方法 自然界在许多方面都是明显地对称的，他采用类比的方法提出物质波的假设.,“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于粒子的图象想得太多，而过分地忽略了波的图象呢？”,法国物理学家德布罗意（Louis Victor de Broglie

3、1892 1987),物质波-实物粒子的波粒二象性,2.德布罗意假设（1924 年）,德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性，实物粒子也具有波粒二象性.,物质波-实物粒子的波粒二象性,德布罗意波：与粒子相联系的波称为德布罗意波或者物质波.,若 则,若 则,德布罗意关系式可解释玻尔氢原子理论的定态条件.,德布罗意关系式：,物质波-实物粒子的波粒二象性,从德布罗意关系可以导出氢原子波尔理论中角动量量子化条件.,两端固定的弦，若其长度等于波长的整数倍可形成稳定的驻波.,将弦弯曲成圆时,电子绕核运动其德布罗意波长为,角动量量子化条件,物质波-实物粒子的波粒二象性,3.电子的德布罗意波长,一原静止的电子被电

4、场加速到速度u,(uc)。加速电压为U，则速度为u的电子的德布罗意波波长为多大？,解：依守恒定律,物质波-实物粒子的波粒二象性,由此得：,：,可获得电子在不同电压下的波长,与x射线的波长相当,物质波-实物粒子的波粒二象性,4.德布罗意波的实验验证,1）戴维逊-革末实验与汤姆逊实验,观测到电子衍射现象,电子通过金薄膜的衍射实验,2）电子衍射实验,电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。,实验证实质子、中子、原子和分子等微观粒子都具有波粒二象性，并满足德布罗意关系式。,物质波-实物粒子的波粒二象性,例：设有m0=0.04Kg的子弹，速度为1000m/s，求其物质波的波长。,普朗克常量 h 太小了，使

5、得宏观物体的波长小得难以测量，宏观物体只表现出粒子性。,波粒二象性是普遍的结论，宏观粒子也具有波动性；,扫描式电子显微鏡(SEM)穿透式电子显微鏡(TEM)扫描隧道显微鏡(STM)原子力显微鏡(AFM)磁力显微鏡(MFM),5.德布罗意波应用举例：,物质波-实物粒子的波粒二象性,科学家使用STM观测物质的纳米结构,IBM公司苏黎世实验室的两位科学家宾尼希(G.Binnig)和罗雷尔(H.Rohrer)发明了扫描隧道显微镜。与电子显微镜的创制者E.Ruska(鲁斯卡)教授一起荣获1986年诺贝尔物理奖。,物质波-实物粒子的波粒二象性,神经细胞的STM扫描图象,物质波-实物粒子的波粒二象性,搬运单

6、个原子,CO分子小人,物质波-实物粒子的波粒二象性,1993年克罗米等人用扫描隧道显微镜搬动48个Fe原子到Cu表面上构成半径为7.13nm的圆柱形量子围栏。并观察到了围栏内铜表面的电子产生的圆形驻波。,量子围栏中的驻波,物质波-实物粒子的波粒二象性,问题？,如何体现波粒二象性的？物质波是什么样的波？,E.Schrdinger提出可用一个波函数 来描述物质波，称为物质波的波函数。,如何描述微观粒子的波粒二象性？,M.Born通过与光的类比，从电子的波动性出发，波函数的物理意义要从统计概率去解释。,波粒二象性 波函数及统计解释,二.波函数的统计解释：概率波（1926年）,单电子双缝实验,玻恩获得

7、1954年诺贝尔物理学奖,物质波-实物粒子的波粒二象性,二 物质波的统计解释,物质波-实物粒子的波粒二象性,随电子数目增多,在屏上逐渐形成了干涉图样，呈现出波动性。,(a),(b),(c),(d),电子双缝干涉实验,物质波-实物粒子的波粒二象性,屏上出现的电子说明电子的粒子性。,单个电子的去向是随机性的，但随着电子数目的增多显示出统计规律性。,电子双缝干涉实验,物质波-实物粒子的波粒二象性,结论：干涉实验所揭示的电子的波动性是一个电子在许多次相同实验中的统计结果，或者是许多电子在同一个实验中的统计结果。,正比于该点附近感光点的数目,正比于该点附近出现的电子数目,点附近干涉图样的强度,物质波-实

8、物粒子的波粒二象性,物质波的强度大,光强度大,光波振幅平方大,光子在该处出现 的几率大,（微粒观点）,波函数振幅平方大,单个粒子在该处出现的几率大,（波动观点）,（微粒观点）,类比光的干涉实验,（波动观点）,光子在某处出现的几率和该处光振幅的平方成正比,粒子在某处出现的几率和该处波函数振幅的平方成正比,据此，描写粒子的物质波是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性，波函数(r)有时也称为几率波幅（几率幅）。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例，由波函数还可以得到体系的各种性质。这就是首先由 Born 提出的波函数的统计解释。,假设衍射波波幅用(r)描述，与光

9、学相似，衍射花样的强度则用|(r)|2 描述，但意义与经典波不同。,|(r)|2 的意义是代表粒子出现在r点附近几率的大小，确切地说，|(r)|2xyz 表示在r点处，体积元xyz中找到粒子的几率。,量子力学的第一条基本假定（或公设）,只开上缝时 电子通过上缝的几率,只开下缝时 电子通过下缝的几率,二.用电子双缝干涉实验说明几率波的含义,双缝齐开时,波粒二象性 波函数及统计解释,双缝齐开时,总几率幅,总几率密度,干涉项,干涉是由于几率幅的线性叠加产生的,结论,波粒二象性 波函数及统计解释,2 微观粒子的波动性 实质上就是几率幅的相干叠加性,3 即使只有一个电子 当双缝齐开时,它的状态也要用 来

10、描述,波粒二象性 波函数及统计解释,物理学家问:滑雪者究竟是从哪条路过去的呢?,波粒二象性 波函数及统计解释,结论,2 微观粒子的波动性 实质上就是几率幅的相干叠加性,3 即使只有一个电子 当双缝齐开时,它的状态也要用 来描述,4 如果实验能确定通过了哪个缝，则干涉消失。,波粒二象性 波函数及统计解释,1926 年玻恩提出德布罗意波是概率波.,统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比的.,少女？,老妇？,两种图象不会同时出现在你的视觉中。,物质波-实物粒子的波粒二象性,(1)波动性,“可叠加性”:有“干涉”“衍射现象,不是经典的波 不代表实在物理量的波动,(2)粒子性

11、,整体性,不是经典的粒子 没有“轨道”概念,微观粒子的波粒二象性,波粒二象性 波函数及统计解释,1927年，玻尔提出互补原理，试图从哲学的角度概括波粒二象性。玻尔认为：一些经典概念(如粒子、动量)的应用不可避免地排斥另一些经典概念(如波动、波长)的应用，而这“另一些经典概念”在某些条件下又是描述现象所不可缺少的；必须而且只需将所有这些既互斥、又互补的概念汇集在一起，才能而且定能形成现象的详尽无遗的描述.,波粒二象性 波函数及统计解释,三、物理对波函数的要求,1.波函数的有限性,在空间任何有限体积元中找到粒子的概率必须为有限值,波粒二象性 波函数及统计解释,(1)d w(r,t)=C|(r,t)

12、|2 d在 t 时刻,r 点，d=dx dy dz 体积内，找到由波函数(r,t)描写的粒子的几率.其中C是比例系数.,(2)(r,t)=d(r,t)/d=C|(r,t)|2,在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率,称为几率密度。,(3)(t)=V d=CV|(r,t)|2 d,统计解释:,在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率,2.波函数的归一性,根据波函数统计解释 在空间各点的概率总和必须为1,这即是要求描写粒子量子状态的波函数必须是绝对值平方可积的函数.,若|(r,t)|2 d,则 C 0,没有意义。另外讨论.,波粒二象性 波函数及统计解释,归一化因子,则,解:令以归一化波函数为

13、,归一化：,将其归一化,(r,t)和 C(r,t)所描写状态的相对几率是相同。因为在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相对几率之比是：,可见，(r,t)和 C(r,t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。,由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即(r,t)和 C(r,t)描述同一状态.,注意：对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若(r,t)是归一化波函数，expi(r,t)也是归一化波函数（其中是实数)，因为 也等于

14、1.expi称为相因子。expi(r,t)与前者描述同一几率波。,3.波函数的单值性,根据统计解释 要求波函数单值从而保证概率密度在任意时刻都是确定的。,势场性质和边界条件要求波函数是连续的。,4.波函数的连续性,有限性,归一性,单值性,连续性称为波函数的标准化条件。,波粒二象性 波函数及统计解释,例：自由粒子的波函数,所以自由粒子 相当于单色波,所谓自由 即粒子不受任何形式力的作用,经典：沿+x传播的平面机械波,或,实函数,类比上述经典波的复数表达式,波粒二象性 波函数及统计解释,将德布罗意波关系,代入,得到描写自由粒子的平面波波函数：,沿+x方向运动的自由粒子波函数,其中,反映了粒子的波粒二象性,波粒二象性 波函数及统计解释,在三维空间中运动的自由粒子的波函数,称为 空间波函数,在物理上通常可以分离时间和空间变量,自由粒子,说明粒子在各处几率相同,波粒二象性 波函数及统计解释,作 业,I Dirac 函数,定义：,或等价的表示为：对在x=x0 邻域连续的任何函数 f（x）有：,亦可写成 Fourier 积分形式：,性质：,平面波函数 归一化,